Το συμπαγές σετ είναιένα συγκεκριμένο τοπολογικό χώρο που καλύπτει ένα πεπερασμένο υποκάλυμμα. Όσον αφορά τις ιδιότητές τους, οι συμπαγείς χώροι στην τοπολογία μπορεί να μοιάζουν με το σύστημα πεπερασμένων συνόλων στην αντίστοιχη θεωρία.
Ένα συμπαγές σετ ή συμπαγές είναι ένα υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου που είναι ένας επαγόμενος τύπος συμπαγούς χώρου.
Σχετικά συμπαγής (προ-συμπύκνωση)το σετ ισχύει μόνο για ένα συμπαγές κλείσιμο. Κατά το διαχωρισμό μιας συγκλίνουσας ακολουθίας στο διάστημα, μπορεί να ονομαστεί διαδοχικά συμπαγής.
Ένα συμπαγές σετ έχει ορισμένες ιδιότητες:
- το συμπαγές είναι η εικόνα κάθε συνεχούς χαρτογράφησης.
- ένα κλειστό υποσύνολο είναι πάντα συμπαγές.
- μια συνεχής αντιστοίχιση ενός προς έναν, η οποία ορίζεται σε ένα συμπαγές σετ, αναφέρεται σε έναν ομομορφισμό.
Παραδείγματα ενός συμπαγούς σετ είναι:
- οριοθετημένα και κλειστά σύνολα Rn,
- πεπερασμένα υποσύνολα σε χώρους που ικανοποιούν το αξίωμα διαχωρισμού Τ1 ·
- το θεώρημα Ascoli-Arzela, το οποίο χαρακτηρίζει ένα συμπαγές σετ για συγκεκριμένους χώρους λειτουργίας ·
- Πέτρινος χώρος που σχετίζεται με την άλγεβρα Boolean.
- συμπίεση τοπολογικού χώρου.
Λαμβάνοντας υπόψη το καθολικό σύνολο από τη θέσημαθηματικά, μπορεί να υποστηριχθεί ότι πρόκειται για ένα σύνολο που περιέχει μια συλλογή στοιχείων με συγκεκριμένες ιδιότητες. Μαζί με την εξεταζόμενη ιδέα, υπάρχει επίσης ένα υποθετικό σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα είδη των συστατικών. Ωστόσο, οι ιδιότητές του έρχονται σε αντίθεση με την ίδια την ουσία του σετ.
Στο πεδίο της στοιχειώδους αριθμητικής, ένα καθολικό σύνολο αντιπροσωπεύεται από μια συλλογή ακέραιων αριθμών. Ωστόσο, αυτό το σετ παίζει ειδικό ρόλο στη θεωρία του συνόλου.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών περιλαμβάνει ένα σύνολο στοιχείων (αριθμών) που μπορούν να εμφανιστούν φυσικά κατά τη μέτρηση. Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για τον προσδιορισμό των φυσικών αριθμών:
- κατάλογος αντικειμένων (πρώτο, δεύτερο κ.λπ.)
- τον αριθμό των αντικειμένων (ένα, δύο κ.λπ.).
Σε αυτήν την περίπτωση, διαφορετικοί μη ακέραιοι και αρνητικοί ακέραιοιδεν ανήκουν στον φυσικό τύπο αριθμών. Στη μαθηματική σφαίρα, το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με τον Ν. Αυτή η έννοια είναι άπειρη, λόγω της παρουσίας, για οποιονδήποτε αριθμό φυσικού τύπου, άλλου φυσικού αριθμού μεγαλύτερου από τον πρώτο.
Σε αντίθεση με τους φυσικούς αριθμούς, λαμβάνονται ακέραιοι αριθμοίως αποτέλεσμα της εκτέλεσης τέτοιων μαθηματικών πράξεων σε φυσικούς αριθμούς όπως προσθήκη ή αφαίρεση. Το σύνολο των ακέραιων αριθμητικών στα μαθηματικά υποδηλώνεται με Ζ. Με βάση τα αποτελέσματα της αφαίρεσης, της προσθήκης και του πολλαπλασιασμού δύο ακεραίων, θα υπάρχει μόνο ένας αριθμός του ίδιου τύπου. Η ανάγκη εμφάνισης αυτού του τύπου αριθμών οφείλεται στην αδυναμία προσδιορισμού της διαφοράς μεταξύ δύο φυσικών αριθμών. Ήταν ο Michael Stiefel που εισήγαγε αρνητικούς αριθμούς στα μαθηματικά.
Απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή για να εξεταστεί κάτι τέτοιοέννοιες ως αμφίδρομος χώρος. Αυτός ο όρος εισήχθη από την P.S. Aleksandrov για την ενίσχυση της έννοιας ενός μικρού χώρου, που εισήχθη στα μαθηματικά από τον M. Frechet. Αρχικά, ένας χώρος τοπολογικού τύπου είναι συμπαγής εάν υπάρχει ένα πεπερασμένο κάλυμμα σε κάθε ανοιχτό κάλυμμα. Με την επακόλουθη ανάπτυξη των μαθηματικών, ο όρος συμπαγής έγινε τάξη μεγέθους υψηλότερη από το χαμηλότερο αντίστοιχο. Και τώρα είναι ακριβώς η συμπαγής που γίνεται κατανοητή από τη συμπαγή, και η παλιά έννοια αυτού του όρου είναι στο όνομα «μετρά συμπαγής» Ωστόσο, και οι δύο έννοιες είναι ισοδύναμες όταν χρησιμοποιούνται σε μετρικούς χώρους.
