Sistemele de ecuații sunt utilizate pe scară largă înindustria economică în modelarea matematică a diverselor procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.
Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în matematică, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.
Un sistem de ecuații liniare este două sau mai multeecuaţii cu mai multe variabile la care trebuie găsită o soluţie generală. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.
Ecuație liniară
Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea unei ecuații prin reprezentarea ei va arăta ca o dreaptă, toate punctele care sunt soluții ale polinomului.
Tipuri de sisteme de ecuații liniare
Cele mai simple exemple sunt considerate a fi sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.
F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.
Rezolvarea sistemului de ecuații - aceasta înseamnă găsirea valorilor (x, y) la care sistemul se transformă într-o egalitate adevărată sau stabilirea faptului că valorile adecvate ale lui x și y nu există.
O pereche de valori (x, y), scrisă ca coordonatele unui punct, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.
Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, ele se numesc echivalente.
Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul egal are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem este eterogen.
Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.
Când se confruntă cu sisteme, școlarii presupuncă numărul de ecuații trebuie să coincidă neapărat cu numărul de necunoscute, dar nu este așa. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile; pot fi oricât de multe dintre ele se dorește.
Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații
Nu există o metodă analitică generalăsoluții de sisteme similare, toate metodele se bazează pe soluții numerice. Cursul de matematică școlar descrie în detaliu metode precum permutarea, adunarea algebrică, substituția, precum și metodele grafice și matriceale, rezolvarea prin metoda Gauss.
Sarcina principală atunci când predați cum să rezolvați esteAceasta este pentru a învăța cum să analizezi corect un sistem și să găsești algoritmul de soluție optimă pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorezi un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegi principiile utilizării unei anumite metode.
Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare 7Clasa de curriculum de învățământ general este destul de simplă și explicată în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primii ani de învățământ superior.
Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției
Se vizează acţiunile metodei substituţieiexprimând valoarea unei variabile în termenii celei de-a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o formă cu o variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem
Să dăm o soluție unui exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa 7 folosind metoda substituției:
După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimatăprin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în a 2-a ecuație a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a 2-a ecuație. Rezolvarea acestui exemplu este ușoară și vă permite să obțineți valoarea Y. Ultimul pas este verificarea valorilor obținute.
Rezolvați un exemplu de sistem de ecuații liniareînlocuirea nu este întotdeauna posibilă. Ecuațiile pot fi complexe și exprimarea variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, rezolvarea prin substituție este, de asemenea, inadecvată.
Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:
Rezolvare folosind adunarea algebrică
Când se caută soluții pentru sisteme folosind metoda adunării, ecuațiile sunt adăugate termen cu termen și înmulțite cu diverse numere. Scopul final al operațiilor matematice este o ecuație într-o variabilă.
Este necesară practică pentru a aplica această metodă.si observatie. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării atunci când există 3 sau mai multe variabile nu este ușoară. Adunarea algebrică este convenabilă de utilizat atunci când ecuațiile conțin fracții și zecimale.
Algoritm de rezolvare:
- Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un anumit număr. Ca rezultat al operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei ar trebui să devină egal cu 1.
- Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
- Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.
Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile
O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul necesită găsirea unei soluții pentru nu mai mult de două ecuații; numărul de necunoscute ar trebui, de asemenea, să nu fie mai mare de două.
Metoda este folosită pentru a simplifica unul dintreecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată pentru necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este folosită pentru a determina variabila inițială.
Exemplul arată că prin introducerea unei noi variabile t, a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la un trinom pătratic standard. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.
Este necesar să se găsească valoarea discriminantă prinformula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt factorii polinomului. În exemplul dat, a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o soluție: x = -b / 2*a.
Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.
Metoda vizuală de rezolvare a sistemelor
Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații.Metoda constă în construirea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor vor fi soluția generală a sistemului.
Metoda grafică are o serie de nuanțe. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare într-un mod vizual.
După cum se vede din exemplu, pentru fiecare linie a existatau fost trasate două puncte, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Puncte cu coordonate (0, 3). ) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și conectate printr-o linie .
Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.
Următorul exemplu necesită găsirea unei soluții grafice pentru un sistem de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.
După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.
Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, darconstrucție, devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie reținut că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă un sistem are o soluție sau nu; este întotdeauna necesar să construiți un grafic.
Matricea și varietățile sale
Matricele sunt folosite pentru a scrie concis un sistem de ecuații liniare. O matrice este un tip special de tabel plin cu numere. O matrice de forma n*m are n - rânduri și m - coloane.
O matrice este pătrată atunci când cantitateacoloanele și rândurile sunt egale între ele. Un vector-matrice este o matrice de o coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.
O matrice inversă este o matrice atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-o matrice unitară; o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.
Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice
În raport cu sistemele de ecuații, coeficienții și termenii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere matriceale; o ecuație este un rând al matricei.
Se spune că un rând al unei matrice este diferit de zero dacă cel puținun element al șirului nu este zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.
Coloanele matricei trebuie să corespundă strictvariabile. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.
La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite secvenţial cu un număr.
Opțiuni pentru găsirea matricei inverse
Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K-1= 1 / |K|, unde K-1 este matricea inversă și |K| este determinantul matricei. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.
Determinantul este ușor de calculat pentru o matrice de două câte două; trebuie doar să înmulțiți elementele diagonale între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei” există o formulă |K|=a1b2c3 + a1b3c2 + a3b1c2 + și2b3c1 + a2b1c3 + a3b2c1. Puteți folosi formula sau putețiamintiți-vă că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numărul de coloane și rânduri de elemente să nu se repete în lucrare.
Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda matricei
Metoda matriceală de găsire a unei soluții vă permite să reduceți intrările greoaie atunci când rezolvați sisteme cu un număr mare de variabile și ecuații.
În exemplul anm - coeficienți de ecuație, matrice - vector xn sunt variabile și bn - membri gratuiti.
Apoi, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți pe cea originală cu ea. Găsirea valorilor variabilelor din matricea de identitate rezultată este o sarcină ușoară.
Rezolvarea sistemelor folosind metoda Gauss
În matematica superioară se studiază metoda Gaussianăîmpreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a soluțiilor sistemelor se numește metoda soluției Gauss-Cramer. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabile ale sistemelor cu un număr mare de ecuații liniare.
Metoda lui Gauss este foarte asemănătoare cu soluțiile utilizatesubstituții și adunări algebrice, dar mai sistematice. În cursul școlar, soluția prin metoda Gauss este utilizată pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a reduce sistemul la forma unui trapez inversat. Prin intermediul transformărilor și substituțiilor algebrice, valoarea unei variabile se găsește într-una din ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute, în timp ce 3 și 4 sunt, respectiv, cu 3 și 4 variabile.
După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.
În manualele școlare pentru clasa a 7-a, un exemplu de soluție prin metoda Gauss este descris după cum urmează:
După cum se poate vedea din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații 3x3-2x4=11 și 3x3+2x4=7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele xn.
Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.
Metoda gaussiană este greu de înțeles de către eleviliceu, dar este una dintre cele mai interesante modalități de a dezvolta ingeniozitatea copiilor înscriși la programe de învățare avansată la orele de matematică și fizică.
Pentru ușurința înregistrării, calculele se fac de obicei după cum urmează:
Coeficienți de ecuație și termeni liberisunt scrise sub forma unei matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. O bară verticală separă partea stângă a ecuației de dreapta. Numerele romane indică numerele de ecuații din sistem.
În primul rând, notează matricea cu care trebuie să o facilucru, apoi toate acțiunile efectuate cu una dintre linii. Matricea rezultată se scrie după semnul „săgeată” și se continuă operațiile algebrice necesare până la obținerea rezultatului.
Rezultatul ar trebui să fie o matrice în careuna dintre diagonale valorează 1, iar toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la forma unitară. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numere de ambele părți ale ecuației.
Această metodă de înregistrare este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea numeroaselor necunoscute.
Utilizarea gratuită a oricărei metode de soluțieva necesita îngrijire și ceva experiență. Nu toate metodele sunt de natură aplicată. Unele metode de găsire a soluțiilor sunt mai de preferat într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopuri educaționale.
