גיאורג קנטור: תורת הקבוצות, הביוגרפיה והמשפחה

גיאורג קנטור (התמונה ניתנת בהמשך המאמר) -מתמטיקאי גרמני שיצר את תורת הסטים והציג את מושג המספרים הטרנספינטיים, גדולים לאין שיעור, אך שונים זה מזה. הוא גם הגדיר מספרים סדירים וקרדינליים ויצר את החשבון שלהם.

גיאורג קנטור: ביוגרפיה קצרה

נולד בסנט פטרבורג 03.03.1845.אביו היה דת פרוטסטנטית דנית גיאורג וולדמר קנטור, שעסק במסחר, כולל בבורסה. אמו, מריה בוהם, הייתה קתולית ובאה ממשפחת מוזיקאים מכובדים. כשאביו של גיאורג חלה בשנת 1856, עברה המשפחה, בחיפוש אחר אקלים מתון יותר, תחילה לוויסבאדן ולאחר מכן לפרנקפורט. כשרונותיו המתמטיים של הילד הופיעו עוד לפני יום הולדתו ה -15 בעת לימודיו בבתי ספר פרטיים ובגימנסיות בדרמשטאט וויסבאדן. בסופו של דבר, גיאורג קנטור שכנע את אביו בכוונתו הנחרצת להפוך למתמטיקאי, לא למהנדס.

לאחר לימוד קצר באוניברסיטת ציריך בשנת 1863, עבר קנטור לאוניברסיטת ברלין כדי ללמוד פיזיקה, פילוסופיה ומתמטיקה. שם לימדו אותו:

• קארל תיאודור ויירשטראס, שהתמחותו בניתוח הייתה כנראה המשפיעה ביותר על גיאורג;
• ארנסט אדוארד קמר, שלימד חשבון גבוה יותר;
• ליאופולד קרונקר, תיאורטיקן מספר שהתנגד מאוחר יותר לקנטור.

לאחר שבילה סמסטר אחד באוניברסיטת גטינגן ב1866, בשנה שלאחר מכן, כתב גיאורג את עבודת הדוקטורט שלו בשם "במתמטיקה, אמנות השאלות היא בעלת ערך רב יותר מאשר פתרון בעיות", הנוגעת לבעיה שהשאיר קארל פרידריך גאוס ללא פתרון ב Disquisitiones Arithmeticae (1801). לאחר שלימד זמן קצר בבית הספר לבנות ברלין, החל קנטור לעבוד באוניברסיטת האלי, שם שהה עד סוף ימיו, תחילה כמורה, משנת 1872 כעוזר פרופסור ומשנת 1879 כפרופסור.

מחקר

בתחילת סדרה של 10 יצירות משנת 1869 עד 1873גיאורג קנטור שקל את תורת המספרים. העבודה שיקפה את התשוקה שלו לנושא, את לימודיו בגאוס ואת השפעתו של קרונקר. על פי הצעתו של היינריך אדוארד היינה, עמיתו של חזן בהאלי, שזיהה את כישרונו המתמטי, הוא פנה לתיאוריה של סדרות טריגונומטריות, בהן הרחיב את מושג המספרים האמיתיים.

החל מהעבודה על תפקוד המתחםמשתנה של המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן בשנת 1854, בשנת 1870 קנטור הראה שניתן לייצג פונקציה כזו רק בדרך אחת - סדרות טריגונומטריות. התייחסות למכלול מספרים (נקודות) שלא יסתור תפיסה כזו הובילה אותו, ראשית, בשנת 1872 להגדרת מספרים לא רציונאליים במונחים של רצפים מתכנסים של מספרים רציונליים (שברי מספרים שלמים) ולאחר מכן לתחילת העבודה על כל חייו, תורת הסטים והמושג מספרים בלתי מוגבלים.

תורת הסטים

גיאורג קנטור, שתורת הסט שלו נולדהבהתכתבויות עם המתמטיקאי של המכון הטכני של בראונשווייג, ריצ'רד דדקינד, היה ידיד איתו מילדותו. הם הגיעו למסקנה שקבוצות, סופיות או אינסופיות, הן אוסף של יסודות (למשל מספרים, {0, ± 1, ± 2 ...}) שיש להם תכונה מסוימת, תוך שמירה על האינדיבידואליות שלהם. אך כאשר גיאורג קנטור השתמש בהתכתבות של אחד על אחד כדי ללמוד את המאפיינים שלהם (למשל, {A, B, C} עד {1, 2, 3}), הוא הבין במהירות שהם שונים במידת השייכות שלהם, אפילו אם היו אלה סטים אינסופיים, כלומר סטים, שחלק או תת -קבוצה שלהם כוללים אובייקטים רבים כמוהו. עד מהרה השיטה שלו הניבה תוצאות מפתיעות.

בשנת 1873 הראה זאת גיאורג קנטור (מתמטיקאי)מספרים רציונליים, אם כי אינסופיים, ניתנים לספירה, מכיוון שניתן להכניס אותם להתכתבויות אחד על אחד עם מספרים טבעיים (כלומר 1, 2, 3 וכו '). הוא הראה שמכלול המספרים האמיתיים, המורכבים מאי -רציונליים ורציונאליים, הוא אינסופי ובלתי ניתן לספור. באופן פרדוקסלי יותר, קנטור הוכיח כי מכלול כל המספרים האלגבריים מכיל אלמנטים רבים כמו קבוצת כל המספרים השלמים, וכי מספרים טרנסצנדנטליים שאינם אלגבריים, שהם קבוצת משנה של מספרים לא רציונליים, הם בלתי נספרים, ולכן מספרם גדול יותר מאשר מספרים שלמים., ויש לראותם כאינסופיים.

יריבים ותומכים

אבל עבודתו של קנטור, בה הציג לראשונהתוצאות אלה לא פורסמו בכתב העת Krell, שכן אחד המבקרים, קרונקר, התנגד נחרצות. אך לאחר התערבותו של דדקינד, הוא פורסם בשנת 1874 תחת הכותרת "על המאפיינים המאפיינים של כל המספרים האלגבריים האמיתיים".

מדע וחיים אישיים

באותה שנה, במהלך הדבשחודשים עם אשתו וולי גוטמן באינטרלאקן, שוויץ, פגש קנטור את דדקינד, שדיבר בחיוב על התיאוריה החדשה שלו. שכרו של ג'ורג 'היה קטן, אך בכספו של אביו, שמת בשנת 1863, בנה בית לאשתו ולחמישה ילדיו. רבות מיצירותיו פורסמו בשוודיה בכתב העת החדש Acta Mathematica, שערך וייסד גסטה מיטג-לפלר, שהיה בין הראשונים שהכירו בכישרונו של המתמטיקאי הגרמני.

חיבור למטפיזיקה

התיאוריה של קנטור הפכה לנושא חדש לגמרימחקר הקשור למתמטיקה של האינסוף (למשל, סדרות 1, 2, 3 וכו ', ומערכות מורכבות יותר), שהיו תלויות במידה רבה בהתכתבות אחת לאחת. פיתוחו של קנטור לשיטות חדשות להעלות שאלות הנוגעות להמשכיות ולאינסוף העניק למחקר שלו אופי דו -משמעי.

כאשר טען כי אין ספור מספרים אמיתייםקיים, הוא פנה לפילוסופיה עתיקה ומימי הביניים ביחס לאינסוף הממשי והפוטנציאלי, כמו גם לחינוך הדתי המוקדם שהוריו העניקו לו. בשנת 1883, בספרו יסודות של תורת הסטים הכללית, שילב קנטור את מושגו עם המטאפיזיקה של אפלטון.

קרונקר, שטען כי "קיים"רק מספרים שלמים ("אלוהים ברא מספרים שלמים, השאר הוא עבודת האדם"), במשך שנים רבות דחה בלהט את הנמקתו והפריע למינויו באוניברסיטת ברלין.

מספרים בלתי מוגבלים

בשנים 1895-97.גיאורג קנטור גיבש במלואו את מושג ההמשכיות והאינסוף שלו, כולל אינסוף מספרים סדירים וקרדינליים, ביצירתו המפורסמת ביותר, שפורסם תחת הכותרת "תרומה ליצירת תיאוריית המספרים הטרנספינים" (1915). חיבור זה מכיל את הרעיון שלו, שאליו הוביל ההפגנה שאפשר להכניס סט אינסופי להתכתבויות אחד על אחד עם אחת מקבוצות המשנה שלה.

תחת המספר הקרדינלי הקטן ביותרהוא התכוון לקרדינאליות של כל קבוצה שאפשר להכניס להתכתבות אחת על אחת עם מספרים טבעיים. קנטור כינה אותו aleph-zero. קבוצות גדולות מוגדרות מסומנות aleph-one, aleph-two וכו '. לאחר מכן הוא פיתח את החשבון של מספרים טרנספיטיים, שהיה מקביל לחשבון סופי. לפיכך, הוא העשיר את מושג האינסוף.

ההתנגדות איתה התמודד והזמןשלקח לרעיונותיו להתקבל במלואם נובע מהקושי להעריך מחדש את השאלה העתיקה מהו מספר. קנטור הראה כי מערכת נקודות בקו היא בעלת הספק גבוה יותר מאלף אפס. זה הוביל לבעיה הידועה של השערת הרצף - אין קרדינלים בין אפס האלף לבין הקרדינליות של הנקודות על הקו. בעיה זו עוררה עניין רב במחצית הראשונה והשנייה של המאה ה -20 ונחקרה על ידי מתמטיקאים רבים, כולל קורט גדל ופול כהן.

מדוכא

ביוגרפיה של גיאורג קנטור מאז 1884האפילה על ידי תחילת מחלתו הנפשית, אך הוא המשיך לעבוד באופן פעיל. בשנת 1897 הוא עזר לקיים את הקונגרס המתמטי הבינלאומי הראשון בציריך. בין היתר מכיוון שקרונקר התנגד לו, הוא הזדהה לעתים קרובות עם מתמטיקאים צעירים ושואפים וחיפש למצוא דרך לשחרר אותם מהדיכוי מצד מורים שהרגישו מאוימים מרעיונות חדשים.

הכרה

בתחילת המאה, עבודתו הייתה לגמרימוכר כבסיס לתורת הפונקציות, הניתוח והטופולוגיה. בנוסף, ספריו של החזן גיאורג שימשו תמריץ להמשך פיתוחם של אסכולות אינטואיטיביסטיות ופורמליסטיות של היסודות ההגיוניים של המתמטיקה. זה שינה באופן משמעותי את מערכת ההוראה ולעתים קרובות הוא קשור ל"מתמטיקה חדשה ".

בשנת 1911 גרם.קנטור היה בין המוזמנים לחגוג 500 שנה לאוניברסיטת סנט אנדרוס בסקוטלנד. הוא הלך לשם בתקווה לפגוש את ברטרנד ראסל, שבעבודתו שפורסמה לאחרונה Principia Mathematica התייחס שוב ושוב למתמטיקאי הגרמני, אך זה לא קרה. האוניברסיטה העניקה לקנטור תואר כבוד, אך בשל מחלה לא יכול היה לקבל את הפרס באופן אישי.

קנטור פרש בשנת 1913., חי בעוני ורעב במהלך מלחמת העולם הראשונה. חגיגות לציון יום הולדתו ה -70 בשנת 1915 בוטלו בשל המלחמה, אך טקס קטן התקיים בביתו. הוא מת ב- 06.01.1918 בהאלי, בבית חולים פסיכיאטרי, שם בילה את שנות חייו האחרונות.

גיאורג קנטור: ביוגרפיה. משפחה

9 באוגוסט 1874המתמטיקאי הגרמני התחתן עם וולי גוטמן. לזוג היו 4 בנים ו -2 בנות. הילד האחרון נולד בשנת 1886 בבית חדש שרכש קנטור. ירושת אביו עזרה לו לפרנס את משפחתו. מצבו הבריאותי של קנטור הושפע מאוד ממות בנו הצעיר בשנת 1899 - מאז לא עזב את הדיכאון.