Среди многочисленных предметов средња школа је као "геометрија". Традиционално се верује да су преци ове систематске науке Грци. Данас се грчка геометрија назива елементарна, јер је она започела проучавање најједноставнијих облика: равни, равне линије, правилни полигони и трокути. На крају ћемо фокусирати нашу пажњу, односно на симетралу ове фигуре. За оне који су већ заборавили, симетрала троугла је сегмент симетрале једног од углова троугла, који је дели на пола и повезује врх са тачком која се налази на супротној страни.
Симетрала троугла има низ својстава која морају бити позната при решавању различитих задатака:
- Симетрала угла је локус тачака које се налазе на једнаким растојањима од страна поред угла.
- Симетрала у троуглу дели супротноод угла до странице у сегменте који су пропорционални суседним страницама. На пример, дат је троугао МКБ, где симетрала излази из угла К, повезујући врх овог угла са тачком А на супротној страни МБ. Анализирајући ово својство и наш троугао, имамо МА / АБ = МК / КБ.
- Тачка у којој се секу симетрале сва три угла троугла је средиште круга уписаног у исти троугао.
- Основа симетрала једног спољног и два унутрашња угла налазе се на истој правој линији, под условом да симетрала спољног угла није паралелна са супротном страном троугла.
- Ако су две симетрале једног троугла једнаке, онда је овај троугао једнакокрак.
Треба напоменути да ако се дају три симетрале, тада је изградња троугла дуж њих, чак и уз помоћ компаса, немогућа.
Веома често, приликом решавања проблема, симетралатроугао је непознат, али потребно је одредити његову дужину. Да бисте решили такав проблем, потребно је знати угао који је симетралом подељен на пола и странице суседне овом углу. У овом случају, потребна дужина је дефинисана као однос удвострученог производа страница суседних углу и косинуса угла подељеног на пола према збиру страница суседних углу. На пример, дат је исти троугао МКБ. Симетрала напушта угао К и пресеца супротну страну СН у тачки А. Угао из којег излази симетрала означава се са и. Сада запишите све што је речено речима у облику формуле: КА = (2 * МК * КБ * цос и / 2) / (МК + КБ).
Ако вредност угла из ког излазисиметрала троугла је непозната, али су познате све његове странице, тада ћемо за израчунавање дужине симетрале користити додатну променљиву коју називамо полупериметар и означавамо словом П: П = 1/2 * ( МК + КБ + МБ). Након тога извршићемо неке измене у претходној формули, којом је одређена дужина симетрале, наиме, у бројилац разломка стављамо двоструки квадратни корен производа дужина страница суседних углу , на полу-периметру и количнику, где се од пола-периметра одузима дужина треће странице. Оставите називник непромењеним. У облику формуле то ће изгледати овако: КА = 2 * √ (МК * КБ * П * (П-МБ)) / (МК + КБ).
Симетрала у правоуглом троуглу имасва иста својства као и у уобичајеном, Али, поред већ познатог, постоји и ново: симетрале оштрих углова правоуглог троугла, када се пресеку, чине угао од 45 степени. Ако је потребно, то је лако доказати коришћењем својстава троугла и суседних углова.
Симетрала једнакокраког троугла заједно саима неколико заједничких својстава. Сетимо се шта је овај троугао. Такав троугао има две странице једнаке, а углови суседни основи су једнаки. Из овога следи да су симетрале које се спуштају на бочне странице једнакокраког троугла једнаке једна другој. Поред тога, симетрала, спуштена на подножје, истовремено је и висина и средња вредност.
