Georg Cantor (fotografia je uvedená ďalej v článku) -Nemecký matematik, ktorý vytvoril teóriu množín a zaviedol koncept nekonečných čísel, nekonečne veľkých, ale navzájom sa odlišujúcich. Definoval tiež radové a kardinálne čísla a vytvoril ich aritmetiku.
Georg Cantor: krátky životopis
Narodený v Petrohrade 03.03.1845.Jeho otcom bolo dánske protestantské náboženstvo Georg-Waldemar Kantor, ktorý sa zaoberal obchodom vrátane burzy cenných papierov. Jeho matka Maria Boehm bola katolíčka a pochádzala z rodiny významných hudobníkov. Keď v roku 1856 Georgov otec ochorel, rodina sa presťahovala, aby hľadala miernejšie podnebie, najskôr do Wiesbadenu a potom do Frankfurtu. Matematické schopnosti chlapca sa prejavili ešte pred jeho 15. narodeninami počas štúdia na súkromných školách a gymnáziách v Darmstadte a Wiesbadene. Nakoniec Georg Cantor presvedčil svojho otca o svojom pevnom zámere stať sa matematikom, nie inžinierom.
Po krátkom štúdiu na univerzite v Zürichu v roku 1863 prestúpil Kantor na univerzitu v Berlíne, kde študoval fyziku, filozofiu a matematiku. Tam ho učili:
- Karl Theodor Weierstrass, ktorého špecializácia na analýzu bola pre Georga pravdepodobne najvplyvnejšia;
- Ernst Eduard Kummer, ktorý učil vyššiu aritmetiku;
- Leopold Kronecker, teoretik čísel, ktorý sa neskôr postavil proti Cantorovi.
Po jednom semestri na univerzite v Göttingene vV roku 1866, nasledujúci rok, Georg napísal dizertačnú prácu s názvom „V matematike je umenie pýtať sa vecí cennejšie ako riešenie problémov“, ktorá sa týka problému, ktorý Karl Friedrich Gauss nechal nevyriešený vo svojej publikácii Disquisitiones Arithmeticae (1801). Po krátkom štúdiu na Berlínskej dievčenskej škole začal Kantor pracovať na univerzite v Halle, kde pôsobil až do konca svojho života, najskôr ako učiteľ, od roku 1872 ako odborný asistent a od roku 1879 ako profesor.
výskum
Na začiatku série 10 diel od roku 1869 do 1873Georg Cantor uvažoval o teórii čísel. Dielo odrážalo jeho vášeň pre tento predmet, štúdium Gaussa a vplyv Kroneckera. Na návrh Heinricha Eduarda Heineho, kolegu Cantora v Halle, ktorý uznal jeho matematické nadanie, sa obrátil k teórii trigonometrických sérií, v ktorej rozšíril koncept reálnych čísel.
Počnúc prácou na funkcii komplexupremenná nemeckého matematika Bernharda Riemanna v roku 1854, v roku 1870 Cantor ukázal, že takúto funkciu je možné znázorniť iba jedným spôsobom - trigonometrickou sériou. Úvaha o množine čísel (bodov), ktorá by nebola v rozpore s takýmto názorom, ho viedla po prvé v roku 1872 k definícii iracionálnych čísel z hľadiska konvergujúcich postupností racionálnych čísel (zlomky celých čísel) a potom k začiatku práce na prácu celého jeho života, teóriu množín a koncept transfinitívnych čísel.
Teória množín
Georg Cantor, ktorého teória množín sa zrodilav korešpondencii s matematikom Technického ústavu v Braunschweigu Richardom Dedekindom s ním bol kamarát od detstva. Dospeli k záveru, že množiny, konečné alebo nekonečné, sú súborom prvkov (napríklad čísla, {0, ± 1, ± 2 ...}), ktoré majú určitú vlastnosť pri zachovaní svojej individuality. Ale keď Georg Cantor použil korešpondenciu jedna k jednej na štúdium ich charakteristík (napríklad {A, B, C} až {1, 2, 3}), rýchlo si uvedomil, že sa líšia stupňom spolupatričnosti, dokonca keby to boli nekonečné množiny, to znamená množiny, ktorých časť alebo podmnožina obsahuje toľko objektov ako sama. Jeho metóda čoskoro priniesla úžasné výsledky.
V roku 1873 to ukázal Georg Cantor (matematik)racionálne čísla, aj keď sú nekonečné, sú spočítateľné, pretože je možné ich uviesť v korešpondencii jedna k jednej s prirodzenými číslami (t. j. 1, 2, 3 atď.). Ukázal, že množina reálnych čísel, pozostávajúca z iracionálnych a racionálnych, je nekonečná a nespočetná. Paradoxnejšie je, že Cantor dokázal, že množina všetkých algebraických čísel obsahuje toľko prvkov ako množina všetkých celých čísel, a že transcendentné čísla, ktoré nie sú algebraické, ktoré sú podmnožinou iracionálnych čísel, sú nespočetné, a preto je ich počet väčší než celé čísla. a mali by sa považovať za nekonečné.
Odporcovia a podporovatelia
Ale Cantorova práca, v ktorej najskôr predniesoltieto výsledky neboli publikované v časopise Krell, pretože jeden z recenzentov, Kronecker, bol rázne proti. Ale po Dedekindovej intervencii bola publikovaná v roku 1874 pod názvom „O charakteristických vlastnostiach všetkých skutočných algebraických čísel“.
Veda a osobný život
V tom istom roku, počas medumesiacov so svojou manželkou Wally Gutmannovou vo švajčiarskom Interlakene, sa Kantor stretol s Dedekindom, ktorý hovoril priaznivo o svojej novej teórii. Georgov plat bol malý, ale z peňazí jeho otca, ktorý zomrel v roku 1863, postavil dom pre svoju manželku a päť detí. Mnohé z jeho diel boli publikované vo Švédsku v novom časopise Acta Mathematica, ktorý redigoval a založil Gesta Mittag-Leffler, ktorý ako jeden z prvých ocenil talent nemeckého matematika.
Spojenie s metafyzikou
Cantorova teória sa stala úplne novým predmetomštúdie týkajúce sa matematiky nekonečna (napríklad série 1, 2, 3 atď. a zložitejšie množiny), ktoré vo veľkej miere záviseli od individuálnej korešpondencie. Cantorov vývoj nových metód kladenia otázok o kontinuite a nekonečnosti spôsobil, že jeho výskum bol nejednoznačný.
Keď tvrdil, že nekonečné čísla sú skutočnéexistujú, obrátil sa na antickú a stredovekú filozofiu vo vzťahu k skutočnému a potenciálnemu nekonečnu, ako aj na ranú náboženskú výchovu, ktorú mu dávali jeho rodičia. V roku 1883 spojil Cantor vo svojej knihe Základy všeobecnej teórie množín svoj koncept s Platónovou metafyzikou.
Kronecker, ktorý tvrdil, že „existuje“iba celé čísla („Boh stvoril celé čísla, zvyšok je dielom človeka“), dlhé roky vrúcne odmietal jeho úvahy a bránil mu v menovaní na univerzitu v Berlíne.
Transfinitné čísla
V rokoch 1895-97.Georg Cantor vo svojej najslávnejšej práci publikovanej pod názvom „Príspevok k vytvoreniu teórie transfinitívnych čísel“ (1915) naplno formoval svoju koncepciu kontinuity a nekonečna vrátane nekonečných radových a kardinálnych čísel. Táto esej obsahuje jeho koncepciu, ku ktorej ho viedol demonštrácia toho, že nekonečnej množiny je možné dať do vzájomnej korešpondencie s jednou z jej podskupín.
Pod najmenším transfinitným hlavným číslommal na mysli mohutnosť ktorejkoľvek množiny, ktorú je možné uviesť do korešpondencie jedna k jednej s prirodzenými číslami. Cantor to nazval aleph-zero. Veľké transfinitné množiny sa označujú ako alef-jedna, alef-dva atď. Potom vyvinul aritmetiku transfinitných čísel, ktorá bola obdobou konečnej aritmetiky. Obohatil teda pojem nekonečna.
Opozícia, ktorej čelil, a časže to, aby bolo možné plne akceptovať jeho myšlienky, je dôsledok ťažkostí s prehodnocovaním starodávnej otázky, čo je to číslo. Cantor ukázal, že množina bodov na priamke má vyššiu moc ako alef-nula. To viedlo k známemu problému hypotézy kontinua - medzi alefom nula a mohutnosťou bodov na linke nie sú žiadni kardináli. Tento problém vzbudil v prvej a druhej polovici 20. storočia veľký záujem a študovali ho mnohí matematici, napríklad Kurt Gödel a Paul Cohen.
depresie
Životopis Georga Cantora od roku 1884bol zatienený nástupom svojej duševnej choroby, ale naďalej aktívne pracoval. V roku 1897 sa zúčastnil prvého medzinárodného matematického kongresu v Zürichu. Čiastočne preto, lebo mu odporoval Kronecker, často sympatizoval s mladými ctižiadostivými matematikmi a hľadal spôsob, ako ich oslobodiť od útlaku učiteľov, ktorí sa cítili ohrození novými myšlienkami.
uznanie
Na prelome storočí bola jeho práca úplnázákladom pre teóriu funkcií, analýzu a topológiu. Knihy kantora Georga navyše slúžili ako impulz pre ďalší rozvoj intuitívnych a formalistických škôl logických základov matematiky. To výrazne zmenilo systém výučby a často sa to spája s „novou matematikou“.
V roku 1911 g.Kantor bol medzi pozvanými na oslavu 500. výročia University of St Andrews v Škótsku. Išiel tam v nádeji, že sa stretne s Bertrandom Russellom, ktorý vo svojej nedávno publikovanej práci Principia Mathematica opakovane odkazoval na nemeckého matematika, ale nestalo sa tak. Univerzita udelila Kantorovi čestný titul, pre chorobu však nemohol cenu osobne prevziať.
Kantor odišiel do dôchodku v roku 1913., žili v chudobe a počas prvej svetovej vojny hladovali. Oslavy pri príležitosti jeho 70. narodenín v roku 1915 boli kvôli vojne zrušené, ale v jeho dome sa konal malý obrad. Zomrel 06.01.1918 v Halle v psychiatrickej liečebni, kde strávil posledné roky svojho života.
Georg Cantor: životopis. Rodina
9. augusta 1874Nemecký matematik sa oženil s Wallym Gutmannom. Pár mal 4 synov a 2 dcéry. Posledné dieťa sa narodilo v roku 1886 v novom dome, ktorý získal Kantor. Dedičstvo po otcovi mu pomohlo uživiť rodinu. Kantorov zdravotný stav výrazne ovplyvnila smrť jeho najmladšieho syna v roku 1899 - odvtedy nezanechal depresie.
