Egy vagy több változó függvényének differenciális számítása

A differenciálszámítás a matematikai elemzés egyik ága, amely a deriváltokat, a differenciálokat és azok használatát tanulmányozza egy függvény vizsgálatában.

A megjelenés története

A differenciálszámítás kiemelkedettfüggetlen tudományág a 17. század második felében Newton és Leibniz munkáinak köszönhetően, akik a differenciálszámításban megfogalmazták a főbb rendelkezéseket, és észrevették az integráció és a differenciálódás összefüggését. Ettől a pillanattól kezdve a diszciplína az integrálszámítással együtt fejlődött, és ezzel a matematikai elemzés alapját képezte. Ezeknek a kalkulusoknak a megjelenése új modern korszakot nyitott a matematikai világban, és új tudományágak megjelenését idézte elő a tudományban. Kibővítette a matematikai tudomány természettudományi és technológiai alkalmazásának lehetőségét is.

Alapfogalmak

A differenciálszámítás azon alapula matematika alapfogalmai. Ezek a következők: valós szám, folytonosság, függvény és határérték. Idővel az integrál- és differenciálszámításnak köszönhetően modern formát öltöttek.

Létrehozási folyamat

Differenciálszámítás kialakítása a formábanalkalmazták, majd a tudományos módszer a filozófiai elmélet megjelenése előtt történt, amelyet Nikolai Kuzansky hozott létre. Műveit evolúciós fejleménynek tekintik az ókori tudomány ítéletei alapján. Annak ellenére, hogy maga a filozófus nem volt matematikus, hozzájárulása a matematikai tudomány fejlődéséhez tagadhatatlan. Kuzansky volt az elsők között, aki felhagyott az aritmetika mint a legpontosabb tudományterülettel, megkérdőjelezve az akkori matematikát.

Az ókori matematikusoknak univerzális kritériumuk vanegység volt, míg a filozófus a végtelent javasolta új mértékként a pontos szám helyett. Ebben a tekintetben a pontosság reprezentációja a matematikai tudományban fordított. Véleménye szerint a tudományos tudás racionálisra és intellektuálisra oszlik. A második a tudós szerint pontosabb, mivel az első csak hozzávetőleges eredményt ad.

gondolat

Alapötlet és koncepció a differenciálműbenegy függvényhez társított kalkulus bizonyos pontok kis környezetében. Ehhez létre kell hozni egy olyan függvény vizsgálatára alkalmas matematikai apparátust, amelynek viselkedése a felállított pontok kis környezetében közel áll egy polinom vagy egy lineáris függvény viselkedéséhez. Ez a derivált és a differenciál definícióján alapul.

A derivált fogalmának megjelenését a természettudományok és a matematika számos problémája okozta, amelyek az azonos típusú határértékek meghatározásához vezettek.

Az egyik fő feladat, amelyet mintegy példa a gimnáziumtól kezdve az, hogy meghatározzuk egy pont sebességét egy egyenes mentén, és rajzoljunk egy érintőt erre a görbére. A differenciál ehhez kapcsolódik, mivel a függvény közelítése a lineáris függvény vizsgált pontjának kis környezetében lehetséges.

Összehasonlítva a függvény deriváltjának fogalmávalvalós változó, a differenciálok definíciója egyszerűen átkerül egy általános jellegű függvényre, különösen az egyik euklideszi tér képére a másikon.

Derivált

Hagyja, hogy a pont az Oy tengely irányában mozogjon túlidőt veszünk x-et, amelyet a pillanat kezdetétől számítanak. Ez a mozgás az y = f (x) függvénnyel írható le, amely a mozgott pont minden x időpillanatához van hozzárendelve. Ezt a függvényt a mechanikában mozgástörvénynek nevezik. A mozgás, különösen az egyenetlen mozgás fő jellemzője a pillanatnyi sebesség. Amikor egy pont a mechanika törvénye szerint az Oy tengely mentén mozog, akkor egy véletlenszerű x időpontban felveszi az f (x) koordinátát. Az x + Δx időpontban, ahol Δx az idő növekedését jelöli, a koordinátája f (x + Δx) lesz. Így keletkezik a Δy = f (x + Δx) - f (x) képlet, amit a függvény növekményének nevezünk. Az x és x + Δx közötti idő pontja által megtett utat jelenti.

Ennek a sebességnek a pillanatnyi előfordulása miattidőderivált kerül bevezetésre. Egy tetszőleges függvényben a fix pont deriváltját határértéknek nevezzük (feltéve, hogy létezik). Bizonyos szimbólumokkal jelölhető:

f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

A derivált kiszámításának folyamatát differenciálásnak nevezzük.

Több változós függvény differenciálszámítása

Ezt a számítási módszert akkor alkalmazzuk, hatöbb változós függvény vizsgálata. Két x és y változó jelenlétében az A pontban lévő x-hez viszonyított parciális deriváltot e függvény deriváltjának nevezzük x-hez fix y-vel.

Ezt a következő szimbólumok jelezhetik:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x vagy ∂f (x, y) '/ ∂x.

Szükséges készségek

A diffúzió sikeres tanulmányozása és megoldása,integrációs és differenciálási készségekre van szükség. A differenciálegyenletek könnyebb megértése érdekében jól kell értenie a derivált és a határozatlan integrál témakörét. Azt sem árt megtanulni, hogyan kell egy implicit módon definiált függvény deriváltját keresni. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a tanulás során gyakran integrálókat és differenciálást kell használnia.

A differenciálegyenletek típusai

Szinte minden elsőrendű differenciálegyenletekkel kapcsolatos vezérlési munkában 3 féle egyenlet létezik: homogén, elválasztható változókkal, lineáris inhomogén.

Vannak ritkább egyenlettípusok is: teljes differenciálokkal, Bernoulli-egyenletekkel és másokkal.

Megoldás alapjai

Először is emlékezzünk az algebrairaegyenletek az iskolai tanfolyamból. Változókat és számokat tartalmaznak. Egy közönséges egyenlet megoldásához meg kell találni egy adott feltételt kielégítő számkészletet. Az ilyen egyenleteknek általában egy gyöke volt, és a helyesség ellenőrzéséhez csak ezt az értéket kellett az ismeretlen helyére behelyettesíteni.

A differenciálegyenlet ehhez hasonló. Általános esetben egy ilyen elsőrendű egyenlet a következőket tartalmazza:

• Független változó.
• Az első függvény származéka.
• Függvény vagy függő változó.

Egyes esetekben az egyikismeretlenek, x vagy y, de ez nem annyira fontos, hiszen a megoldás és a differenciálszámítás helyességéhez szükséges az első derivált jelenléte magasabb rendű deriváltok nélkül.

A differenciálegyenlet megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni az összes olyan függvény halmazát, amely megfelel egy adott kifejezésnek. Egy hasonló függvénykészletet gyakran neveznek általános DE-megoldásnak.

Integrálszámítás

Az integrálszámítás a matematikai elemzés egyik ága, amely az integrál fogalmát, tulajdonságait és számítási módszereit vizsgálja.

Az integrál kiszámításával gyakran találkozunk, amikoregy görbe alak területének kiszámítása. Ez a terület azt a határt jelenti, amelyre egy adott ábrába írt sokszög területe az oldalának fokozatos növekedésével hajlik, miközben ezek az oldalak kevésbé teljesíthetők, mint bármely korábban megadott tetszőleges kis érték.

Az önkényes terület kiszámításának fő gondolataegy geometriai ábra egy téglalap területének kiszámításából áll, vagyis annak bizonyításával, hogy területe egyenlő a hosszúság és a szélesség szorzatával. Ha a geometriáról van szó, akkor minden konstrukció vonalzóval és körzővel készül, és ekkor a hossz és a szélesség aránya racionális érték. Egy derékszögű háromszög területének kiszámításakor meghatározhatja, hogy ha ugyanazt a háromszöget mellé helyezi, akkor téglalap keletkezik. A paralelogrammában a terület kiszámítása hasonló, de kissé bonyolultabb módszerrel történik, egy téglalapon és egy háromszögön keresztül. A sokszögeknél a területet a benne foglalt háromszögek alapján számoljuk.

Egy tetszőleges görbe területének meghatározásakor eza módszer nem fog működni. Ha egységnégyzetekre bontjuk, akkor üres helyek lesznek. Ebben az esetben két fedést próbálnak használni, felül és alul téglalapokkal, ennek eredményeként a függvény grafikonját tartalmazzák és nem. Az ezekre a téglalapokra való felosztás módszere itt továbbra is fontos. Továbbá, ha olyan partíciókat veszünk, amelyek egyre csökkennek, akkor a feletti és alatti területnek egy bizonyos értékhez kell konvergálnia.

Vissza kell térnie a téglalapokra való felosztás módszeréhez. Két népszerű módszer létezik.

Riemann formalizálta az integrál definícióját,Leibniz és Newton készítette részgráfterületként. Ebben az esetben a számokat vettük figyelembe, amelyek bizonyos számú függőleges téglalapból állnak, és a szegmens elosztásával kapták meg. Ha csökkenő particionálással van egy határ, ameddig egy ilyen alakzat területe csökken, akkor ezt a határt a függvény Riemann-integráljának nevezzük egy adott szakaszon.

A második módszer az integrál összeállításaLebesgue, ami abból áll, hogy a meghatározott régió integrandus részeire való felosztásának, majd az ezekben a részekben kapott értékekből az integrál összegnek az összeállításához az értéktartományt intervallumokra osztják, majd ezen integrálok inverz képeinek megfelelő mértékeivel összegezzük.

Modern kézikönyvek

Az egyik fő tanulmányi útmutatóA differenciál- és integrálszámítás Fichtengolts írta: "A differenciál- és integrálszámítás menete". Tankönyve a matematikai elemzés tanulmányozásának alapvető tankönyve, amely számos kiadáson és más nyelvekre történő fordításon ment keresztül. Egyetemi hallgatók számára készült, és régóta használják számos oktatási intézményben az egyik fő tanulmányi útmutatóként. Elméleti adatokat és gyakorlati ismereteket biztosít. Először 1948-ban jelent meg.

Függvénykutatási algoritmus

Egy függvény differenciálszámítási módszerekkel történő vizsgálatához a már megadott algoritmust kell követni:

1. Keresse meg a függvény tartományát.
2. Keresse meg az adott egyenlet gyökereit!
3. Számítsa ki a szélsőségeket. Ehhez számítsa ki a deriváltot és azokat a pontokat, ahol az egyenlő nullával.
4. Helyettesítsd be a kapott értéket az egyenletbe!

A differenciálegyenletek változatai

Elsőrendű DE (egyéb változó differenciálszámítása) és típusai:

• Elválasztható egyenlet: f (y) dy = g (x) dx.
• A legegyszerűbb egyenletek vagy egy változó függvényének differenciálszámítása, amelynek képlete: y "= f (x).
• Lineáris inhomogén elsőrendű DE: y "+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli differenciálegyenlet: y "+ P (x) y = Q (x) y^és .
• Egyenlet a teljes differenciálokkal: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Másodrendű differenciálegyenletek és típusaik:

• Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet az együttható állandó értékeivel: yⁿ+ py "+ qy = 0 p, q R-hez tartozik.
• Lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenlet állandó együttható értékkel: yⁿ+ py "+ qy = f (x).
• Lineáris homogén differenciálegyenlet: yⁿ+ p (x) y "+ q (x) y = 0, és egy másodrendű inhomogén egyenlet: yⁿ+ p (x) y "+ q (x) y = f (x).

A magasabb rendű differenciálegyenletek és típusaik:

• Differenciálegyenlet, amely csökkentést enged meg sorrendben: F (x, y^k), y^{(k + 1)}, .., y⁽ⁿ⁾= 0.
• A magasabb rendű lineáris egyenlet homogén: és⁽ⁿ⁾+ f_(n-1)és^(n-1)+ ... + f₁y "+ f₀y = 0, és heterogén: és⁽ⁿ⁾+ f_(n-1)és^(n-1)+ ... + f₁y "+ f₀y = f (x).

Feladat megoldásának szakaszai differenciálegyenlettel

A DE segítségével nem csak matematikaivagy fizikai problémák, de különféle biológia, közgazdaságtan, szociológia és mások problémái is. A témakörök sokfélesége ellenére az ilyen problémák megoldása során egyetlen logikai sorrendet kell követnie:

1. Távirányító készítése.Az egyik legnehezebb szakasz, amely maximális precizitást igényel, mivel minden hiba teljesen hibás eredményhez vezet. Minden, a folyamatot befolyásoló tényezőt figyelembe kell venni, és meg kell határozni a kezdeti feltételeket. Tényekre és következtetésekre is kell alapoznia.
2. Az összeállított egyenlet megoldása. Ez a folyamat egyszerűbb, mint az első lépés, mivel csak szigorú matematikai számításokat igényel.
3. A kapott eredmények elemzése és értékelése. A levezetett megoldást értékelni kell, hogy megállapítsuk az eredmény gyakorlati és elméleti értékét.

Példa a differenciálegyenletek alkalmazására az orvostudományban

A DU felhasználása az orvostudomány területén találkozikepidemiológiai matematikai modell felépítésekor. Ugyanakkor nem szabad megfeledkezni arról, hogy ezek az egyenletek az orvostudományhoz közel álló biológiában és kémiában is megtalálhatók, mert abban fontos szerepet kap a különböző biológiai populációk és az emberi szervezetben zajló kémiai folyamatok vizsgálata.

A fenti járványos példában a fertőzés terjedését tekinthetjük egy elszigetelt társadalomban. A lakosokat három típusra osztják:

• Fertőzött, száma x (t), egyedekből, fertőzéshordozókból áll, amelyek mindegyike fertőző (lappangási idő rövid).
• A második típusba az y (t) fogékony egyedek tartoznak, akik a fertőzöttekkel való érintkezés révén megfertőződhetnek.
• A harmadik típusba tartoznak a z (t) refrakter egyedek, amelyek immunisak vagy betegség miatt haltak meg.

Az egyedszám állandó, a születéseket, a természetes halálozást és a vándorlást nem vesszük figyelembe. Két hipotézisen fog alapulni.

A megbetegedések százalékos aránya egy adott időpontbana momentum egyenlő x (t) y (t) (a feltételezés azon az elméleten alapul, hogy az esetek száma arányos a betegek és a fogékony képviselők közötti metszéspontok számával, ami az első közelítésben arányos lesz x-szel ( t) y (t)), ebben a tekintetben az esetek száma nő, a fogékonyak száma pedig csökken az ax (t) y (t) (a> 0) képlettel számolható ütemben.

Az immunitást megszerzett vagy elhalálozott, ellenálló egyedek száma az esetek számával arányos mértékben növekszik, bx (t) (b> 0).

Ennek eredményeként lehetőség nyílik mindhárom mutató figyelembevételével egy egyenletrendszer felállítására és az alapján következtetések levonására.

Példa a közgazdasági felhasználásra

A differenciálszámítást gyakran használják, amikorgazdasági elemzés. A gazdasági elemzés fő feladata a gazdaságból származó értékek tanulmányozása, amelyek függvény formájában vannak megírva. Ezt olyan problémák megoldásánál alkalmazzák, mint az adóemelés után azonnali jövedelemváltozás, illetékek bevezetése, a cég bevételének megváltoztatása a termelési költségek változása esetén, milyen arányban lehet a nyugdíjas munkavállalókat új berendezésekkel helyettesíteni. Az ilyen kérdések megoldásához a bejövő változókból össze kell állítani egy kapcsolódási függvényt, amelyet ezután differenciálszámítással tanulmányozunk.

A gazdasági téren gyakran meg kell találnia legoptimálisabb mutatók: maximális munkatermelékenység, legmagasabb jövedelem, legalacsonyabb költségek stb. Minden ilyen indikátor egy vagy több argumentum függvénye. Például a termelés a munka- és tőkeinputok függvényeként fogható fel. Ebben a tekintetben a megfelelő érték megtalálása lecsökkenthető egy függvény maximumának vagy minimumának meghatározására egy vagy több változóból.

Az ilyen jellegű problémák a szélsőségek osztályát alkotjákolyan gazdasági problémák, amelyek megoldásához differenciálszámítás szükséges. Ha egy gazdasági mutatót egy másik mutató függvényében kell minimalizálni vagy maximalizálni, akkor a maximális ponton a függvény növekményének az argumentumokhoz viszonyított aránya nulla lesz, ha az argumentumnövekmény nullára hajlik. Ellenkező esetben, amikor egy ilyen arány egy bizonyos pozitív vagy negatív értékre hajlik, a jelzett pont nem megfelelő, mert az argumentum növelésekor vagy csökkentésekor a függő értéket a kívánt irányba módosíthatja. A differenciálszámítás terminológiájában ez azt jelenti, hogy egy függvény maximumának szükséges feltétele a deriváltjának nulla értéke.

A közgazdaságtanban gyakran vannak feladatokegy több változós függvény szélsőértékének megtalálása, mert a gazdasági mutatók sok tényezőből állnak. Az ilyen kérdéseket számos változó függvényelmélete jól tanulmányozza a differenciálszámítás módszereivel. Az ilyen feladatok nem csak a maximalizált és minimalizált funkciókat tartalmazzák, hanem a megszorításokat is. Az ilyen kérdések a matematikai programozáshoz kapcsolódnak, és speciálisan kifejlesztett, szintén erre a tudományágra épülő módszerekkel oldják meg őket.

A differenciálszámítás módszerei közül pl.a közgazdaságtanban használatos, fontos része a marginális elemzés. A közgazdasági szférában ez a kifejezés a változó mutatók és eredmények tanulmányozására szolgáló módszerek összességét jelöli a termelés, a fogyasztás volumenének megváltoztatásakor, ezek határmutatóinak elemzése alapján. A korlátozó mutató a többváltozós származékos vagy parciális derivált.

Több változó differenciálszámítása- fontos téma a matematikai elemzés területén. A részletes tanulmányozáshoz felhasználhatja a különböző felsőoktatási intézmények tankönyveit. Az egyik leghíresebbet Fichtengolts készítette - "A differenciál- és integrálszámítás pályája". Ahogy a neve is sugallja, az integrálokkal való munkavégzés készségei jelentős jelentőséggel bírnak a differenciálegyenletek megoldásában. Ha egy változó függvényének differenciálszámítása megtörténik, a megoldás egyszerűbbé válik. Bár meg kell jegyezni, ugyanazoknak az alapvető szabályoknak engedelmeskedik. Ahhoz, hogy egy függvényt a gyakorlatban differenciálszámítással vizsgálhassunk, elegendő a már meglévő algoritmust követni, amelyet az iskola felsőbb évfolyamaiban adnak meg, és az új változók bevezetése csak kis mértékben bonyolítja.