Metodă simplă de iterație, numită și metodăaproximarea succesivă este un algoritm matematic pentru găsirea valorii unei mărimi necunoscute prin rafinarea sa treptată. Esența acestei metode este că, după cum sugerează și numele, exprimând treptat pe cele ulterioare de la aproximarea inițială, se obțin rezultate din ce în ce mai rafinate. Această metodă este folosită pentru a găsi valoarea unei variabile într-o funcție dată, precum și la rezolvarea sistemelor de ecuații, atât liniare, cât și neliniare.
Să luăm în considerare modul în care această metodă este implementată atunci când rezolvăm un SLAE. Metoda simplă de iterație are următorul algoritm:
1.Verificarea îndeplinirii condiției de convergență în matricea originală. Teorema de convergență: dacă matricea inițială a sistemului are o dominantă diagonală (adică, în fiecare rând, elementele diagonalei principale trebuie să fie mai mari în modul decât suma elementelor diagonalelor secundare modulo), atunci metoda simplă iterațiile este convergentă.
2.Matricea sistemului original nu are întotdeauna o dominantă diagonală. În astfel de cazuri, sistemul poate fi convertit. Ecuațiile care satisfac condiția de convergență sunt lăsate intacte, iar cu cele care nu satisfac, formează combinații liniare, adică. înmulțiți, scădeți, adăugați ecuațiile până se obține rezultatul dorit.
Dacă în sistemul rezultat pe diagonala principală există coeficienți incomozi, atunci termenii formei cueu* Xeu, ale căror semne trebuie să coincidă cu semnele elementelor diagonale.
3. Conversia sistemului rezultat la forma sa normală:
cu-= β-+ α * x-
Acest lucru se poate face în multe moduri, de exemplu, astfel: din prima ecuație, exprimați x1 prin alte necunoscute, din a doua - x2, din a treia - x3 etc. În acest caz, folosim formulele:
αij= - (aij / Aii)
eu= beu/ Aii
Ar trebui să se verifice din nou că sistemul rezultat de formă normală îndeplinește condiția de convergență:
∑ (j = 1) | αij| ≤ 1, în timp ce i = 1,2, ... n
4. Începem să aplicăm, de fapt, însăși metoda aproximărilor succesive.
cu(0)este aproximarea initiala, exprimam prin ea x(1), apoi prin x(1) exprima x(2)... Formula generală sub formă de matrice arată astfel:
cu(n)= β-+ α * x(n-1)
Calculăm până ajungem la precizia necesară:
max | xeu(k) -xeu(k + 1) ≤ ε
Deci, să punem în practică metoda simplă de iterație. Exemplu:
Rezolvați SLAE:
4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 cu precizie ε = 10-3
Să vedem dacă elementele diagonale prevalează în modul.
Vedem că doar a treia ecuație satisface condiția de convergență. Transformăm primul și al doilea, adăugăm al doilea la prima ecuație:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
Scădeți primul din al treilea:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Am convertit sistemul original într-unul echivalent:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4
Acum să readucem sistemul la normal:
x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Verificarea convergenței procesului iterativ:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, i.e. condiția este îndeplinită.
0,3947
Aproximația inițială x(0) = 0,4762
0,8511
Înlocuind aceste valori în ecuația de formă normală, obținem următoarele valori:
0,08835
cu(1)= 0,486793
0,446639
Înlocuind noi valori, obținem:
0,215243
cu(2)= 0,405396
0,558336
Continuăm calculele până când ne apropiem de valorile care satisfac condiția dată.
0,18813
cu(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
cu(opt) = 0,44164
0,544428
Să verificăm corectitudinea rezultatelor obținute:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Rezultatele obținute prin substituirea valorilor găsite în ecuațiile originale îndeplinesc pe deplin condițiile ecuației.
După cum putem vedea, metoda simplă de iterație oferă rezultate destul de precise, totuși, pentru a rezolva această ecuație, a trebuit să petrecem mult timp și să facem calcule greoaie.
