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방정식-무엇입니까? 용어의 정의, 예

학교 수학 과정에서 어린이는 처음으로 "방정식"이라는 용어를 듣습니다. 그것은 무엇입니까, 함께 알아 내려고합시다. 이 기사에서는 유형과 솔루션을 고려할 것입니다.

수학. 방정식

우선, 우리는 직접 처리 할 것을 제안합니다.그것이 무엇인지의 개념? 많은 수학 교과서에서 말했듯이 방정식은 어떤 표현이며, 그 사이에는 항상 등호가 있습니다. 이러한 식에는 값을 찾아야하는 소위 변수 인 문자가 포함됩니다.

변수 란 무엇입니까? 이것은 의미를 바꾸는 시스템의 속성입니다. 변수의 좋은 예는 다음과 같습니다.

기온;
아이의 키;
무게 등.

수학에서는 문자로 표시됩니다. 예를 들어x, a, b, c ... 일반적으로 수학 할당은 다음과 같이 들립니다. 방정식의 값을 찾습니다. 즉, 이러한 변수의 값을 찾아야합니다.

품종

방정식 (이전 단락에서 논의한 내용)은 다음과 같은 형식 일 수 있습니다.

선의;
사각형;
입방체;
대수;
탁월한.

모든 유형에 대해 더 자세히 알기 위해 각각을 개별적으로 고려할 것입니다.

일차 방정식

이것은 학생들이 알게되는 첫 번째 종입니다.그들은 아주 빠르고 쉽게 해결됩니다. 그래서, 선형 방정식, 그것은 무엇입니까? 이것은 ah = c 형식의 표현입니다. 이것은 명확하지 않으므로 몇 가지 예를 들어 보겠습니다. 2x = 26; 5x = 40; 1.2x = 6.

방정식의 몇 가지 예를 살펴 보겠습니다.이를 위해 우리는 한편으로는 알려진 모든 데이터를 수집하고 다른 한편으로는 알려지지 않은 데이터를 수집해야합니다. x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1.2. 여기에서 수학의 기본 규칙이 사용되었습니다. a * c = e, 여기서 c = e / a; a = e / c. 방정식의 해를 완료하기 위해 하나의 동작 (이 경우 나눗셈) x = 13을 수행합니다. x = 8; x = 5. 다음은 곱셈의 예입니다. 이제 뺄셈과 덧셈을 살펴 보겠습니다. x + 3 = 9; 10x-5 = 15. 알려진 데이터를 한 방향으로 전송합니다. x = 9-3; x = 20/10. 마지막 작업을 수행합니다. x = 6; x = 2.

선형 방정식의 변형도 가능합니다.둘 이상의 변수가 사용됩니다 : 2x-2y = 4. 해결하기 위해서는 각 부분에 2y를 더해야합니다. 우리가 알아 차린 것처럼 2x-2y + 2y = 4-2y를 얻습니다. 있다 : 2x = 4-2y. 마지막 단계는 각 부분을 2로 나누는 것입니다. 우리는 답을 얻습니다. x는 2에서 게임을 뺀 것과 같습니다.

방정식 문제는파피루스 아 메스. 여기 문제 중 하나가 있습니다. 숫자와 네 번째 부분의 합은 15입니다.이를 해결하기 위해 다음 방정식을 작성합니다. x 더하기 1/4 x는 15와 같습니다. 해의 결과로 선형 방정식의 또 다른 예를 볼 수 있습니다. x = 12입니다. 그러나이 문제는 다른 방법, 즉 이집트인 또는 다른 방법으로 불리는 가정의 방법으로 해결 될 수 있습니다. 파피루스에서는 다음과 같은 해결책이 사용됩니다. 네 번째 부분과 네 번째 부분, 즉 하나를 가져옵니다. 총 5 개를주고 15 개는 합으로 나누어야합니다. 우리는 3 개를 얻습니다. 마지막 행동으로 3을 4로 곱합니다. 우리는 답을 얻습니다 : 12. 왜 우리는 해결책에서 15를 5로 나눌까요? 그래서 우리는 몇 번이나 15 번, 즉 우리가 얻어야하는 결과가 5 개 미만인지 알아냅니다. 이런 식으로 중세 시대에 문제가 해결되어 잘못된 입장의 방법이라고 불려지기 시작했습니다.

2 차 방정식

앞에서 설명한 예제 외에도 다른 예제가 있습니다. 어느 것? 이차 방정식은 무엇입니까? 그들은 도끼 형태입니다.²+ bx + c = 0입니다. 이를 해결하려면 몇 가지 개념과 규칙을 숙지해야합니다.

먼저 다음 공식으로 판별자를 찾아야합니다. b²-4ac. 결정 결과에 대한 세 가지 옵션이 있습니다.

판별자가 0보다 큽니다.
0 미만;
0입니다.

첫 번째 옵션에서 우리는 공식에 의해 발견되는 두 근에서 답을 얻을 수 있습니다.

두 번째 경우에는 방정식에 근이 없습니다. 세 번째 경우, 루트는 공식 : -b / 2a로 찾습니다.

더 많은 것을 위해 이차 방정식의 예를 고려하십시오자세한 지인 : 3 x 제곱 빼기 14 x 빼기 5는 0과 같습니다. 먼저 앞서 쓴 것처럼 판별자를 찾고 있습니다.이 경우 256과 같습니다. 결과 숫자는 0보다 크므로 두 개의 근으로 구성된 답을 얻어야합니다. 결과 판별자를 근을 찾기위한 공식에 대입하십시오. 그 결과, x는 5와 같고 1/3입니다.

2 차 방정식의 특수한 경우

이들은 일부 값이 0 (a, b 또는 c)이고 가능하면 여러 값인 예입니다.

예를 들어, 다음 방정식을 사용하십시오.정사각형 : 두 x 제곱은 0입니다. 여기서 b와 c는 0입니다. 그것을 풀려고 노력합시다.이를 위해 방정식의 양변을 2로 나누면 다음과 같습니다. x²= 0. 결과적으로 x = 0이됩니다.

다른 경우 16x²-9 = 0. 여기서는 b = 0입니다. 방정식을 풀고 자유 계수를 오른쪽으로 옮깁니다 : 16x²= 9, 이제 각 부분을 16으로 나눕니다. x²= 열 여섯 번째. x 제곱이 있으므로 9/16의 근은 음수이거나 양수일 수 있습니다. 우리는 다음과 같이 답을 씁니다. x는 +/- 3/4와 같습니다.

방정식에 뿌리가 전혀 없기 때문에 그러한 답이 없을 수도 있습니다. 이 예를 살펴 보겠습니다. 5x²+ 80 = 0, 여기서 b = 0. 자유 용어를 풀려면 오른쪽으로 던지십시오. 다음 작업을 수행하면 다음과 같은 결과가 나타납니다. 5x²= -80, 이제 각 부분을 5로 나눕니다. x²= 마이너스 16. 숫자를 제곱하면 음수 값을 얻지 못합니다. 따라서 우리의 대답은 다음과 같이 들립니다. 방정식에는 뿌리가 없습니다.

삼항 분해

2 차 작업은 다른 방식으로 들릴 수 있습니다. 2 차 3 항을 빼냅니다. 이는 다음 공식을 사용하여 수행 할 수 있습니다. a (x-x₁) (x-x₂). 이를 위해 작업의 다른 변형과 마찬가지로 판별자를 찾을 필요가 있습니다.

다음 예를 고려하십시오. 3x²-14x-5, 삼항 인수.우리는 이미 알려진 공식을 사용하여 판별자를 찾습니다. 256과 같은 것으로 밝혀졌습니다. 256이 0보다 크므로 방정식에 두 개의 근이 있음을 즉시 알 수 있습니다. 이전 단락에서와 같이 x = 5와 마이너스 1/3이 있습니다. 삼항식을 인수로 분해하는 공식을 사용해 봅시다 : 3 (x-5) (x + 1/3). 두 번째 괄호에서는 수식에 마이너스 기호가 포함되어 있고 루트도 음수이므로 수학에 대한 기본 지식을 사용하여 전체적으로 더하기 기호가 있으므로 등호를 얻었습니다. 간단하게하기 위해 방정식의 첫 번째 항과 세 번째 항을 곱하여 분수를 제거합니다 : (x-5) (x + 1).

제곱으로 감소하는 방정식

이 시점에서 우리는 더 복잡한 방정식을 푸는 방법을 배웁니다. 예를 들어 바로 시작해 보겠습니다.

(엑스² -2 배)² -2 (x² -2x)-3 = 0. 반복되는 요소를 볼 수 있습니다. (x² -2x), 솔루션을 위해 우리가 그것을 교체하는 것이 편리합니다.또 다른 변수를 찾은 다음 일반적인 이차 방정식을 풀면 그러한 작업에서 우리는 4 개의 뿌리를 얻을 것이며 이것이 당신을 놀라게해서는 안됩니다. 우리는 변수 a의 반복을 나타냅니다. 우리는 다음을 얻습니다.²-2a-3 = 0.다음 단계는 새로운 방정식의 판별자를 찾는 것입니다. 우리는 16을 얻고, 우리는 마이너스 1과 3의 두 뿌리를 찾습니다. 우리는 대체를 수행하고 이러한 값을 대체 한 것을 기억합니다. 결과적으로 방정식은 다음과 같습니다. x² -2x = -1; 엑스² -2x = 3.우리는 첫 번째 답에서 그것들을 해결합니다 : x는 1과 같고, 두 번째는 x는 마이너스 1과 3과 같습니다. 답을 다음과 같이 씁니다 : 더하기 / 빼기 1과 3. 일반적으로 답변은 오름차순으로 작성됩니다.

3 차 방정식

다른 가능한 옵션을 고려해 봅시다. 그것은 3 차 방정식에 관한 것입니다. 그들은 다음과 같이 보입니다 : 도끼 ³+ b x ²+ cx + d = 0입니다. 우리는 나중에 방정식의 예를 고려하고 먼저 약간의 이론을 고려할 것입니다. 그들은 세 개의 근을 가질 수 있으며, 3 차 방정식에 대한 판별을 찾는 공식도 있습니다.

예를 들어 보자 : 3x³+ 4 배²+ 2x = 0. 그것을 해결하는 방법? 이렇게하려면 대괄호 밖에 x를 배치하기 만하면됩니다. x (3x²+ 4x + 2) = 0입니다. 우리가해야 할 일은 괄호 안의 방정식의 근을 계산하는 것입니다. 괄호 안에있는 2 차 방정식의 판별은 0보다 작습니다.이를 기반으로 표현식의 근은 x = 0입니다.

대수학. 방정식

다음보기로 이동하겠습니다. 이제 대수 방정식을 간략히 살펴 보겠습니다. 작업 중 하나는 다음과 같습니다. 그룹화 방법으로 3 배 인수 분해⁴+ 2 배³+ 8 배²+ 2x + 5. 가장 편리한 방법은 다음 그룹화입니다. (3x⁴+ 3 배²) + (2 배³+ 2 배) + (5 배²+5). 8x²첫 번째 표현에서 우리는 3x² 및 5x²... 이제 각 브래킷에서 공약수 3x를 제거합니다.²(x2 + 1) + 2x (x²+1) +5 (x²+1). 우리는 공통 인자가 있음을 알 수 있습니다 : x 제곱 더하기 1, 우리는 그것을 괄호 밖에 넣습니다 : (x²+1) (3 배²+ 2x + 5). 두 방정식 모두 음의 판별을 갖기 때문에 추가 확장은 불가능합니다.