समकोण के साथ एक चतुष्कोण है ... एक चतुर्भुज के कोण का योग

सबसे दिलचस्प ज्यामिति विषयों में से एकस्कूल का पाठ्यक्रम "चतुष्कोण" (ग्रेड 8) है। इस तरह के आंकड़े मौजूद हैं, उनके पास क्या विशेष गुण हैं? नब्बे डिग्री चतुर्भुज के बारे में क्या अनोखा है? आइए इस सब पर एक नजर डालते हैं।

क्या ज्यामितीय आकार एक चतुर्भुज कहा जाता है

बहुभुज, जिसमें चार भुजाएँ (कोने) होती हैं, तदनुसार, यूक्लिडियम ज्यामिति में चतुर्भुज कहलाते हैं।

इस प्रकार के आंकड़ों के नाम का इतिहास दिलचस्प है।रूसी में, संज्ञा "चतुष्कोण" वाक्यांश "चार कोनों" (बस "त्रिकोण" - तीन कोण, "पंचकोना" - पांच कोने, आदि) से बनता है।

हालाँकि, लैटिन में (जिसके माध्यम सेदुनिया की अधिकांश भाषाओं में कई ज्यामितीय शब्द आए) इसे चतुर्भुज कहा जाता है। यह शब्द अंक चतुर्थी (चार) और संज्ञा लटुस (पक्ष) से ​​बना है। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पूर्वजों ने इस बहुभुज को "चार-पक्षीय" कहा।

वैसे, यह नाम (की उपस्थिति पर जोर देने के साथ)कुछ आधुनिक भाषाओं में इस तरह की चार भुजाएँ, कोने नहीं हैं। उदाहरण के लिए, अंग्रेजी में यह चतुर्भुज है और फ्रेंच में यह quadrilatère है।

इसके अलावा, अधिकांश स्लाव भाषाओं मेंप्रश्न में आंकड़ों के प्रकार को अभी भी कोनों की संख्या से पहचाना जाता है, न कि पक्षों पर। उदाहरण के लिए, स्लोवाकिया में (štvoruholník), बल्गेरियाई ("chetirig'lnik") में, बेलारूसी में ("चेटिरोहुटनिक"), यूक्रेनी में ("chotirikutnik"), चेक में (čtyřúhelník), लेकिन पोलिश में चतुर्भुज द्वारा बुलाया जाता है। पक्षों की संख्या - cz।

स्कूल के पाठ्यक्रम में किस प्रकार के चतुष्कोणों का अध्ययन किया जाता है

आधुनिक ज्यामिति में, चार पक्षों के साथ 4 प्रकार के बहुभुज होते हैं।

हालांकि, उनमें से कुछ के जटिल गुणों के कारण, ज्यामिति पाठ में, स्कूली बच्चों को केवल दो प्रकारों से परिचित कराया जाता है।

• चतुर्भुज इस तरह के एक चतुर्भुज के विपरीत पक्ष एक दूसरे के समानांतर युग्मक हैं और तदनुसार, जोड़े में भी समान हैं।
• ट्रेपेज़ियम (ट्रेपेज़ियम या ट्रेपेज़ॉइड)। इस चतुर्भुज में दो विपरीत पक्ष होते हैं, एक दूसरे के समानांतर। हालांकि, अन्य जोड़ी पक्षों में यह सुविधा नहीं है।

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में अध्ययन नहीं किए गए चतुष्कोण के प्रकार

उपरोक्त के अलावा, दो और प्रकार के क्वाड्रैंगल्स हैं जो स्कूली बच्चों को ज्यामिति के पाठ में पेश नहीं किए जाते हैं, उनकी विशेष जटिलता के कारण।

• Deltoid (पतंग) - एक आकृति जिसमें आसन्न के दो जोड़े में से प्रत्येकपक्ष एक दूसरे की लंबाई के बराबर हैं। इस तरह के एक चतुर्भुज को इस तथ्य के कारण इसका नाम मिला कि उपस्थिति में यह ग्रीक वर्णमाला के अक्षर के समान है - "प्रलाप"।
• प्रतिपदार्थ - यह आंकड़ा उसके नाम जितना ही जटिल है।इसमें, दो विपरीत पक्ष समान होते हैं, लेकिन साथ ही वे एक दूसरे के समानांतर नहीं होते हैं। इसके अलावा, इस चतुर्भुज प्रतिच्छेद के लंबे विपरीत पक्ष, जैसा कि अन्य दो, छोटे पक्षों के विस्तार करते हैं।

समांतर चतुर्भुज के प्रकार

मुख्य प्रकार के चतुष्कोणों से निपटने के बाद, आपको इसकी उप-प्रजाति पर ध्यान देना चाहिए। तो, सभी समांतर चतुर्भुज, बदले में, चार समूहों में भी विभाजित हैं।

• क्लासिक समांतर चतुर्भुज।
• राइम्बस (रोम्बस) - समान भुजाओं वाला चतुर्भुज आकृति। इसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, रंबल को चार समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
• आयत नाम ही अपने में काफ़ी है। चूंकि यह समकोण के साथ एक आयत है (उनमें से प्रत्येक नब्बे डिग्री के बराबर है)। इसके विपरीत पक्ष न केवल एक दूसरे के समानांतर हैं, बल्कि बराबर भी हैं।
• वर्ग एक आयत की तरह, यह एक चतुर्भुज हैसमकोण, लेकिन सभी पक्ष एक दूसरे के बराबर हैं। यह इस आकृति को एक गर्भ के करीब बनाता है। तो यह तर्क दिया जा सकता है कि एक वर्ग एक समभुज और एक आयत के बीच एक क्रॉस है।

एक आयत के विशेष गुण

प्रत्येक कोनों को ध्यान में रखते हुए आकारपक्षों के बीच, नब्बे डिग्री के बराबर, आयत पर अधिक बारीकी से ध्यान देने योग्य है। तो, ऐसी कौन सी खासियतें हैं जो इसे अन्य समानताएं से अलग करती हैं?

ऐसा दावा करने के लिएएक समांतर चतुर्भुज एक आयत है, इसके विकर्ण एक दूसरे के बराबर होने चाहिए, और प्रत्येक कोने को सीधा होना चाहिए। इसके अलावा, इसके विकर्णों का वर्ग इस आकृति के दो निकटवर्ती पक्षों के वर्गों के योग के अनुरूप होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक शास्त्रीय आयत में दो समकोण त्रिभुज होते हैं, और उनमें, जैसा कि आप जानते हैं, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है। माना गया चतुर्भुज का विकर्ण कर्ण के रूप में कार्य करता है।

इस आंकड़े के सूचीबद्ध संकेतों में से अंतिमइसकी विशेष संपत्ति भी है। इसके अलावा, अन्य हैं। उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि समकोण के साथ अध्ययन किए गए चतुर्भुज के सभी पक्ष एक ही समय में इसकी ऊंचाइयों पर हैं।

इसके अलावा, यदि आप किसी आयत के चारों ओर एक घेरा बनाते हैं, तो इसका व्यास अंकित आकृति के विकर्ण के बराबर होगा।

इस चतुर्भुज के अन्य गुणों में,यह समतल है और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में मौजूद नहीं है। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसी प्रणाली में कोई चतुर्भुज आंकड़े नहीं हैं, जिनमें से कोणों का योग तीन सौ और साठ डिग्री के बराबर है।

वर्ग और इसकी विशेषताएं

एक आयत के संकेतों और गुणों के साथ निपटाते हुए, यह विज्ञान के लिए ज्ञात सही कोणों के साथ दूसरे चतुर्भुज पर ध्यान देने योग्य है।

वास्तव में एक ही आयत होने के नाते, लेकिन समान पक्षों के साथ, इस आंकड़े में इसके सभी गुण हैं। लेकिन उसके विपरीत, वर्ग गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में मौजूद है।

इसके अलावा, इस आंकड़े में अन्य हैंअपनी विशिष्ट विशेषताएं। उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि एक वर्ग के विकर्ण न केवल एक दूसरे के बराबर हैं, बल्कि समकोण पर भी प्रतिच्छेद करते हैं। इस प्रकार, एक रोम्बस की तरह, एक वर्ग में चार समकोण त्रिभुज होते हैं, जिसमें यह विकर्णों द्वारा विभाजित होता है।

इसके अलावा, यह आंकड़ा सभी चतुष्कोणों का सबसे सममित है।

चतुर्भुज के कोणों का योग क्या है

यूक्लिडियन ज्यामिति के चतुर्भुजों की विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए, यह उनके कोणों पर ध्यान देने योग्य है।

इसलिए, उपरोक्त आंकड़ों में से प्रत्येक में,चाहे इसके समकोण हों या न हों, इनका कुल योग हमेशा एक ही होता है - तीन सौ साठ डिग्री। यह इस प्रकार की आकृति की एक अनूठी विशेषता है।

चतुष्कोण की परिधि

कोणों का योग क्या है, इससे निपटा जानाइस प्रकार के आंकड़ों के चतुर्भुज और अन्य विशेष गुण, यह पता लगाने के लायक है कि उनके परिधि और क्षेत्र की गणना करने के लिए कौन से सूत्र का उपयोग करना सबसे अच्छा है।

किसी भी चतुर्भुज की परिधि को निर्धारित करने के लिए, आपको बस इसके सभी पक्षों की लंबाई को एक साथ जोड़ना होगा।

उदाहरण के लिए, केएलएमएन आकार में, इसकी परिधि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: पी = केएल + एलएम + एमएन + केएन। यदि आप यहां संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको मिलता है: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (सेमी)।

मामले में जब प्रश्न में आंकड़ा एक लय हैया एक वर्ग, परिधि को खोजने के लिए, आप सूत्र को उसके सिरों की लंबाई को चार से गुणा करके सरल बना सकते हैं: P = KL x 4. उदाहरण के लिए: 6 x 4 = 24 (सेमी)।

क्षेत्र चतुर्भुज सूत्र

यह पता लगाने के बाद कि चार कोनों और पक्षों के साथ किसी भी आकार की परिधि को कैसे खोजना है, यह अपने क्षेत्र को खोजने के सबसे लोकप्रिय और सरल तरीकों पर विचार करने योग्य है।

• इसकी गणना करने का क्लासिक तरीका हैसूत्र S = 1/2 KM x LN x SIN LON का उपयोग करें। यह पता चलता है कि किसी भी चतुष्कोण का क्षेत्रफल उनके विकर्ण के आधे उत्पाद के बराबर है, उनके बीच के कोण की साइन द्वारा।
• यदि वह आंकड़ा जिसका क्षेत्र पाया जाना हैआयत या वर्ग (जिनमें से विकर्ण हमेशा एक-दूसरे के बराबर होते हैं), आप एक विकर्ण की लंबाई को बढ़ाकर और उनके बीच के कोण की सीमा से गुणा करके और आधे हिस्से में सब कुछ विभाजित करके सूत्र को सरल बना सकते हैं। उदाहरण के लिए: S = 1/2 KM ² एक्स सिन लोन।
• इसके अलावा, जब एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात होता है,प्रश्न में आकृति की परिधि और उसके एक पक्ष की लंबाई के बारे में जानकारी में मदद करें। इस स्थिति में, सूत्र S = KN x (P - 2 KN) / 2 का उपयोग करना सबसे अधिक समीचीन होगा।
• एक वर्ग के मामले में, इसके गुण आपको क्षेत्र खोजने के लिए कई अतिरिक्त सूत्रों का उपयोग करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, आकृति की परिधि को जानते हुए, आप इस विकल्प का उपयोग कर सकते हैं: S = P ²/ 16. और यदि चतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात हो, तो वर्ग का क्षेत्रफल बहुत समान तरीके से पाया जाता है: S = 4r²... यदि परिचालित सर्कल की त्रिज्या ज्ञात है, तो एक और सूत्र होगा: S = 2R²... इसके अलावा, वर्ग का क्षेत्रफल आकृति के कोने से विपरीत दिशा के मध्य तक खींची गई रेखा की लंबाई का 0.8 गुना है।
• उपरोक्त सभी के अलावा, वहाँ भी हैक्षेत्र को खोजने के लिए एक अलग सूत्र, विशेष रूप से एक समांतर चतुर्भुज के लिए गणना की जाती है। यह लागू किया जा सकता है यदि आप आंकड़ा की दो ऊंचाइयों की लंबाई और उनके बीच के कोण के आकार को जानते हैं। फिर ऊंचाइयों को अपने और कोण के बीच के कोण के बीच गुणा करना होगा। यह ध्यान देने योग्य है कि आप सभी आकारों के लिए इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जो समांतर चतुर्भुज (जो एक आयत, एक समभुज और एक वर्ग के हैं) से संबंधित हैं।

चतुष्कोण के अन्य गुण: उत्कीर्ण और परिमित वृत्त

यूक्लिडियन ज्यामिति के एक आंकड़े के रूप में एक चतुर्भुज की विशेषताओं और गुणों पर विचार करने के बाद, इसके चारों ओर हलकों का वर्णन करने या उन्हें लिखने की क्षमता पर ध्यान देने योग्य है:

• यदि आकृति के विपरीत कोणों के योग एक सौ अस्सी डिग्री हैं और जोड़े में समान हैं, तो इस तरह के एक चतुर्भुज के चारों ओर एक चक्र का स्वतंत्र रूप से वर्णन किया जा सकता है।
• टॉलेमी के प्रमेय के अनुसार, यदि बाहरचार पक्षों के साथ एक बहुभुज, एक चक्र का वर्णन किया गया है, फिर इसके विकर्णों का उत्पाद इस आंकड़े के विपरीत पक्षों के उत्पादों के योग के बराबर है। इस प्रकार, सूत्र इस तरह दिखेगा: KM x LN = KL x MN + LM x KN।
• यदि आप एक चतुर्भुज का निर्माण करते हैं जिसमें विपरीत भुजाओं के जोड़ एक-दूसरे के बराबर होते हैं, तो इसमें एक चक्र अंकित किया जा सकता है।

यह पता लगाने के बाद कि चतुष्कोण क्या है,यह किस प्रकार का है, उनमें से किन पक्षों के बीच केवल समकोण है और उनके पास क्या गुण हैं, यह इस सारी सामग्री को याद रखने योग्य है। विशेष रूप से, माना बहुभुज की परिधि और क्षेत्र को खोजने का सूत्र। आखिरकार, इस आकृति के आंकड़े सबसे आम में से एक हैं, और यह ज्ञान वास्तविक जीवन में गणनाओं के लिए उपयोगी हो सकता है।