Μία από τις πιο σημαντικές επιστήμες, η εφαρμογή της οποίας μπορεί να είναιΘεωρείται σε κλάδους όπως η χημεία, η φυσική και ακόμη και η βιολογία, είναι τα μαθηματικά. Η μελέτη αυτής της επιστήμης σας επιτρέπει να αναπτύξετε κάποιες ψυχικές ιδιότητες, να βελτιώσετε την αφηρημένη σκέψη και την ικανότητα συγκέντρωσης. Ένα από τα θέματα που αξίζουν ιδιαίτερης προσοχής στο μάθημα "Μαθηματικά" είναι η προσθήκη και η αφαίρεση των κλασμάτων. Για πολλούς μαθητές, η εκμάθηση είναι δύσκολη. Ίσως το άρθρο μας να σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλύτερα αυτό το θέμα.
Πώς να αφαιρέσετε τα κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές
Τα κλάσματα είναι οι ίδιοι αριθμοί με τους οποίους μπορείτεεκτελεί διάφορες ενέργειες. Διαφέρουν από ακέραιους με την παρουσία ενός παρονομαστή. Γι 'αυτό, όταν εκτελείτε ενέργειες με κλάσματα, πρέπει να μελετήσετε ορισμένα από τα χαρακτηριστικά και τους κανόνες τους. Η απλούστερη περίπτωση είναι η αφαίρεση των συνηθισμένων κλασμάτων, των οποίων οι παρονομαστές αντιπροσωπεύονται ως ο ίδιος αριθμός. Αυτή η ενέργεια δεν θα είναι δύσκολη αν γνωρίζετε έναν απλό κανόνα:
- Για να αφαιρέσουμε το δεύτερο από ένα κλάσμα,είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί ο αριθμητής του αφαιρεθέντος κλάσματος από τον αριθμητή του κλάσματος που θα αφαιρεθεί. Γράφουμε αυτόν τον αριθμό στον αριθμητή της διαφοράς και αφήνουμε τον παρονομαστή το ίδιο: k / m - b / m = (k-b) / m.
Παραδείγματα αφαιρετικών κλασμάτων των οποίων οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι
Ας δούμε πώς φαίνεται σε ένα παράδειγμα:
7/19 - 3/19 = (7 - 3) / 19 = 4/19.
Αφαιρέστε από τον αριθμητή του κλάσματος "7"ο αριθμητής του αφαιρούμενου κλάσματος είναι "3", παίρνουμε "4". Γράφουμε αυτόν τον αριθμό στον αριθμητή της απάντησης, και στον παρονομαστή βάζουμε τον ίδιο αριθμό που υπήρχε στους παρονομαστές του πρώτου και του δεύτερου κλάσματος - "19".
Η παρακάτω εικόνα δείχνει μερικά παρόμοια παραδείγματα.
Εξετάστε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα, όπου αφαιρούνται τα κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7) / 47 = 9/47.
Από τον αριθμητή του μειωμένου κλάσματος "29" αφαιρώντας απόαριθμητές ουράς όλων των επόμενων κλασμάτων - "3", "8", "2", "7". Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το αποτέλεσμα "9", το οποίο γράφουμε στον αριθμητή της απάντησης, και στον παρονομαστή γράφουμε τον αριθμό που υπάρχει στους παρονομαστές όλων αυτών των κλασμάτων - "47".
Προσθήκη κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή
Η προσθήκη και αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων πραγματοποιείται σύμφωνα με την ίδια αρχή.
- Για να προσθέσετε κλάσματα, των οποίων οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές. Ο προκύπτων αριθμός είναι ο αριθμητής του αθροίσματος και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος: k / m + b / m = (k + b) / m.
Ας δούμε πώς φαίνεται σε ένα παράδειγμα:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Στον αριθμητή του πρώτου όρου του κλάσματος - "1" -προσθέστε τον αριθμητή του δεύτερου όρου του κλάσματος - "2". Το αποτέλεσμα - "3" - είναι γραμμένο στον αριθμητή του αθροίσματος και ο παρονομαστής είναι ο ίδιος όπως στα κλάσματα - "4".
Κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές και αφαίρεσή τους
Δράση με κλάσματα που έχουν το ίδιοο παρονομαστής, έχουμε ήδη εξετάσει. Όπως μπορείτε να δείτε, γνωρίζοντας τους απλούς κανόνες, είναι πολύ εύκολο να λύσετε τέτοια παραδείγματα. Τι γίνεται όμως αν πρέπει να εκτελέσετε μια ενέργεια με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές; Πολλοί μαθητές λυκείου μπερδεύονται με αυτά τα παραδείγματα. Αλλά ακόμη και εδώ, αν γνωρίζετε την αρχή της λύσης, τα παραδείγματα δεν θα σας παρουσιάζουν πλέον δυσκολίες. Υπάρχει επίσης ένας κανόνας εδώ, χωρίς τον οποίο η λύση τέτοιων κλασμάτων είναι απλώς αδύνατη.
Για να αφαιρέσετε τα κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο χαμηλότερο παρονομαστή.
Θα μιλήσουμε με περισσότερες λεπτομέρειες για το πώς να το κάνουμε αυτό.
Κλάσμα ιδιοκτησίας
Για να φέρουμε πολλά κλάσματαστον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την κύρια ιδιότητα του κλάσματος στη λύση: αφού διαιρέσετε ή πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, λαμβάνετε ένα κλάσμα ίσο με το δεδομένο.
Έτσι, για παράδειγμα, το κλάσμα 2/3 μπορεί να έχει τέτοιοπαρονομαστές όπως "6", "9", "12", κ.λπ., δηλαδή, μπορεί να έχει τη μορφή οποιουδήποτε αριθμού που είναι πολλαπλάσιο του "3". Αφού πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το "2", παίρνουμε το κλάσμα 4/6. Αφού πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος με το "3", παίρνουμε 6/9, και εάν η ίδια ενέργεια εκτελείται με τον αριθμό "4", παίρνουμε 8/12. Με μία ισότητα, μπορεί να γραφτεί ως εξής:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 ...
Πώς να μετατρέψετε πολλά κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή
Σκεφτείτε πώς να μειώσετε πολλά κλάσματα σετον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα, πάρτε τα κλάσματα που φαίνονται στην παρακάτω εικόνα. Πρώτον, πρέπει να καθορίσετε ποιος αριθμός μπορεί να γίνει παρονομαστής για όλους τους. Για να το κάνουμε ευκολότερο, συνυπολογίζουμε τους υπάρχοντες παρονομαστές.
Ονομαστής του κλάσματος 1/2 και του κλάσματος 2/3 κατά συντελεστέςείναι αδύνατο να αποσυντεθεί. Ο παρονομαστής 7/9 έχει δύο παράγοντες 7/9 = 7 / (3 x 3), τον παρονομαστή του κλάσματος 5/6 = 5 / (2 x 3). Τώρα πρέπει να προσδιορίσετε ποιοι παράγοντες θα είναι οι μικρότεροι και για τα τέσσερα αυτά κλάσματα. Δεδομένου ότι το πρώτο κλάσμα στον παρονομαστή περιέχει τον αριθμό "2", που σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει σε όλους τους παρονομαστές, υπάρχουν δύο τριπλάσια στο κλάσμα 7/9, πράγμα που σημαίνει ότι και τα δύο πρέπει επίσης να υπάρχουν στον παρονομαστή. Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, προσδιορίζουμε ότι ο παρονομαστής αποτελείται από τρεις παράγοντες: 3, 2, 3 και ισούται με 3 x 2 x 3 = 18.
Εξετάστε το πρώτο κλάσμα - 1/2.Ο παρονομαστής του περιέχει "2", αλλά δεν υπάρχει μονοψήφιο "3", αλλά θα πρέπει να υπάρχουν δύο. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με δύο τριπλάσια, αλλά, σύμφωνα με την ιδιότητα του κλάσματος, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με δύο τριπλάσια:
1/2 = (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) = 9/18.
Ομοίως, εκτελούμε ενέργειες με τα υπόλοιπα κλάσματα.
- 2/3 - ο παρονομαστής λείπει ένα τρία και ένα δύο:
2/3 = (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 ή 7 / (3 x 3) - δύο λείπουν στον παρονομαστή:
7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18. - 5/6 ή 5 / (2 x 3) - στον παρονομαστή λείπει ένα τριπλό:
5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.
Όλοι μαζί μοιάζει με αυτό:
Πώς να αφαιρέσετε και να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές
Όπως προαναφέρθηκε, για ναπροσθέστε ή αφαιρέστε τα κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να μειωθούν στον ίδιο παρονομαστή και, στη συνέχεια, να χρησιμοποιήσουν τους κανόνες για την αφαίρεση των κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή, ο οποίος έχει ήδη περιγραφεί.
Ας δούμε ένα παράδειγμα: 4/18 - 3/15.
Βρείτε ένα πολλαπλάσιο των 18 και 15:
- Ο αριθμός 18 αποτελείται από 3 x 2 x 3.
- Ο αριθμός 15 αποτελείται από 5 x 3.
- Το κοινό πολλαπλό θα είναι 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
Αφού βρεθεί ο παρονομαστής,Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ένας παράγοντας που θα είναι διαφορετικός για κάθε κλάσμα, δηλαδή, ο αριθμός με τον οποίο θα είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί όχι μόνο ο παρονομαστής, αλλά και ο αριθμητής. Για να γίνει αυτό, ο αριθμός που βρήκαμε (κοινό πολλαπλό) διαιρείται με τον παρονομαστή του κλάσματος για το οποίο πρέπει να προσδιοριστούν πρόσθετοι παράγοντες.
- 90 διαιρούμενο με 15. Ο αριθμός "6" που προκύπτει θα είναι συντελεστής για τις 15/3.
- 90 διαιρούμενο με 18. Ο προκύπτων αριθμός "5" θα είναι πολλαπλασιαστής για τις 4/18.
Το επόμενο βήμα στη λύση μας είναι να φέρουμε κάθε κλάσμα στον παρονομαστή "90".
Έχουμε ήδη συζητήσει πώς γίνεται αυτό. Ας δούμε πώς γράφεται σε ένα παράδειγμα:
(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Εάν τα κλάσματα είναι με μικρούς αριθμούς, τότε μπορεί να προσδιοριστεί ο κοινός παρονομαστής, όπως στο παράδειγμα που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.
Η προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές γίνεται με παρόμοιο τρόπο.
Αφαίρεση και προσθήκη κλασμάτων με ολόκληρα μέρη
Αφαίρεση των κλασμάτων και η προσθήκη τους, έχουμε ήδη αναλύσει λεπτομερώς. Αλλά πώς αφαιρείτε εάν το κλάσμα έχει ακέραιο μέρος; Και πάλι, ας χρησιμοποιήσουμε μερικούς κανόνες:
- Όλα τα κλάσματα που έχουν ακέραιο μέρος, μεταφράζονται σελανθασμένος. Με απλούς όρους, αφαιρέστε ολόκληρο το μέρος. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάστε τον αριθμό του ακέραιου μέρους με τον παρονομαστή του κλάσματος, προσθέστε το προκύπτον προϊόν στον αριθμητή. Ο αριθμός που θα ληφθεί μετά από αυτές τις ενέργειες είναι ο αριθμητής του ακατάλληλου κλάσματος. Ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.
- Εάν τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, θα πρέπει να τα φέρετε στο ίδιο.
- Προσθέστε ή αφαιρέστε με τους ίδιους παρονομαστές.
- Εάν λάβετε λανθασμένο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος.
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος που μπορείτεπραγματοποιεί προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων με ολόκληρα μέρη. Για αυτό, οι ενέργειες εκτελούνται ξεχωριστά με ολόκληρα μέρη και ξεχωριστές ενέργειες με κλάσματα και τα αποτελέσματα καταγράφονται μαζί.
Το παραπάνω παράδειγμα αποτελείται από κλάσματα πουέχουν τον ίδιο παρονομαστή. Στην περίπτωση που οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, πρέπει να μειωθούν στο ίδιο και, στη συνέχεια, να εκτελέσουν τις ενέργειες, όπως φαίνεται στο παράδειγμα.
Αφαίρεση κλασμάτων από ακέραιο
Μια άλλη από τις ποικιλίες δράσεων με κλάσματασυμβαίνει όταν το κλάσμα πρέπει να αφαιρεθεί από έναν φυσικό αριθμό. Με την πρώτη ματιά, ένα τέτοιο παράδειγμα φαίνεται δύσκολο να λυθεί. Ωστόσο, όλα είναι αρκετά απλά εδώ. Για την επίλυσή του, είναι απαραίτητο να μετατρέψουμε έναν ακέραιο σε κλάσμα και με έναν τέτοιο παρονομαστή, ο οποίος βρίσκεται στο κλάσμα που αφαιρείται. Στη συνέχεια, κάνουμε μια αφαίρεση παρόμοια με την αφαίρεση με τους ίδιους παρονομαστές. Για παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:
7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Η αφαίρεση των κλασμάτων (6class) είναι η βάση για την επίλυση πιο περίπλοκων παραδειγμάτων, τα οποία καλύπτονται σε επόμενες τάξεις. Η γνώση αυτού του θέματος χρησιμοποιείται στη συνέχεια για την επίλυση συναρτήσεων, παραγώγων και ούτω καθεξής. Επομένως, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε και να κατανοήσουμε τις ενέργειες με κλάσματα που συζητήθηκαν παραπάνω.
