Ako vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu? Je známe, že ide o konkrétny variant sekery rovnosti2+ bx + c = o, kde a, bac sú skutočnékoeficienty pri neznámom x a kde a ≠ o a b a c budú nuly - súčasne alebo osobitne. Napríklad c = o, v ≠ o alebo naopak. Takmer sme si spomenuli na definíciu kvadratickej rovnice.
Poďme si to ujasniť
Trojstupňové obdobie druhého stupňa sa rovná nule.Jeho prvý koeficient a ≠ o, b a c môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Hodnota premennej x bude potom koreňom rovnice, keď ju pri nahradení zmení na platnú číselnú rovnosť. Poďme sa venovať skutočným koreňom, hoci komplexné čísla môžu byť tiež riešením rovnice. Je zvykom nazývať rovnicu úplnou, v ktorej sa žiaden z koeficientov nerovná o, ale ≠ o, v ≠ o, s ≠ o.
Poďme vyriešiť príklad. 2x2-9x-5 = ach, nájdeme
D = 81 + 40 = 121,
D je kladné, takže existujú korene, x1 = (9 + √121): 4 = 5 a druhé je x2 = (9-√121): 4 = -o, 5. Kontrola pomôže skontrolovať, či sú správne.
Tu uvádzame postupné riešenie kvadratickej rovnice
Prostredníctvom diskriminátora môžete vyriešiť ktorúkoľvek rovnicu, na ktorej ľavej strane je známa kvadratická trojčlenka pre a. V našom príklade. 2x2-9x-5 = 0 (ach2+ v + c = o)
- Najprv nájdeme rozlišovaciu zložku D podľa známeho vzorca v2-4ac.
- Skontrolujeme, aká bude hodnota D: máme viac ako nulu, môže sa rovnať nule alebo menej.
- Vieme, že ak D ›o, kvadratická rovnica má iba 2 rôzne skutočné korene, sú označené x1 obyčajne x2,
takto vypočítali:
X1 = (-v + √D) :( 2a) a druhé: x2 = (-v-√D) :( 2а). - D = o - jeden koreň alebo, povedzme, dva rovnaké:
X1 rovná sa x2 a rovná sa -b: (2a). - Nakoniec D ‹o znamená, že rovnica nemá skutočné korene.
Zvážte, aké sú neúplné rovnice druhého stupňa
- Oh2+ v = o. Voľný termín, koeficient c pri x0, tu je nula, na o.
Ako vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu tohto druhu? Presuňte x zo zátvoriek. Pamätajte, keď súčin dvoch faktorov je nulový.
x (ax + b) = o, mohlo by to byť, keď x = o alebo keď ax + b = o.
Po vyriešení 2. lineárnej rovnice máme x = -v / a.
Vo výsledku máme korene x1 = 0, výpočtami z2 = -b / a. - Teraz sa koeficient pri x rovná o a c sa nerovná (≠) o.
z2+ c = o. Prenesieme c na pravú stranu rovnosti, dostaneme x2 = -s. Táto rovnica má skutočné korene iba vtedy, keď -c je kladné číslo (c <o),
X1 potom sa rovná √ (-с), respektíve x2 - -√ (-c). Inak rovnica nemá vôbec žiadne korene. - Posledná možnosť: b = c = o, teda ah2 = asi. Prirodzene, taká jednoduchá rovnica má jeden koreň, x = o.
Osobitné prípady
Zvažovali sme, ako vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu, a teraz si vezmeme akékoľvek typy.
- V celej kvadratickej rovnici je druhý koeficient pri x párne číslo.
Nech k = o, 5b. Máme vzorce na výpočet diskriminátora a koreňov.
D / 4 = k2- ac, korene sa vypočítajú ako x1,2 = (-k ± √ (D / 4)) / a pre D ›o.
x = -k / a, keď D = o.
V D ‹o nie sú žiadne korene. - Uvádzajú sa kvadratické rovnice, keď je koeficient x na druhú 1, je zvykom ich písať x2 + px + q = o. Platia pre ne všetky vyššie uvedené vzorce, ale výpočty sú o niečo jednoduchšie.
Príklad, x2-4x-9 = 0. Vypočítajte D: 22+9, D = 13.
X1 = 2 + √13, x2 = 2-√13. - Navyše je ľahké ich na dané aplikovaťVietina veta. Hovorí sa v ňom, že súčet koreňov rovnice je –p, druhý koeficient s mínusom (čo znamená opačné znamienko) a súčin týchto koreňov sa bude rovnať q, teda voľnému členu. Skontrolujte, aké ľahké by bolo ústne určiť korene tejto rovnice. Pre neredukované (pre všetky nenulové koeficienty) platí táto veta nasledovne: súčet x1+ x2 sa rovná -b / a, súčin x1X2 rovná sa.
Súčet voľného termínu c a prvého koeficientu arovný koeficientu b. V tejto situácii má rovnica najmenej jeden koreň (je ľahké ho dokázať), prvý sa nevyhnutne rovná -1 a druhý –c / a, ak existuje. Ako vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu, môžete to skontrolovať sami. Rovnako ľahké ako koláč. Koeficienty môžu byť v niektorých pomeroch medzi sebou
- z2+ x = o, 7x2-7 = o.
- Súčet všetkých koeficientov je o.
Korene takejto rovnice sú 1 a / s. Príklad, 2x2-15x + 13 = o.
z1 = 1, x2 = 13/2.
Existuje množstvo ďalších spôsobov, ako vyriešiť rôznerovnice druhého stupňa. Tu je napríklad metóda extrakcie celého štvorca z daného polynómu. Existuje niekoľko grafických spôsobov. Keď sa s takýmito príkladmi často zaoberáte, naučíte sa ich „cvakať“ ako semienka, pretože všetky metódy vám prídu na myseľ automaticky.
