Regulile de bază ale diferențierii utilizate în matematică

Pentru început, merită să ne amintim ce este un diferențial și ce semnificație matematică are.

Diferențialul unei funcții este produsul derivatei unei funcții a argumentului prin diferențialul argumentului în sine. Matematic, acest concept poate fi scris ca o expresie: dy = y "* dx.

La rândul său, prin definiția derivatuluifuncția, egalitatea y "= lim dx-0 (dy / dx) este adevărată, iar prin definiția limitei, expresia dy / dx = x" + α, unde parametrul α este o valoare matematică infinitesimală.

Prin urmare, ambele părți ale expresiei ar trebui multiplicateprin dx, care dă în cele din urmă dy = y "* dx + α * dx, unde dx este o modificare infinit de mică în argument, (α * dx) este o valoare care poate fi neglijată, atunci dy este creșterea funcției și (y * dx ) este partea principală a incrementului sau diferențialului.

Diferențialul unei funcții este produsul derivatei unei funcții prin diferențialul argumentului.

Acum merită luate în considerare regulile de bază ale diferențierii, care sunt adesea folosite în analiza matematică.

Teorema. Derivata sumei este egală cu suma derivatelor obținute din termenii: (a + c) "= a" + c ".

Această regulă se va aplica în mod similar pentru găsirea derivatului diferenței.
O consecință a acestei reguli de diferențiere este afirmația că derivata unui anumit număr de termeni este egală cu suma derivatelor obținute din acești termeni.

De exemplu, dacă trebuie să găsiți derivatul expresiei (a + c-k) ", atunci rezultatul va fi expresia a" + c "-k".

Teorema. Derivată a produsului funcțiilor matematice,diferențiat la un moment dat, este egal cu suma constând din produsul primului factor prin derivata celui de-al doilea și produsul celui de-al doilea factor prin derivatul primului.

Matematic, teorema va fi scrisă după cum urmeazămod: (a * c) "= a * c" + a "* c. Consecința teoremei este concluzia că factorul constant din derivata produsului poate fi eliminat ca derivat al funcției.

Sub forma unei expresii algebrice, această regulă va fi scrisă astfel: (a * c) "= a * c", unde a = const.

De exemplu, dacă trebuie să găsiți derivata expresiei (2а3) ", atunci rezultatul va fi răspunsul: 2 * (а3)" = 2 * 3 * a2 = 6 * a2.

Teorema. Derivata raportului funcțiilor este egală cu raportul dintre diferența dintre derivata numărătorului înmulțită cu numitorul și numărătorul înmulțită cu derivata numitorului și pătratul numitorului.

Matematic, teorema va fi scrisă după cum urmează: (a / c) "= (a" * c-a * c ") / c².

În concluzie, este necesar să se ia în considerare regulile pentru diferențierea funcțiilor complexe.

Teorema. Să se dea funcția y = f (x), unde x = c (t), atunci funcția y, în raport cu variabila m, se numește complexă.

Astfel, în analiza matematicăderivata unei funcții complexe este interpretată ca derivată a funcției în sine, înmulțită cu derivata subfuncției sale. Pentru comoditate, regulile pentru diferențierea funcțiilor complexe sunt prezentate sub forma unui tabel.

Cu utilizarea regulată a acestui tabelderivatele sunt ușor de reținut. Restul derivatelor funcțiilor complexe pot fi găsite prin aplicarea regulilor de diferențiere a funcțiilor, care au fost prezentate în teoreme și corolarii acestora.