Шта је тангента на круг? Особине тангенте круга. Заједничка тангента на два круга

Секанте, тангенте - све ово се могло чути стотине пута на часовима геометрије. Али матура из школе је завршена, године пролазе, а све ово знање се заборавља. Шта треба запамтити?

Ессенце

Израз "тангента на круг" знак,вероватно сви. Али тешко да ће сви моћи брзо да формулишу његову дефиницију. У међувремену, тангентном линијом називамо праву која лежи у истој равни са кругом, који је пресеца само у једној тачки. Може их бити огромна разноликост, али сви имају иста својства, о чему ће бити речи у наставку. Као што можете претпоставити, тачка тангенције је место где се круг и линија пресецају. У сваком конкретном случају то је један, али ако их има више, онда ће то већ бити секанта.

Историја открића и проучавања

Концепт тангентне линије датира из античких времена.Конструкција ових правих линија, прво до круга, а затим до елипса, парабола и хипербола помоћу лењира и шестара, изведена је у почетним фазама развоја геометрије. Наравно, историја није сачувала име проналазача, али очигледно је да су чак и у то време људи били прилично свесни својстава тангенте на круг.

У модерно доба интересовање за овај феномен се распламсалоопет - започела је нова рунда проучавања овог концепта у комбинацији са откривањем нових кривих. Дакле, Галилео је представио концепт циклоиде, а Фермат и Десцартес су изградили тангенту на њега. Што се тиче кругова, чини се да за древне на овом подручју нису остале тајне.

Особине

Полумјер повучен до пресека биће окомит на линију. то

главно, али не и једино својство којеима тангенту на круг. Друга важна карактеристика већ укључује две равне линије. Дакле, кроз једну тачку која лежи изван круга можете нацртати две тангенте, док ће њихови сегменти бити једнаки. Постоји још једна теорема о овој теми, али она се ретко доноси у оквиру стандардног школског курса, иако је изузетно погодна за решавање неких проблема. Звучи овако. Из једне тачке која се налази изван круга, на њу се повлаче тангента и секанта. Формирани су сегменти АБ, АЦ и АД. А - пресек линија, Б - тачка додира, Ц и Д - пресеци. У овом случају биће тачна следећа једнакост: дужина тангенте на круг, на квадрат, биће једнака производу сегмената АЦ и АД.

Из наведеног постоји важна последица.За сваку тачку круга можете нацртати тангентну линију, али само једну. Доказ за то је прилично једноставан: теоретски, спуштајући окомицу са полупречника на њега, откривамо да формирани троугао не може постојати. А то значи да је тангента једина.

Зграда

Између осталих проблема у геометрији постоји посебна категорија, обично не

коју воле ученици и студенти. Да бисте решили задатке из ове категорије, требају вам само компас и лењир. То су грађевински задаци. Постоје и за изградњу тангенте.

Дакле, с обзиром на круг и тачку која лежи изван његагранице. И треба да нацртате тангенту кроз њих. Како се то може учинити? Пре свега, потребно је да нацртате сегмент између центра круга О и дате тачке. Затим, помоћу компаса, треба да га поделите на пола. Да бисте то урадили, потребно је да поставите радијус - нешто више од половине растојања између средишта првобитног круга и ове тачке. После тога треба да изградите два лука која се секу. Штавише, радијус компаса не треба мењати, а центар сваког дела круга биће почетна тачка, односно О. Пресеци лукова морају бити повезани, што ће раздвојити линију на пола. Подесите полупречник на компасу једнак овој удаљености. Затим, са центром на тачки пресека, направите још један круг. На њему ће лежати и почетна тачка и О. У овом случају биће још два пресека са кружницом датом у задатку. Они ће бити тачке додира за првобитно назначену тачку.

Занимљиво

Конструкција тангенти на круг довела је до рођења

диференцијални рачун.Прво дело на ову тему објавио је познати немачки математичар Лајбниц. Предвидела је могућност проналажења максимума, минимума и тангенти без обзира на разломљене и ирационалне вредности. Па, сада се користи и за многе друге прорачуне.

Поред тога, тангента на круг је повезана сагеометријско значење тангенте. Отуда и потиче његово име. У преводу са латинског тангенс - „тангента“. Дакле, овај концепт је повезан не само са геометријом и диференцијалним рачуном, већ и са тригонометријом.

Два круга

Тангента не утиче увек само на једну фигуру.Ако се у један круг може повући огроман скуп равних линија, зашто не и обрнуто? Моћи. Али задатак у овом случају је озбиљно компликован, јер тангента на два круга можда неће проћи ни кроз једну тачку, а релативни положај свих ових фигура може бити врло

различит.

Врсте и сорте

Када су у питању два круга и један илинеколико правих линија, онда чак и ако се зна да су то тангенте, не постаје одмах јасно како се све ове фигуре налазе у односу једна на другу. На основу овога разликује се неколико сорти. Дакле, кругови могу имати једну или две заједничке тачке или их уопште немају. У првом случају ће се пресећи, а у другом ће се додирнути. И овде постоје две сорте. Ако је један круг такорећи угнежђен у други, тада се додир назива унутрашњим, ако не, онда спољним. Релативни положај фигура могуће је разумети не само на основу цртежа, већ и поседовањем информација о збиру њихових радијуса и растојању између њихових центара. Ако су ове две вредности једнаке, тада су кругови тангенти. Ако је прво више, пресецају се, а ако је мање, онда немају заједничких тачака.

Исто је и са правим линијама. За било која два круга која немају заједничке тачке можете

изградити четири тангенте. Два од њих ће се пресецати између облика, они се називају унутрашњим. Неколико других је спољашњих.

Ако говоримо о круговима који га имајузаједничка тачка, задатак је у великој мери поједностављен. Чињеница је да ће за било који релативни положај, у овом случају, имати само једну тангенту. И проћи ће кроз тачку њиховог пресека. Дакле, конструкција неће узроковати потешкоће.

Ако ликови имају две тачке пресека, ондаза њих се може конструисати равна линија која је тангента на круг и једне и друге, али само спољне. Решење овог проблема је слично ономе о чему ће бити речи у наставку.

Решавања проблема

И унутрашња и спољна тангента на двакругови, у конструкцији нису тако једноставни, иако је овај проблем решив. Чињеница је да се за ово користи помоћна фигура, па сами размислите о овој методи

прилично проблематично. Дакле, дата су два круга са различитим полупречницима и центрима О1 и О2. За њих треба да направите два пара тангенти.

Пре свега, близу центра већег кругатреба да направите помоћни. У овом случају, разлика између радијуса две оригиналне фигуре мора се утврдити на компасу. Тангенте на помоћни круг конструисане су од центра мањег круга. Након тога, из О1 и О2, цртају се окомити правци на ове линије док се не пресеку са оригиналним фигурама. Као што следи из главног својства тангенте, пронађене су тражене тачке на оба круга. Проблем је решен, бар његов први део.

Да бисте изградили унутрашње тангенте, мораћете да решите практично

сличан задатак.Поново ће вам требати секундарни облик, али овог пута његов радијус ће бити једнак збиру првобитних. Тангенте су извучене из средишта једног од ових кругова. Даљи ток решења може се разумети из претходног примера.

Тангента на круг или чак два или више -није тако тежак задатак. Наравно, математичари одавно више не решавају такве проблеме ручно и поверавају прорачуне посебним програмима. Али немојте мислити да сада није неопходно да то можете сами да урадите, јер да бисте правилно формулисали задатак за рачунар, морате много тога да урадите и разумете. На несрећу, постоји бојазан да ће након коначног преласка на тестни облик контроле знања, грађевински задаци ученицима стварати све више потешкоћа.

Што се тиче проналаска заједничких тангенти за велики број кругова, то није увек могуће, чак и ако леже у истој равни. Али у неким случајевима можете пронаћи такву праву линију.

Примери из стварног живота

Заједничка тангента на два круга је честојавља у пракси, мада то није увек уочљиво. Транспортери, блок системи, ремење за пренос ременице, затезање конца у машини за шивење, па чак и само ланац за бицикл - све су то примери из живота. Тако да не бисте требали мислити да геометријски проблеми остају само у теорији: они проналазе практичну примену у инжењерству, физици, грађевинарству и многим другим областима.