Προσθήκη κλασμάτων: ορισμοί, κανόνες και παραδείγματα εργασιών

Μερικά από τα πιο δύσκολα για έναν μαθητή να κατανοήσειείναι διαφορετικές ενέργειες με απλά κλάσματα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι είναι ακόμα δύσκολο για τα παιδιά να σκέφτονται αφηρημένα και τα κλάσματα, στην πραγματικότητα, μοιάζουν ακριβώς με αυτά για αυτά. Επομένως, παρουσιάζοντας το υλικό, οι εκπαιδευτικοί συχνά καταφεύγουν σε αναλογίες και εξηγούν κυριολεκτικά την αφαίρεση και την προσθήκη κλασμάτων στα δάχτυλά τους. Παρόλο που ένα μάθημα σχολικών μαθηματικών δεν μπορεί να κάνει χωρίς κανόνες και ορισμούς.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Πριν προχωρήσετε σε οποιαδήποτε ενέργειακλάσματα, συνιστάται να μάθετε μερικούς βασικούς ορισμούς και κανόνες. Αρχικά, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε τι είναι ένα κλάσμα. Σημαίνει έναν αριθμό που είναι ένα ή περισσότερα μέρη ενός. Για παράδειγμα, αν κόψετε ένα καρβέλι σε 8 κομμάτια και βάλετε 3 φέτες σε ένα πιάτο, τότε το 3/8 θα είναι ένα κλάσμα. Επιπλέον, σε αυτό το γράψιμο θα είναι ένα απλό κλάσμα, όπου ο αριθμός πάνω από τη γραμμή είναι ο αριθμητής, και κάτω από αυτόν είναι ο παρονομαστής. Αλλά αν το γράψετε ως 0,375, θα είναι ήδη δεκαδικό κλάσμα.

Επιπλέον, τα απλά κλάσματα υποδιαιρούνται σεσωστό, λάθος και ανάμεικτο. Το πρώτο περιλαμβάνει όλους εκείνους των οποίων ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Αν, αντίθετα, ο παρονομαστής είναι μικρότερος από τον αριθμητή, θα είναι ήδη ένα λανθασμένο κλάσμα. Εάν υπάρχει ακέραιος μπροστά από το σωστό, μιλούν για μικτούς αριθμούς. Έτσι, το 1/2 είναι σωστό, αλλά το 7/2 δεν είναι. Και αν το γράψετε σε αυτήν τη μορφή: 3¹/ /₂τότε αναμιγνύεται.

Για να καταστεί ευκολότερο να καταλάβετε τι είναιπροσθήκη κλασμάτων, και με ευκολία να το εκτελέσετε, είναι επίσης σημαντικό να θυμάστε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Η ουσία του έχει ως εξής. Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό, τότε το κλάσμα δεν θα αλλάξει. Αυτή η ιδιότητα σάς επιτρέπει να εκτελείτε τις πιο απλές ενέργειες με συνηθισμένα και άλλα κλάσματα. Στην πραγματικότητα, αυτό σημαίνει ότι το 1/15 και το 3/45 είναι ουσιαστικά ο ίδιος αριθμός.

Προσθήκη κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή

Αυτό συνήθως δεν προκαλείμεγάλη δυσκολία. Η προσθήκη κλασμάτων σε αυτήν την περίπτωση είναι πολύ παρόμοια με μια παρόμοια ενέργεια με ακέραιους αριθμούς. Ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος και οι αριθμητές προστίθενται απλά μαζί. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να προσθέσετε τα κλάσματα 2/7 και 3/7, τότε η λύση στο σχολικό πρόβλημα στο σημειωματάριο θα είναι η εξής:

2/7 + 3/7 = (2 + 3) / 7 = 5/7.

Επιπλέον, αυτή η προσθήκη κλασμάτων μπορεί να εξηγηθεί απόγια ένα απλό παράδειγμα. Πάρτε ένα κανονικό μήλο και κόψτε το σε 8 κομμάτια, για παράδειγμα. Τοποθετήστε 3 μέρη ξεχωριστά και, στη συνέχεια, προσθέστε 2 ακόμη σε αυτά. Ως αποτέλεσμα, 5/8 ολόκληρου μήλου θα βρίσκονται στο κύπελλο. Το ίδιο το αριθμητικό πρόβλημα γράφεται όπως φαίνεται παρακάτω:

3/8 + 2/8 = (3 + 2) / 8 = 5/8.

Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Αλλά συχνά υπάρχουν πιο δύσκολες εργασίες, όπουπρέπει να προσθέσετε μαζί, για παράδειγμα, 5/9 και 3/5. Εδώ εμφανίζονται οι πρώτες δυσκολίες σε λειτουργίες με κλάσματα. Εξάλλου, η προσθήκη τέτοιων αριθμών θα απαιτήσει πρόσθετες γνώσεις. Τώρα θα πρέπει να ανακαλέσετε πλήρως την κύρια ιδιοκτησία τους. Για να προσθέσετε τα κλάσματα από το παράδειγμα, πρώτα πρέπει να τα φέρετε σε έναν κοινό παρονομαστή. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει απλώς να πολλαπλασιάσετε το 9 και το 5 το ένα με το άλλο, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή "5" με 5 και "3", αντίστοιχα, με το 9. Έτσι, έχουν ήδη προστεθεί τα ακόλουθα κλάσματα: 25/45 και 27 / 45. Τώρα το μόνο που μένει είναι να προσθέσουμε τους αριθμητές και να λάβουμε την απάντηση 52/45. Σε ένα κομμάτι χαρτί, ένα παράδειγμα θα μοιάζει με αυτό:

5/9 + 3/5 = (5 x 5) / (9 x 5) + (3 x 9) / (5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25 + 27) / 45 = 52 / 45 = 1⁷/ /₄₅.

Αλλά η προσθήκη κλασμάτων με τέτοιους παρονομαστές δεν είναιαπαιτεί πάντα έναν απλό πολλαπλασιασμό των αριθμών κάτω από τη γραμμή. Αναζητήστε πρώτα τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα, για τα κλάσματα 2/3 και 5/6. Για αυτούς, αυτός θα είναι ο αριθμός 6. Αλλά η απάντηση δεν είναι πάντα προφανής. Σε αυτήν την περίπτωση, αξίζει να θυμηθείτε τον κανόνα για την εύρεση του λιγότερο κοινού πολλαπλού (συντετμημένου LCM) δύο αριθμών.

Είναι κατανοητό ως ο μικρότερος κοινός παράγοντας των δύοολόκληροι αριθμοί. Για να το βρει, κάθε ένα αποσυντίθεται σε πρωταρχικούς παράγοντες. Τώρα γράψτε εκείνα από αυτά που εμφανίζονται τουλάχιστον μία φορά σε κάθε αριθμό. Πολλαπλασιάστε τα μεταξύ τους και αποκτήστε τον ίδιο παρονομαστή. Στην πραγματικότητα, όλα φαίνονται λίγο πιο απλά.

Για παράδειγμα, θέλετε να προσθέσετε τα κλάσματα 4/15 και 1/6.Έτσι, το 15 επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας τους απλούς αριθμούς 3 και 5, και έξι - δύο και τρία. Αυτό σημαίνει ότι το LCM για αυτούς θα είναι 5 x 3 x 2 = 30. Τώρα, διαιρώντας το 30 με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος, παίρνουμε τον παράγοντα για τον αριθμητή του - 2. Και για το δεύτερο κλάσμα θα είναι ο αριθμός 5 Έτσι, μένει να προσθέσουμε τα συνηθισμένα κλάσματα 8/30 και 5/30 και να λάβουμε μια απόκριση 13/30. Όλα είναι εξαιρετικά απλά. Στο σημειωματάριο, αυτή η εργασία πρέπει να γραφτεί ως εξής:

4/15 + 1/6 = (4 x 2) / (15 x 2) + (1 x 5) / (6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM (15, 6) = 30.

Προσθήκη μικτών αριθμών

Τώρα, γνωρίζοντας όλες τις βασικές τεχνικές για την προσθήκη απλών κλασμάτων, μπορείτε να δοκιμάσετε το χέρι σας σε πιο περίπλοκα παραδείγματα. Και αυτοί θα είναι μικτοί αριθμοί, με τους οποίους εννοούν ένα κλάσμα αυτού του είδους: 2²/ /₃... Εδώ, ολόκληρο το μέρος είναι γραμμένο μπροστά από το κανονικό κλάσμα. Και πολλοί μπερδεύονται κατά την εκτέλεση ενεργειών με τέτοιους αριθμούς. Στην πραγματικότητα, ισχύουν οι ίδιοι κανόνες εδώ.

Για να προσθέσετε μικτούς αριθμούς μαζί,Προσθέστε ολόκληρα μέρη και κανονικά κλάσματα ξεχωριστά. Και τότε αυτά τα 2 αποτελέσματα συνοψίζονται ήδη. Στην πράξη, όλα είναι πολύ πιο εύκολα, απλά πρέπει να εξασκηθείτε λίγο. Για παράδειγμα, σε ένα πρόβλημα πρέπει να προσθέσετε τους ακόλουθους μικτούς αριθμούς: 1¹/ /₃ και 4²/ /₅... Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε πρώτα 1 και 4 -get 5. Στη συνέχεια, προσθέστε 1/3 και 2/5, χρησιμοποιώντας τις τεχνικές μείωσης στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Η λύση θα ήταν 11/15. Και η τελική απάντηση είναι 5¹¹/ /₁₅... Σε ένα σχολικό σημειωματάριο, θα φαίνεται πολύ μικρότερο:

1¹/ /₃ + 4²/ /₅ = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5¹¹/ /₁₅.

Προσθήκη δεκαδικών κλασμάτων

Εκτός από τα κοινά κλάσματα, υπάρχουν επίσης δεκαδικά.Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ πιο συχνές στη ζωή. Για παράδειγμα, η τιμή σε ένα κατάστημα μοιάζει συχνά ως εξής: 20,3 ρούβλια. Αυτό είναι το πολύ κλάσμα. Φυσικά, είναι πολύ πιο εύκολο να διπλώσετε από τα συνηθισμένα. Βασικά, απλά πρέπει να προσθέσετε 2 συνηθισμένους αριθμούς, το κύριο πράγμα είναι να βάλετε κόμμα στο σωστό μέρος. Εδώ προκύπτουν δυσκολίες.

Για παράδειγμα, πρέπει να προσθέσετε τέτοια δεκαδικά κλάσματα 2,5 και 0,56. Για να το κάνετε σωστά, πρέπει να προσθέσετε ένα μηδέν στο πρώτο στο τέλος και όλα θα πάνε καλά.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ότι οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε πρώτο, αλλά δεν μπορεί να γραφτεί κάθε μεμονωμένο κλάσμα ως δεκαδικό. Έτσι, από το παράδειγμά μας, 2,5 = 2¹/ /₂ και 0,56 = 14/25. Αλλά ένα κλάσμα όπως το 1/6 θα είναι περίπου ίσο με 0,16667. Η ίδια κατάσταση θα ισχύει και με άλλους παρόμοιους αριθμούς - 2/7, 1/9 και ούτω καθεξής.

Συμπέρασμα

Πολλοί μαθητές, που δεν κατανοούν την πρακτική πλευράοι ενέργειες με κλάσματα αναφέρονται σε αυτό το θέμα απρόσεκτα. Ωστόσο, σε παλαιότερους βαθμούς, αυτή η βασική γνώση θα σας επιτρέψει να σπάσετε σαν καρύδια σε σύνθετα παραδείγματα με λογάριθμους και να βρείτε παράγωγα. Επομένως, αξίζει να κατανοήσετε καλά τις ενέργειες με κλάσματα μία φορά, έτσι ώστε αργότερα να μην δαγκώσετε τους αγκώνες σας με απογοήτευση. Σε τελική ανάλυση, είναι απίθανο ένας δάσκαλος στο γυμνάσιο να επιστρέψει σε αυτό, ήδη περατωμένο, θέμα. Κάθε μαθητής γυμνασίου πρέπει να μπορεί να κάνει αυτές τις ασκήσεις.