พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?

อนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่าง f (x) ในเฉพาะจุด x0 เรียกว่าขอบเขตของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยมีเงื่อนไขว่า x จะอยู่หลัง 0 และขอบเขตนั้นมีอยู่ อนุพันธ์มักจะแสดงด้วยจำนวนเฉพาะ บางครั้งด้วยจุดหรือผ่านส่วนต่าง อนุพันธ์ข้ามพรมแดนมักจะทำให้เข้าใจผิด เนื่องจากการเป็นตัวแทนดังกล่าวไม่ค่อยได้ใช้

ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่แน่นอนจุด x0 เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกค่าอนุพันธ์ ณ จุดนั้น สมมติว่า D1 คือเซตของจุดที่ฟังก์ชัน f แตกต่างออกไป การกำหนดหมายเลข x ที่เป็นของ D f '(x) ให้แต่ละหมายเลขเราได้รับฟังก์ชันที่มีพื้นที่ของสัญกรณ์ D1 ฟังก์ชันนี้คืออนุพันธ์ y = f (x) มันเขียนแทนดังนี้: f '(x).

นอกจากนี้ อนุพันธ์ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในฟิสิกส์และเทคโนโลยี ลองดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุด จุดวัสดุเคลื่อนที่ไปตามพิกัดตรง และกำหนดกฎการเคลื่อนที่ นั่นคือ พิกัด x ของจุดนี้เป็นฟังก์ชันที่ทราบ x (t) ในช่วงเวลาตั้งแต่ t0 ถึง t0 + t การเคลื่อนที่ของจุดคือ x (t0 + t) -x (t0) = x และความเร็วเฉลี่ย v (t) คือ x / t

บางครั้งธรรมชาติของการเคลื่อนไหวก็ถูกนำเสนอในลักษณะที่ในช่วงเวลาสั้นๆ ความเร็วเฉลี่ยจะไม่เปลี่ยนแปลง หมายความว่าการเคลื่อนไหวที่มีระดับความแม่นยำมากกว่าจะถือว่าสม่ำเสมอ หรือค่าของความเร็วเฉลี่ย ถ้า t0 ตามด้วยค่าที่แน่นอนอย่างยิ่ง ซึ่งเรียกว่าความเร็วทันที v (t0) ของจุดนี้ ณ ช่วงเวลาหนึ่ง t0 เป็นที่เชื่อกันว่าความเร็วชั่วขณะ v (t) เป็นที่รู้จักสำหรับฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอต x (t) โดยที่ v (t) จะเท่ากับ x ’(t) พูดง่ายๆ คือ ความเร็วเป็นอนุพันธ์ของเวลาของพิกัด

ความเร็วชั่วขณะมีทั้งบวกและค่าลบ เช่นเดียวกับค่า 0 หากเป็นค่าบวกในช่วงเวลาหนึ่ง (t1; t2) แล้วจุดจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกัน นั่นคือ พิกัด x (t) จะเพิ่มขึ้นตามเวลา และถ้า v ( t) เป็นค่าลบ จากนั้นพิกัด x (t) จะลดลง

ในกรณีที่ยากกว่านั้น จุดจะเคลื่อนที่ในระนาบหรือในอวกาศ จากนั้นความเร็วจะเป็นปริมาณเวกเตอร์และกำหนดแต่ละพิกัดของเวกเตอร์ v (t)

เปรียบได้กับความเร่งเช่นเดียวกันการเคลื่อนไหวของจุด ความเร็วเป็นฟังก์ชันของเวลา กล่าวคือ v = v (t) และอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวคือความเร่งของการเคลื่อนที่: a = v ’(t) นั่นคือ ปรากฎว่าอนุพันธ์เวลาของความเร็วคือความเร่ง

สมมติว่า y = f (x) มีความแตกต่างกันการทำงาน. จากนั้นคุณสามารถพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุตามเส้นพิกัดซึ่งเกิดขึ้นหลังกฎ x = f (t) เนื้อหาทางกลของอนุพันธ์ทำให้สามารถนำเสนอการตีความภาพทฤษฎีบทของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ได้

ฉันจะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่างเรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของวิธีค้นหาฟังก์ชันที่ได้รับ:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่คือศูนย์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x เท่ากับหนึ่ง

หาอนุพันธ์ของเศษส่วนได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาเนื้อหาต่อไปนี้:

สำหรับ x0 <> 0 เรามี

y / x = -1 / x0 * (x + x)

มีกฎหลายข้อในการหาอนุพันธ์ กล่าวคือ:

ถ้าฟังก์ชัน A และ B ต่างกันที่จุด x0,ผลรวมของพวกมันจะแยกจากกัน ณ จุด: (A + B) ’= A’ + B ’ พูดง่ายๆ อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ ถ้าฟังก์ชันมีความแตกต่างกันในบางจุด การเพิ่มขึ้นจะตามมาที่ศูนย์เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เป็นศูนย์

ถ้าฟังก์ชัน A และ B ต่างกันที่จุด x0,จากนั้นผลิตภัณฑ์ของพวกเขาจะมีความแตกต่างตรงจุด: (A * B) '= A'B + AB' (ค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์จะคำนวณที่จุด x0) หากฟังก์ชัน A (x) มีความแตกต่างที่จุด x0 และ C เป็นค่าคงที่ ฟังก์ชัน CA จะมีความแตกต่างที่จุดนี้และ (CA) '= CA' นั่นคือปัจจัยคงที่ดังกล่าวจะถูกลบออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์

หากฟังก์ชัน A และ B มีความแตกต่างกันที่จุด x0 และฟังก์ชัน B ไม่เท่ากับศูนย์ อัตราส่วนของฟังก์ชัน A และ B จะแตกต่างกันที่จุด: (A / B) '= (A'B-AB') / B * NS.