Seria Maclaurin și extinderea unor funcții

Studenții la matematică superioară ar trebui să știecă suma unei anumite serii de putere aparținând intervalului de convergență a seriei date nouă este o funcție continuă și infinită de ori diferențiată. Se pune întrebarea: este posibil să afirmăm că o anumită funcție arbitrară f (x) este suma unei anumite serii de putere? Adică, în ce condiții f-ija f (x) poate fi reprezentată printr-o serie de puteri? Importanța unei astfel de întrebări constă în faptul că este posibil să se înlocuiască aproximativ f-yu f (x) cu suma primilor termeni ai seriei de putere, adică cu un polinom. O astfel de înlocuire a unei funcții cu o expresie destul de simplă - un polinom - este convenabilă și pentru rezolvarea unor probleme de analiză matematică și anume: la rezolvarea integralelor, la calcularea ecuațiilor diferențiale etc.

S-a dovedit că pentru unele f-u și f (x), în care este posibil să se calculeze derivatele până la ordinea (n + 1), inclusiv ultima, în vecinătate (α - R; X₀ + R) a unui anumit punct х = α, este valabilă următoarea formulă:

Această formulă poartă numele celebrului om de știință Brook Taylor. Seria care se obține din cea anterioară se numește seria Maclaurin:

Regula care face posibilă efectuarea extinderii în seria Maclaurin:

1. Determinați derivatele primelor, celei de-a doua, a treia ... ordine.
2. Calculați la ce sunt egale derivatele la x = 0.
3. Scrieți seria Maclaurin pentru această funcție și apoi determinați intervalul convergenței sale.
4. Determinați intervalul (-R; R), în care partea reziduală a formulei Maclaurin

R_n(x) -> 0 ca n -> infinit. Dacă există, funcția f (x) trebuie să coincidă cu suma seriei Maclaurin.

Să luăm acum în considerare seria Maclaurin pentru funcții individuale.

1. Deci, primul va fi f (x) = e^x... Desigur, prin singularitățile sale, o astfel de funcție are derivate de ordine foarte diferite și f^(k)(x) = e^cu, unde k este egal cu toate numerele naturale. Înlocuiți x = 0. Primim f^(k)(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... Pe baza celor de mai sus, seria e^x va arăta astfel:

2. Seria Maclaurin pentru funcția f (x) = sin x. Să clarificăm imediat că funcția pentru toate necunoscutele va avea derivate; în plus, f^"(x) = cos x = sin (x + n / 2), f^""(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f^(k)(x) = sin (x + k * n / 2), unde k este egal cu orice număr natural. Adică, după efectuarea unor calcule simple, putem ajunge la concluzia că seria pentru f (x) = sin x va fi de această formă:

3. Acum să încercăm să luăm în considerare f-yu f (x) = cos x. Pentru toate necunoscutele, are derivate de ordine arbitrară și | f^(k)(x) | = | cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1.2 ... Din nou, după efectuarea anumitor calcule, obținem că seria pentru f (x) = cos x va arăta astfel:

Deci, am enumerat cele mai importante funcții carepot fi extinse într-o serie Maclaurin, dar sunt completate de seria Taylor pentru unele funcții. Acum le vom enumera și ele. De asemenea, este demn de remarcat faptul că seriile Taylor și Maclaurin reprezintă o parte importantă a atelierului pentru rezolvarea seriilor de matematică superioară. Deci, Taylor se clasează.

1. Prima va fi seria pentru f-ii f (x) = ln (1 + x).Ca și în exemplele anterioare, pentru un f (x) = ln (1 + x) dat, putem adăuga seria folosind forma generală a seriei Maclaurin. cu toate acestea, seria Maclaurin poate fi obținută mult mai simplu pentru această funcție. După ce am integrat o anumită serie geometrică, obținem o serie pentru f (x) = ln (1 + x) dintr-un astfel de eșantion:

2. Și a doua, care va fi finală în articolul nostru, va fi seria pentru f (x) = arctan x. Pentru x aparținând intervalului [-1; 1], descompunerea este valabilă:

Asta e tot. Acest articol a examinat cele mai utilizate serii Taylor și Maclaurin în matematică superioară, în special în universitățile de economie și tehnică.