Četrstūris ar taisniem leņķiem ir ... Četrstūra leņķu summa

Viena no interesantākajām ģeometrijas tēmām noskolas kurss ir "četrstūri" (8. klase). Kādi šāda veida skaitļi pastāv, kādas īpašas īpašības tiem piemīt? Kas ir unikāls deviņdesmit grādu četrstūros? Apskatīsim to visu.

Kādu ģeometrisko formu sauc par četrstūri

Daudzstūri, kas sastāv no četrām pusēm un attiecīgi no četrām virsotnēm (stūriem), Eiklida ģeometrijā tiek saukti par četrstūriem.

Šāda veida figūru nosaukuma vēsture ir interesanta.Krievu valodā lietvārds "četrstūris" veidojas no frāzes "četri stūri" (tāpat kā "trīsstūris" - trīs leņķi, "piecstūris" - pieci leņķi utt.).

Tomēr latīņu valodā (caur kurunāca daudzi ģeometriski termini vairumā pasaules valodu) to sauc par četrstūri. Šis vārds ir veidots no skaitļa quadri (četri) un lietvārda latus (sānu). Tātad mēs varam secināt, ka senie ļaudis šo daudzstūri sauca tikai par "četrpusēju".

Starp citu, šis nosaukums (ar uzsvaru uzskaitļi no šāda veida četrām pusēm, nevis stūriem) ir saglabājušies dažās mūsdienu valodās. Piemēram, angļu valodā tas ir četrstūris, bet franču valodā - četrstūris.

Turklāt vairumā slāvu valoduattiecīgo skaitļu veidu joprojām identificē pēc stūru, nevis sānu skaita. Piemēram, slovāku valodā (štvoruholník), bulgāru valodā (“chetyr'g'lnik”), baltkrievu valodā (“chatyrohkutnik”), ukraiņu valodā (“chotirikutnik”), čehu valodā (čtyřúhelník), bet poļu valodā četrstūri sauc pēc sānu skaita - cz.

Kādi četrstūru veidi tiek pētīti skolas mācību programmā

Mūsdienu ģeometrijā ir 4 veidu daudzstūri ar četrām malām.

Tomēr dažu no tiem pārāk sarežģīto īpašību dēļ ģeometrijas stundās skolēni tiek iepazīstināti tikai ar diviem veidiem.

• Paralelograms Šāda četrstūra pretējās puses ir pārī paralēli viena otrai un attiecīgi arī ir vienādas pāros.
• Trapecijs (trapecijs vai trapecveida). Šis četrstūris sastāv no divām pretējām pusēm, paralēli viena otrai. Tomēr otram sānu pārim šīs funkcijas nav.

Skolas ģeometrijas kursā neapmeklēto četrstūru veidi

Papildus iepriekšminētajam ir vēl divi četrstūru veidi, ar kuriem skolēni netiek iepazīstināti ģeometrijas stundās to īpašās sarežģītības dēļ.

• Deltveida (pūķis) - skaitlis, kurā katrs no diviem blakus esošajiem pāriemmalas ir vienādas garumā viena otrai. Šāds četrstūris savu nosaukumu ieguvis tāpēc, ka pēc izskata tas diezgan stipri atgādina grieķu alfabēta burtu - "delta".
• Antiparalelogramma - šis skaitlis ir tikpat sarežģīts kā tā nosaukums.Tajā divas pretējās puses ir vienādas, bet tajā pašā laikā tās nav paralēlas viena otrai. Turklāt krustojas šīs četrstūra garās pretējās puses, tāpat kā pārējo divu, īsāko malu pagarinājumi.

Paralelograma veidi

Risinājies ar galvenajiem četrstūru veidiem, jums vajadzētu pievērst uzmanību tā pasugām. Tātad visi paralelogrami savukārt ir sadalīti četrās grupās.

• Klasiskais paralelograms.
• Rombs (rombs) - četrstūra figūra ar vienādām malām. Tās diagonāles krustojas taisnā leņķī, sadalot rombu četros vienādos taisnleņķa trīsstūros.
• Taisnstūris Nosaukums runā pats par sevi. Tā kā tas ir taisnstūris ar taisniem leņķiem (katrs no tiem ir vienāds ar deviņdesmit grādiem). Tās pretējās puses ir ne tikai paralēlas viena otrai, bet arī vienādas.
• Kvadrāts Tāpat kā taisnstūris, tas ir četrstūris artaisni leņķi, bet visas puses ir vienādas viena ar otru. Tas padara šo skaitli tuvu rombam. Tātad var apgalvot, ka kvadrāts ir krustojums starp rombu un taisnstūri.

Taisnstūra īpašās īpašības

Ņemot vērā formas, kurās katrs no stūriemstarp sāniem, kas vienāds ar deviņdesmit grādiem, ir vērts tuvāk uzturēties taisnstūrī. Kādas ir īpašās iezīmes, kas to atšķir no citiem paralelogramiem?

Apgalvot, ka uzskatījaparalelograms ir taisnstūris, tā diagonālēm jābūt vienādām ar otru, un katram no stūriem jābūt taisniem. Turklāt tās diagonāļu kvadrātam jāatbilst šī skaitļa divu blakus esošo malu kvadrātu summai. Citiem vārdiem sakot, klasiskais taisnstūris sastāv no diviem taisnleņķa trijstūriem, un tajos, kā jūs zināt, kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu. Aplūkotā četrstūra diagonāle darbojas kā hipotenūza.

Pēdējā no uzskaitītajām šī skaitļa pazīmēmir arī tās īpašais īpašums. Bez tam ir arī citi. Piemēram, fakts, ka visas pētītā četrstūra malas ar taisniem leņķiem vienlaikus ir tā augstumi.

Turklāt, ja ap jebkuru taisnstūri uzzīmējat apli, tā diametrs būs vienāds ar ierakstītās figūras diagonāli.

Starp citām šī četrstūra īpašībāmka tas ir plakans un nepastāv neeiklida ģeometrijā. Tas ir saistīts ar faktu, ka šādā sistēmā nav četrstūra figūru, kuru leņķu summa ir vienāda ar trīs simtiem sešdesmit grādiem.

Laukums un tā iezīmes

Risinājies ar taisnstūra zīmēm un īpašībām, ir vērts pievērst uzmanību otrajam zinātnei zināmajam četrstūrim ar taisniem leņķiem (tas ir kvadrāts).

Šim skaitlim faktiski ir viens un tas pats taisnstūris, bet ar vienādām malām ir visas tā īpašības. Bet atšķirībā no viņa kvadrāts atrodas ārpus Eiklida ģeometrijā.

Turklāt šim skaitlim ir citassavas atšķirīgās iezīmes. Piemēram, fakts, ka kvadrāta diagonāles nav tikai vienādas ar otru, bet arī krustojas taisnā leņķī. Tādējādi kvadrāts, tāpat kā rombs, sastāv no četriem taisnleņķa trīsstūriem, kuros to sadala pa diagonālēm.

Turklāt šis skaitlis ir simetriskākais no visiem četrstūriem.

Kāda ir četrstūra leņķu summa

Ņemot vērā Eiklida ģeometrijas četrstūru iezīmes, ir vērts pievērst uzmanību to leņķiem.

Tātad katrā no iepriekš minētajiem skaitļiemneatkarīgi no tā, vai tam ir vai nav taisni leņķi, to kopējā summa vienmēr ir vienāda - trīs simti sešdesmit grādi. Šī ir unikāla šāda veida figūru iezīme.

Četrstūru perimetrs

Risinājies ar to, kas ir vienāds ar leņķu summučetrstūri un citas īpašas šāda veida figūru īpašības, ir vērts uzzināt, kuras formulas vislabāk izmantot, lai aprēķinātu to perimetru un laukumu.

Lai noteiktu jebkura četrstūra perimetru, jums vienkārši jāpievieno visu tā malu garums.

Piemēram, KLMN formā tā perimetru var aprēķināt, izmantojot formulu: P = KL + LM + MN + KN. Ja šeit aizstājat skaitļus, iegūstat: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Gadījumā, ja attiecīgais skaitlis ir rombsvai kvadrāts, lai atrastu perimetru, jūs varat vienkāršot formulu, vienkārši reizinot tās malas garumu ar četrām: P = KL x 4. Piemēram: 6 x 4 = 24 (cm).

Platību četrstūra formulas

Izdomājis, kā atrast jebkuras formas perimetru ar četriem stūriem un sāniem, ir vērts apsvērt populārākos un vienkāršākos veidus, kā atrast tās laukumu.

• Klasisks veids, kā to aprēķināt, irizmantojiet formulu S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Izrādās, ka jebkura četrstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā diagonāļu reizinājuma ar leņķa sinusu starp tām.
• Ja skaitlis, kura platība meklējama, irtaisnstūri vai kvadrātu (kuru diagonāles vienmēr ir vienādas ar otru), jūs varat vienkāršot formulu, kvadrātiņojot vienas diagonāles garumu un reizinot to ar sinusa leņķi starp tām un visu dalot uz pusēm. Piemēram: S = 1/2 KM ² x SIN LON.
• Turklāt, atrodot taisnstūra laukumu,palīdzības informācija par attiecīgā attēla perimetru un vienas malas garumu. Šajā gadījumā vispiemērotākais būtu izmantot formulu S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• Kvadrāta gadījumā tā īpašības ļauj izmantot vairākas papildu formulas laukuma atrašanai. Piemēram, zinot figūras perimetru, varat izmantot šo opciju: S = P ²/ 16. Un, ja ir zināms četrstūrī ierakstītā apļa rādiuss, kvadrāta laukums tiek atrasts ļoti līdzīgi: S = 4r²... Ja ir zināms ierobežotā apļa rādiuss, tiks izmantota cita formula: S = 2R²... Arī kvadrāta laukums ir 0,8 reizes lielāks par līnijas garumu, kas novilkts no figūras stūra līdz pretējās puses vidum.
• Papildus visam iepriekšminētajam ir arīatsevišķa formula laukuma atrašanai, kas aprēķināta tieši paralelogramam. To var piemērot, ja jūs zināt divu formas augstumu garumu un leņķa lielumu starp tiem. Tad augstumi jāreizina starp viņiem un leņķa sinusu starp tiem. Ir vērts atzīmēt, ka šo formulu varat izmantot visām formām, kas pieder paralelogramiem (tas ir, taisnstūrim, rombam un kvadrātam).

Citas četrstūru īpašības: ierakstītie un ierobežotie apļi

Ņemot vērā četrstūra iezīmes un īpašības kā Eiklida ģeometrijas skaitli, ir vērts pievērst uzmanību spējai aprakstīt ap to vai ierakstīt tajā apļus:

• Ja skaitļa pretējo leņķu summas ir simts astoņdesmit grādi katra un ir vienādas pāros, tad ap šādu četrstūri var brīvi aprakstīt apli.
• Saskaņā ar Ptolemaja teorēmu, ja tā atrodas ārpusēdaudzstūra ar četrām malām apraksts ir aplis, tad tā diagonāļu reizinājums ir vienāds ar šī skaitļa pretējo malu reizinājumu summu. Tādējādi formula izskatīsies šādi: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Ja jūs izveidojat četrstūri, kurā pretējo malu summas ir vienādas ar otru, tad tajā var ierakstīt apli.

Izdomājis, kas ir četrstūris,kāda veida tā pastāv, kurām no tām ir tikai taisni leņķi starp sāniem un kādas īpašības tām piemīt, ir vērts atcerēties visu šo materiālu. Jo īpaši formula, lai atrastu aplūkoto daudzstūru perimetru un laukumu. Galu galā šīs formas skaitļi ir vieni no visizplatītākajiem, un šīs zināšanas var būt noderīgas aprēķiniem reālajā dzīvē.