Vad är symmetri i matematik? Definition och exempel

Förstå vad symmetri är i matematik,Det är nödvändigt att ytterligare behärska de grundläggande och avancerade ämnena inom algebra, geometri. Detta är också viktigt för att förstå ritning, arkitektur, ritregler. Trots den nära kopplingen till den mest exakta vetenskapen - matematik, är symmetri viktigt för konstnärer, målare, skapare och för dem som bedriver vetenskaplig verksamhet och inom vilket område som helst.

Allmän information

Inte bara matematik utan också naturvetenskap ibaseras till stor del på begreppet symmetri. Dessutom finns det i vardagen, och är en av de grundläggande för vårt universums natur. Förstå vad symmetri är i matematik bör det nämnas att det finns flera typer av detta fenomen. Det är vanligt att prata om sådana alternativ:

• Bilateralt, det vill säga när symmetrin speglas. Detta fenomen i vetenskapssamhället kallas vanligtvis "bilateral".
• N-n ordning.För detta koncept är nyckelfenomenet rotationsvinkeln, beräknad genom att dividera 360 grader med en viss mängd. Dessutom bestäms axeln runt vilken dessa svängar görs i förväg.
• Radial, när fenomenet symmetri observeras,om svängarna görs godtyckligt i någon slumpmässig vinkel. Axeln väljs också oberoende. SO (2) -gruppen används för att beskriva detta fenomen.
• Sfärisk.I det här fallet talar vi om tre dimensioner där objektet roteras och väljer godtyckliga vinklar. Ett specifikt fall av isotropi framhålls när fenomenet blir lokalt, inneboende i miljön eller rymden.
• Rotation, kombinerar de två tidigare beskrivna grupperna.
• Lorentz invariant när godtyckliga rotationer äger rum. För denna typ av symmetri är nyckelbegreppet ”Minkowski space-time”.
• Super, definierad som att ersätta bosoner med fermioner.
• Det högsta, avslöjat under gruppanalysen.
• Translational, när det finns rymdförskjutningar, för vilka forskare identifierar riktning, avstånd. Baserat på erhållna data genomförs en jämförande analys för att avslöja symmetri.
• Mätare observerad vid oberoendemätteori med lämpliga transformationer. Här ägnas särskild uppmärksamhet åt fältteori, inklusive fokus på idéerna från Yang-Mills.
• Kaino, tillhör klassen elektronikkonfigurationer. Matematik (klass 6) har ingen aning om vad sådan symmetri är, för det är en vetenskap av högre ordning. Fenomenet beror på en sekundär periodicitet. Det upptäcktes under vetenskapligt arbete av E. Biron. Terminologin introducerades av S. Shchukarev.

Speglad

Under skolundervisning, elever praktiskt tagetbad alltid om att göra jobbet "Symmetri runt oss" (matematikprojekt). Som regel rekommenderas det för implementering i sjätte klass av en vanlig skola med en allmän läroplan för undervisningsämnen. För att klara projektet måste du först bekanta dig med begreppet symmetri, särskilt för att identifiera vad spegeltypen är som en av de grundläggande och mest förståeliga för barn.

För att identifiera fenomenet symmetri, övervägaen specifik geometrisk figur och välj också ett plan. När pratar de om symmetrin för det aktuella föremålet? Först väljs en punkt på den och sedan återfinns en reflektion för den. Ett segment ritas mellan de två och det beräknas i vilken vinkel mot det tidigare valda planet det passerar.

Förstå vad symmetri är i matematik,kom ihåg att det plan som valts för att upptäcka detta fenomen kommer att kallas symmetriplanet och inget annat. Det ritade segmentet måste korsas med det i rät vinkel. Avståndet från en punkt till detta plan och från den till den andra punkten i linjesegmentet måste vara lika.

nyanser

Vad mer intressant kan du lära dig genom att undersöka dettafenomen som symmetri? Matematik (klass 6) säger att två figurer som anses symmetriska inte nödvändigtvis är identiska med varandra. Jämställdhet finns i en snäv och vid mening. Så, symmetriska föremål i en smal är inte samma sak.

Vilket exempel från livet kan du ge? Elementär!Vad tycker du om våra handskar, vantar? Vi är alla vana att bära dem och vi vet att vi inte kan förlora, för den andra i ett par kan inte längre hämtas, vilket innebär att vi måste köpa båda igen. Och varför? Eftersom parade produkter, även om de är symmetriska, är designade för vänster och höger hand. Detta är ett typiskt exempel på spegelsymmetri. När det gäller jämställdhet erkänns sådana objekt som ”spegelliknande”.

Och hur är det med centret?

Central symmetri börjar medbestämma kroppens egenskaper, i förhållande till vilka det är nödvändigt att utvärdera fenomenet. För att kalla det symmetriskt, välj först en punkt i mitten. Därefter väljs en punkt (villkorligt kommer vi att kalla den A) och leta efter ett par för den (vi villkorligt beteckna den som E).

Vid bestämning av symmetrin för punkterna A och Eansluten med en rak linje och fångar kroppens mittpunkt. Mät sedan den resulterande raka linjen. Om segmentet från punkt A till centrum av objektet är lika med det segment som skiljer centrum från punkt E, kan vi säga att centrum för symmetri har hittats. Central symmetri i matematik är ett av de nyckelbegrepp som möjliggör vidareutveckling av geometri.

Och om vi roterar?

Analysera vad symmetri är i matematik,begreppet den roterande subtypen av detta fenomen kan inte förbises. För att förstå termerna, ta en kropp som har en mittpunkt och definiera också ett heltal.

Under experimentet roteras en viss kropp aven vinkel lika med resultatet av att dividera 360 grader med det valda heltalet. För att göra detta måste du veta vad symmetriaxeln är (andra klass, matematik, läroplan). Denna axel är en rak linje som förbinder de två valda punkterna. Vi kan prata om rotationssymmetrin om kroppen vid den valda rotationsvinkeln kommer att vara i samma läge som före manipulationerna.

I fallet när det naturliga antalet var2 väljs och fenomenet symmetri upptäcks, sägs att axiell symmetri definieras i matematik. Detta är typiskt för ett antal siffror. Typiskt exempel: triangel.

Mer om exempel

Utövandet av många års undervisning i matematik och geometri på gymnasiet visar att det enklaste sättet att hantera fenomenet symmetri är att förklara det med specifika exempel.

Låt oss börja med att titta på sfären. Symmetrifenomen är samtidigt karakteristiska för en sådan kropp:

• central;
• spegel;
• roterande.

Som huvudpunkt väljer du den punkt som liggerexakt i mitten av figuren. För att välja ett plan, definiera en stor cirkel och "klippa" den i lager. Vad pratar matematik om? Rotation och central symmetri i fallet med en boll är sammanhängande begrepp, medan figurens diameter kommer att fungera som axeln för det aktuella fenomenet.

Ett annat bra exempel är en rund kon.Axiell symmetri är karakteristisk för denna figur. I matematik och arkitektur har detta fenomen hittat breda teoretiska och praktiska tillämpningar. Observera: konens axel fungerar som fenomenets axel.

Det studerade fenomenet visas tydligt med den raka linjenprisma. Denna siffra kännetecknas av spegelsymmetri. Ett "snitt" väljs som ett plan, parallellt med figurens baser, med samma intervall från dem. När du skapar ett geometriskt, beskrivande, arkitektoniskt projekt (i matematik är symmetri inte mindre viktigt än i den exakta och beskrivande vetenskapen), kom ihåg användbarheten i praktiken och fördelarna när du planerar de bärande elementen i fenomenet spegling.

Vad sägs om mer intressanta siffror?

Vad kan matematik (klass 6) berätta för oss?Central symmetri är inte bara i ett så enkelt och förståeligt objekt som en boll. Det är kännetecknande för mer intressanta och komplexa figurer. Till exempel är detta ett parallellogram. För ett sådant objekt blir mittpunkten den där dess diagonaler skär varandra.

Men om vi betraktar en likbent trapezoid,då kommer det att ha en axiellt symmetrisk form. Du kan identifiera det om du väljer rätt axel. Kroppen är symmetrisk kring en linje vinkelrät mot basen och korsar den exakt i mitten.

Symmetri i matematik och arkitektur tar nödvändigtvis hänsyn till romben. Denna siffra är anmärkningsvärd genom att den samtidigt kombinerar två typer av symmetri:

• axial;
• central.

Objektets diagonal måste väljas som axel. På den plats där rombens diagonaler skär varandra ligger dess symmetricentrum.

Om skönhet och symmetri

Att bilda ett matematikprojekt, symmetri förvilket skulle vara ett nyckeltema, de minns vanligtvis först och främst de kloka orden från den stora vetenskapsmannen Weil: "Symmetri är en idé som en vanlig människa har försökt förstå i många århundraden, för det är hon som skapar perfekt skönhet genom en unik ordning. "

Som ni vet verkar andra föremål mestvackra, medan andra är motbjudande, även om det inte finns några uppenbara brister i dem. Varför händer det här? Svaret på denna fråga visar förhållandet mellan arkitektur och matematik i symmetri, eftersom det är detta fenomen som blir grunden för att utvärdera ett objekt som estetiskt attraktivt.

En av de vackraste kvinnorna på vår planet är supermodellen Brush Tarlikton. Hon är säker på att hon lyckades främst på grund av ett unikt fenomen: hennes läppar är symmetriska.

Som ni vet, natur och tenderar att symmetri, ochkan inte nå det. Detta är inte en allmän regel, men ta en titt på människorna omkring dig: i mänskliga ansikten är det praktiskt taget omöjligt att hitta absolut symmetri, även om önskan efter den är uppenbar. Ju mer symmetrisk samtalspartners ansikte är, desto vackrare framträder han.

Hur symmetri blev idén om skönhet

Det är fantastiskt vad symmetri bygger påen persons uppfattning om skönheten i det omgivande rummet och föremål i det. I många århundraden har människor strävat efter att förstå vad som verkar vackert och vad som stöter av opartiskhet.

Symmetri, proportioner är det som hjälpervisuellt uppfatta något objekt och utvärdera det positivt. Alla element, delar måste vara balanserade och i rimliga proportioner till varandra. Det har länge konstaterats att människor gillar asymmetriska föremål mycket mindre. Allt detta är förknippat med begreppet "harmoni". Sedan urminnes tider har vise, skådespelare och konstnärer undrat varför detta är så viktigt för en person.

Det är värt att titta närmare på de geometriska formerna, och fenomenet symmetri blir uppenbart och förståeligt. De mest typiska symmetriska fenomenen i utrymmet omkring oss:

• stenar;
• blommor och blad av växter;
• parade yttre organ som är inneboende i levande organismer.

De beskrivna fenomenen har sitt ursprung i naturen själv.Men vad kan ses symmetriskt när man tittar på produkterna från mänskliga händer? Det märks att människor graviterar mot att skapa just sådant, om de strävar efter att göra något vackert eller funktionellt (eller både sådant och sådant samtidigt):

• mönster och ornament som är populära sedan urminnes tider;
• byggnadselement;
• strukturella delar av utrustning;
• handarbete.

Om terminologi

"Symmetri" är ett ord som kom till vårt språk frånde forntida grekerna, som för första gången ägde stor uppmärksamhet åt detta fenomen och försökte studera det. Termen betecknar närvaron av ett visst system, liksom en harmonisk kombination av objektets delar. Om du översätter ordet "symmetri" kan du välja som synonymer:

• proportionalitet;
• enformighet;
• proportionalitet.

Sedan antiken har symmetri varit ett viktigt begreppför mänsklighetens utveckling inom olika områden och industrier. Sedan antiken har folk haft allmänna idéer om detta fenomen, främst med tanke på det i vid bemärkelse. Symmetri innebar harmoni och balans. Numera undervisas terminologi i en vanlig skola. Exempelvis berättar läraren för barnen vad symmetriaxeln är (andra klass, matematik) i en vanlig klass.

Som en idé blir detta fenomen oftaden första förutsättningen för vetenskapliga hypoteser och teorier. Detta var särskilt populärt under tidigare århundraden, då idén om matematisk harmoni som är inneboende i själva universumet styrde över hela världen. Kännare av dessa epoker var övertygade om att symmetri är en manifestation av gudomlig harmoni. Men i det antika Grekland försäkrade filosoferna att hela universum är symmetriskt, och allt detta baserades på postulatet: "Symmetri är vacker."

Stora greker och symmetri

Symmetri har begeistrat kända forskares sinnenAntikens Grekland. Bevis har kommit ner till denna dag att Platon krävde separat beundran av vanlig polyeder. Enligt hans uppfattning är sådana figurer personifieringen av elementen i vår värld. Följande klassificering fanns:

Till stor del på grund av denna teori är det vanligt att kalla vanliga polyedrar platoniska fasta ämnen.

Men terminologin introducerades ännu tidigare, och här spelade skulptören Polyclet en viktig roll.

Pythagoras och symmetri

Under Pythagoras liv och senare, närhans läror blomstrade, fenomenet symmetri var tydligt definierat. Det var då som symmetri genomgick vetenskaplig analys, vilket gav resultat som var viktiga för praktisk tillämpning.

Enligt resultaten:

• Symmetri bygger på begreppen proportion, enhetlighet och jämlikhet. När ett eller annat koncept bryts, blir figuren mindre symmetrisk och blir gradvis till en helt asymmetrisk.
• Det finns 10 motsatta par.Enligt doktrinen är symmetri ett fenomen som leder motsatser till en och därigenom bildar universum som helhet. Under många århundraden har detta postulat haft ett starkt inflytande på ett antal vetenskaper, både exakta och filosofiska, såväl som naturliga.

Pythagoras och hans anhängare identifierade "perfekt symmetriska kroppar", till vilka de rankade de som uppfyllde villkoren:

• varje ansikte är en polygon;
• ansikten möts i hörnen;
• formen måste ha lika sidor och vinklar.

Det var Pythagoras som först sa att det bara finns fem sådana kroppar. Denna stora upptäckt lade grunden för geometri och är oerhört viktig för modern arkitektur.

Vill du se med dina egna ögon mestunderbart fenomen av symmetri? Fånga en snöflinga på vintern. Förvånansvärt är faktum att denna lilla isbit som faller från himlen inte bara har en extremt komplex kristallstruktur utan också perfekt symmetrisk. Tänk noga på det: snöflingan är riktigt vacker och dess invecklade linjer är fascinerande.