Az "elmélet" fogalmának több meghatározása létezikszámok ". Egyikük azt mondja, hogy ez a matematika (vagy magasabb számtan) speciális ága, amely részletesen tanulmányozza a hozzájuk hasonló egész számokat és tárgyakat.
Egy másik meghatározás tisztázza, hogy a matematika ezen ága tanulmányozza a számok tulajdonságait és viselkedését különböző helyzetekben.
Egyes tudósok úgy vélik, hogy az elmélet olyan kiterjedt, hogy lehetetlen pontos meghatározást adni neki, de elég csak felosztani több kevésbé terjedelmes elméletre.
Az elmélet születésekor állapítsa meg megbízhatóanszámok nem lehetségesek. Mindazonáltal jól megalapozott: ma a legrégebbi, de nem az egyetlen dokumentum, amely tanúskodik az ókori érdeklődésről a számelmélet iránt, a Kr. E. 1800-ból származó agyagtábla kis töredéke. Számos úgynevezett Pitagorasz-hármas (természetes szám) található, amelyek közül sok öt jelből áll. Az ilyen hármasok nagy száma kizárja a mechanikai kiválasztást. Ez azt jelzi, hogy a számelmélet iránti érdeklődés nyilvánvalóan sokkal korábban merült fel, mint azt a tudósok eredetileg feltételezték.
Az elmélet fejlődésének legnevezetesebb személyei a pitagoreusiak, Euklidész és Diofántusz, az aryabhatai, brahmagupta és bhaskarai indiánok, akik a középkorban éltek, sőt később - Fermat, Euler, Lagrange.
A huszadik század elején a számelmélet olyan matematikai géniuszok figyelmét vonta magára, mint A. N. Korkin, E.I. Zolotarev, A.A. Markov, B.N.Delone, D.K.Faddeev, I.M. Vinogradov, G Weil, A. Selberg.
Számítások és kutatások kidolgozása és elmélyítéseaz ókori matematikusok új, sokkal magasabb szintre hozták az elméletet, sok területre kiterjedve. A mély kutatások és az új bizonyítékok felkutatása új problémák felfedezéséhez vezetett, amelyek közül néhányat még nem vizsgáltak. Maradj nyitva: Artin sejtése a prímkészlet végtelenségéről, a prímszám számának végtelen kérdéséről, sok más elmélet.
Manapság a számelmélet fő összetevői az elméletek: elemi, nagy számok, véletlenszerű számok, analitikai, algebrai.
Elemi számelméleti tanulmányokegész számok anélkül, hogy a matematika más ágaiból származó módszerekre és fogalmakra támaszkodnánk. A Fibonacci-számok, Fermat kis tétele, a legelterjedtebb fogalmak ebből az elméletből, amelyet még az iskolások is ismernek.
A nagy számok elmélete (vagy a nagy számok törvénye) -a valószínűségelmélet alszakasza, amely azt akarja bizonyítani, hogy egy nagy minta számtani átlaga (más szóval az empirikus átlaga) fix eloszlás mellett megközelíti e minta matematikai várakozását (amelyet elméleti átlagnak is nevezünk).
Véletlenszám-elmélet, az összes esemény felosztásabizonytalan, determinisztikus és véletlenszerű, az egyszerű események valószínűségével próbálja meghatározni a komplexek valószínűségét. Ez a szakasz tartalmazza a feltételes valószínűségek tulajdonságait és azok szorzását, a hipotézisek tételét (amelyet gyakran Bayes-képletnek hívnak) stb.
Analitikus számelmélet, amint az egyértelműnevek, a matematikai értékek és a numerikus tulajdonságok tanulmányozásához a matematikai elemzés módszereit és technikáit használja. Ennek az elméletnek az egyik fő iránya a prímszámok eloszlására vonatkozó tétel bizonyítása (komplex elemzés segítségével).
Az algebrai számelmélet közvetlenül működik a számokkal, azok analógjaival (például algebrai számokkal), tanulmányozza az osztók elméletét, a csoportok kohomológiáját, a Dirichlet-függvényeket stb.
Fermat tételének évszázados kísérletei ennek az elméletnek a megjelenéséhez és fejlődéséhez vezettek.
A huszadik századig a számelméletet absztraktnak tekintettéka természettudomány, a "tiszta művészet a matematikából", amelynek semmilyen gyakorlati vagy haszonelvű alkalmazása nincs. Ma a számításait a kriptográfiai protokollokban, a műholdak és az űrszondák pályájának kiszámításában, a programozásban használják. Közgazdaságtan, pénzügyek, informatika, geológia - ezek a tudományok manapság lehetetlenek számelmélet nélkül.
