線形方程式のシステムの例：解法

連立方程式はで広く使用されていますさまざまなプロセスの数学的モデリングにおける経済産業。たとえば、生産の管理と計画の問題、ロジスティクスルート（輸送の問題）、または機器の配置の問題を解決する場合です。

連立方程式は、数学の分野だけでなく、物理学、化学、生物学の分野でも、人口の大きさを見つける問題を解決するために使用されます。

線形方程式系は2つ以上と呼ばれます一般的な解を見つける必要があるいくつかの変数を持つ方程式。すべての方程式が真の等式になるか、シーケンスが存在しないことを証明する一連の数値。

一次方程式

ax + by = cの形式の方程式は線形と呼ばれます。表記x、yは不明であり、その値を見つける必要があります。b、aは変数の係数、cは方程式の自由項です。
グラフをプロットすることによる方程式の解は直線の形になり、そのすべての点が多項式の解になります。

線形方程式系の種類

最も単純な例は、2つの変数XとYを持つ線形方程式のシステムであると見なされます。

F1（x、y）= 0およびF2（x、y）= 0、ここでF1,2は関数、（x、y）は関数変数です。

連立方程式を解く - これは、システムが真の等式になるような値（x、y）を見つけること、またはxとyに適切な値がないことを確認することを意味します。

点の座標として記述された値のペア（x、y）は、連立一次方程式の解と呼ばれます。

システムに共通のソリューションが1つある場合、またはソリューションが存在しない場合、それらは同等と呼ばれます。

線形方程式の同次システムは、右辺がゼロに等しいシステムです。「等号」の後の右の部分に値があるか、関数として表されている場合、そのようなシステムは異種です。

変数の数は2つよりはるかに多くなる可能性があるため、3つ以上の変数を持つ線形方程式系の例について説明する必要があります。

システムに直面したとき、学童は方程式の数は必然的に未知数の数と一致する必要がありますが、そうではありません。システム内の方程式の数は変数に依存しません。必要な数だけ存在できます。

連立方程式を解くための単純な方法と複雑な方法

一般的な分析方法はありません同様のシステムのソリューションでは、すべての方法は数値ソリューションに基づいています。学校の数学のコースでは、順列、代数的加算、置換などの方法、およびグラフィックと行列の方法、ガウスの方法による解決策について詳しく説明します。

ソリューションを教える際の主なタスクはシステムを適切に分析し、各例に最適な解法アルゴリズムを見つける方法を教えることです。主なことは、各メソッドのルールとアクションのシステムを記憶することではなく、このメソッドまたはそのメソッドを適用する原則を理解することです。

線形方程式系の例を解く7本校のカリキュラムはかなりシンプルで、非常に詳細に説明されています。数学の教科書では、このセクションに十分な注意が払われています。 Gauss and Cramerの方法による線形方程式系の例の解法は、高等教育の最初の数年間でより詳細に研究されています。

置換法によるシステムの解決

置換法は作用します1つの変数から2番目の変数までの値の表現。式は残りの方程式に代入され、1つの変数を持つ形式に変換されます。システム内の未知数の数に応じて、アクションが繰り返されます

置換法による7級線形方程式系の例の解を与えましょう：

例からわかるように、変数xは次のように表現されています。F（X）= 7 + Yまで。結果の式は、Xの代わりにシステムの2番目の方程式に代入され、2番目の方程式で1つの変数Yを取得するのに役立ちました。この例の解決策は問題を引き起こさず、Y値を取得することができます。最後のステップは、取得した値を確認することです。

連立一次方程式の例を解く置換が常に可能であるとは限りません。方程式は複雑になる可能性があり、2番目の未知数に関する変数の表現は、さらに計算するには面倒になりすぎます。システムに3つ以上の未知数がある場合、置換ソリューションも実用的ではありません。

線形不均一方程式系の例の解法：

代数的加算ソリューション

加算法でシステムの解を求める場合、項ごとの加算と方程式のさまざまな数による乗算が実行されます。数学の究極の目標は、1変数の方程式です。

この方法を適用するには、練習が必要です。と観察。 3変数以上の加算法で連立一次方程式を解くことは容易ではありません。方程式に分数と小数がある場合、代数加算は便利です。

ソリューションアクションアルゴリズム：

方程式の両辺にいくつかの数を掛けます。算術演算の結果、変数の係数の1つが1に等しくなる必要があります。
結果の式を用語ごとに追加し、未知数の1つを見つけます。
得られた値をシステムの2番目の方程式に代入して、残りの変数を見つけます。

新しい変数を導入することによる解決策

システムが2つ以下の方程式の解を見つける必要がある場合、新しい変数を導入できます。未知数の数も2つ以下でなければなりません。

この方法は、次のいずれかを簡略化するために使用されます。新しい変数を導入することによる方程式。入力された未知数に関して新しい方程式が解かれ、結果の値が元の変数を決定するために使用されます。

この例は、新しい変数tを導入することにより、システムの1番目の方程式を標準の二乗三項式に減らすことができたことを示しています。判別式を見つけることにより、多項式を解くことができます。

によって判別式の値を見つける必要がありますよく知られている式：D = b2-4 * a * c、ここでDは必要な判別式、b、a、cは多項式の因数です。与えられた例では、a = 1、b = 16、c = 39、したがってD = 100です。判別式がゼロより大きい場合、2つの解があります：t = -b±√D/ 2 * a、判別式がゼロより小さい場合、1つの解があります：x = -b / 2 * a。

結果として得られるシステムの解は、加算法によって見つけられます。

システムを解くための視覚的な方法

3つの方程式を持つシステムに適しています。この方法は、システムに含まれる各方程式のグラフの座標軸上にプロットすることで構成されます。曲線の交点の座標は、システムの一般的な解になります。

グラフィカルな方法にはいくつかのニュアンスがあります。線形方程式のシステムを視覚的に解くいくつかの例を考えてみましょう。

例からわかるように、各直線には2つのポイントが作成され、変数xの値は任意に選択されました：0と3。xの値に基づいて、yの値が見つかりました：3と0。座標（0、3 ）と（3、0）はグラフ上でマークされ、線で結ばれています...

2番目の方程式についても、この手順を繰り返す必要があります。線の交点がシステムの解です。

次の例では、連立一次方程式のグラフィカルな解を見つける必要があります：0.5x-y + 2 = 0および0.5x-y-1 = 0。

例からわかるように、グラフは平行であり、グラフの全長に沿って交差しないため、システムには解決策がありません。

例2と例3のシステムは似ていますが、構築すると、それらのソリューションが異なることが明らかになります。システムに解決策があるかどうかを常に判断できるとは限らないことを覚えておく必要があります。常にグラフを作成する必要があります。

マトリックスとその種類

行列は、連立一次方程式を簡潔に記述するために使用されます。行列は、数字で満たされた特別な種類のテーブルと呼ばれます。 n * m行列には、n行とm列があります。

量が列と行は互いに等しい。ベクトル行列は、行数が無限の1列の行列です。対角線の1つに沿ったものと他のゼロ要素を持つ行列は単位行列と呼ばれます。

逆行列はそのような行列であり、これを掛けると元の行列が単位行列になり、そのような行列は元の正方形の行列にのみ存在します。

連立方程式を行列に変換するための規則

連立方程式に適用されるように、係数と方程式の自由項は行列番号として記述され、1つの方程式は行列の1行です。

少なくとも行列行は、ゼロ以外と呼ばれます文字列の1つの要素がゼロ以外です。したがって、いずれかの方程式で変数の数が異なる場合は、欠落している未知数の代わりにゼロを書き込む必要があります。

マトリックス列は厳密に一致する必要があります変数。これは、変数xの係数を1つの列にのみ書き込むことができることを意味します。たとえば、最初の列、未知のyの係数、つまり2番目の列にのみ書き込むことができます。

行列を乗算する場合、行列のすべての要素に数値が順次乗算されます。

逆行列を見つけるためのバリアント

逆行列を見つけるための式は非常に単純です：K^-1= 1 / | K |、ここでK^-1 は逆行列であり、| K | -行列式。 | K |ゼロであってはならない場合、システムには解決策があります。

行列式は、2行2列の行列に対して簡単に計算されます。対角線上の要素を互いに乗算するだけです。「3×3」オプションの場合、式| K | = a₁で₂c₃+ a₁で₃c₂ + a₃で₁c_{2 +}a₂で₃c₁ + a₂で₁c₃+ a₃で₂c₁..。数式を使用することも、作業中に列と要素の行の数が繰り返されないように、各行と各列から1つの要素を取得する必要があることに注意してください。

行列法による連立一次方程式の例の解法

解を検索する行列法により、多数の変数と方程式を含むシステムを解くときに面倒なレコードを減らすことができます。

例では_nm は方程式の係数であり、行列はベクトルxです_ん -変数、およびb_ん -無料会員。

次に、逆行列を見つけて、元の行列にそれを掛ける必要があります。結果の単位行列で変数の値を見つけるのは簡単な作業です。

システムのガウス解

高等数学では、ガウス法が研究されていますクラメルの方法と合わせて、システムの解を見つけるプロセスは、ガウス-クラメル解法と呼ばれます。これらの方法は、多数の一次方程式を持つ変数システムを見つけるために使用されます。

ガウスの方法は、次の解と非常によく似ています。置換と代数的加算ですが、より体系的です。学校のコースでは、ガウス解が3方程式と4方程式のシステムに使用されます。この方法の目的は、システムを逆台形のように見せることです。システムの方程式の1つにある1つの変数の値は、代数変換と置換によって求められます。 2番目の方程式は、未知数が2つある式ですが、3と4-それぞれ3と4の変数があります。

システムを記述された形式にした後、さらなる解決策は、システムの方程式への既知の変数の順次置換に還元されます。

7年生の学校の教科書では、ガウス法による解決策の例を次のように説明しています。