ฟังก์ชันต่อเนื่องคือฟังก์ชันโดยไม่ต้อง "กระโดด" นั่นคือเงื่อนไขที่เป็นที่พอใจ: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในอาร์กิวเมนต์ตามมาด้วยการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในค่าที่เกี่ยวข้องของฟังก์ชัน กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นเส้นโค้งเรียบหรือต่อเนื่อง
ความต่อเนื่องในจุดที่ จำกัด สำหรับบางคนชุดสามารถกำหนดได้โดยใช้แนวคิดของขีด จำกัด กล่าวคือฟังก์ชันต้องมีขีด จำกัด ณ จุดนี้ซึ่งเท่ากับค่าของมันที่จุด จำกัด
หากมีการละเมิดเงื่อนไขเหล่านี้ในบางจุดพวกเขากล่าวว่าฟังก์ชั่น ณ จุดหนึ่งมีความไม่ต่อเนื่องนั่นคือความต่อเนื่องของมันเสีย ในภาษาของขีด จำกัด เบรกพอยต์สามารถอธิบายได้ว่าไม่ตรงกันระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดแตกหักและขีด จำกัด ของฟังก์ชัน (ถ้ามี)
จุดแตกหักสามารถทิ้งได้สำหรับสิ่งนี้การมีอยู่ของขีด จำกัด ของฟังก์ชันเป็นสิ่งที่จำเป็น แต่ไม่ตรงกับค่าของมัน ณ จุดที่กำหนด ในกรณีนี้จะสามารถ "แก้ไข" ในจุดนี้ได้นั่นคือสามารถกำหนดใหม่ได้ถึงจุดที่มีความต่อเนื่อง
รูปภาพที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงจะเกิดขึ้นหากขีด จำกัด ของฟังก์ชันไม่มีอยู่ ณ จุดที่กำหนด มีสองตัวเลือกเบรกพอยต์ที่เป็นไปได้:
- ประเภทแรก - ขีด จำกัด ด้านเดียวทั้งสองมีอยู่และ จำกัด และค่าของหนึ่งในนั้นหรือทั้งสองไม่ตรงกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด
- ประเภทที่สองเมื่อไม่มีขีด จำกัด ด้านเดียวหรือทั้งสองด้านหรือค่าของมันไม่มีที่สิ้นสุด
คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง
- ฟังก์ชันที่ได้รับจากการคำนวณทางคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับการซ้อนทับของฟังก์ชันต่อเนื่องบนโดเมนนิยามของฟังก์ชันนั้นยังต่อเนื่องกัน
- หากคุณได้รับฟังก์ชันต่อเนื่องที่เป็นค่าบวกในบางจุดคุณจะพบว่าพื้นที่ใกล้เคียงที่มีขนาดเล็กพอสมควรซึ่งมันยังคงเป็นสัญลักษณ์อยู่
- ในทำนองเดียวกันถ้าค่าของมันอยู่ที่สองจุด A และ Bมีค่าเท่ากันตามลำดับ a และ b และ a แตกต่างจาก b ดังนั้นสำหรับจุดกลางจะใช้ค่าทั้งหมดจากช่วงเวลา (a; b) ข้อสรุปที่น่าสนใจสามารถสรุปได้จากสิ่งนี้: หากคุณปล่อยให้แถบยางยืดที่ยืดออกหดตัวเพื่อไม่ให้หย่อนคล้อย (ยังคงตรง) จุดใดจุดหนึ่งจะไม่เคลื่อนไหว ในทางเรขาคณิตหมายความว่ามีเส้นตรงผ่านจุดกึ่งกลางระหว่าง A และ B ซึ่งตัดกับกราฟของฟังก์ชัน
ให้เราชี้ให้เห็นฟังก์ชั่นพื้นฐานบางอย่างต่อเนื่อง (ในโดเมนของคำจำกัดความ):
- ค่าคงที่;
- มีเหตุผล;
- ตรีโกณมิติ
ระหว่างสองแนวคิดพื้นฐานในคณิตศาสตร์ - ความต่อเนื่องและความแตกต่าง - มีการเชื่อมโยงที่แยกไม่ออก ก็เพียงพอแล้วที่จะจำไว้ว่าการที่ฟังก์ชันจะแตกต่างได้นั้นจำเป็นที่จะต้องเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกัน
หากฟังก์ชันมีความแตกต่างกันในบางจุดแสดงว่ามีความต่อเนื่องที่นั่น อย่างไรก็ตามมันไม่จำเป็นเลยที่อนุพันธ์ของมันจะต่อเนื่องกัน
ฟังก์ชั่นที่มีอยู่ในบางชุดอนุพันธ์ต่อเนื่องเป็นของฟังก์ชันเรียบที่แยกจากกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือฟังก์ชันที่แตกต่างอย่างต่อเนื่อง หากอนุพันธ์มีจำนวนจุดไม่ต่อเนื่อง จำกัด (เฉพาะชนิดแรก) ฟังก์ชันดังกล่าวจะเรียกว่าแบบเรียบทีละชิ้น
แนวคิดที่สำคัญอีกประการหนึ่งของแคลคูลัสคือความต่อเนื่องสม่ำเสมอของฟังก์ชันนั่นคือความสามารถในการต่อเนื่องอย่างเท่าเทียมกัน ณ จุดใดก็ได้ในโดเมนของนิยาม ดังนั้นนี่คือคุณสมบัติที่ได้รับการพิจารณาในชุดของจุดและไม่ได้แยกจากกัน
ถ้าคุณแก้ไขตรงจุดแล้วคุณจะไม่ได้อะไรเลยนอกเหนือจากคำจำกัดความของความต่อเนื่องนั่นคือจากการมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอตามมาว่าเรามีฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยทั่วไปแล้วการสนทนาไม่เป็นความจริง อย่างไรก็ตามตามทฤษฎีบทของ Cantor ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องกันในชุดขนาดกะทัดรัดนั่นคือในช่วงเวลาปิดฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องกันอย่างสม่ำเสมอ
