Aujourd'hui, nous proposons avec nous d'explorer ettracer la fonction. Après avoir étudié attentivement cet article, vous n'aurez pas à transpirer longtemps pour accomplir ce genre de tâche. Explorer et tracer une fonction n'est pas facile, le travail est volumineux, nécessitant une attention maximale et une précision des calculs. Pour faciliter la perception du matériau, nous étudierons pas à pas la même fonction, expliquerons toutes nos actions et calculs. Bienvenue dans le monde étonnant et passionnant des mathématiques! Aller!
Domaine
Pour explorer et représenter graphiquementfonctions, vous devez connaître plusieurs définitions. La fonction est l'un des concepts de base (de base) des mathématiques. Il reflète la relation entre plusieurs variables (deux, trois ou plus) avec des changements. La fonction montre également la dépendance des ensembles.
Imaginez que nous ayons deux variables,qui ont une certaine plage de variation. Ainsi, y est une fonction de x, à condition que chaque valeur de la seconde variable corresponde à une valeur de la seconde. Dans ce cas, la variable y est dépendante et s'appelle une fonction. Il est courant de dire que les variables x et y sont en dépendance fonctionnelle. Pour plus de clarté sur cette dépendance, un graphe de fonctions est construit. Qu'est-ce qu'un graphe de fonctions? Il s'agit d'un ensemble de points sur le plan de coordonnées, où chaque valeur x correspond à une valeur y. Les graphiques peuvent être différents - ligne droite, hyperbole, parabole, sinusoïde, etc.
Il est impossible de tracer un graphe de fonction sansrecherche. Aujourd'hui, nous allons apprendre à mener des recherches et à tracer un graphe de fonction. Il est très important de marquer le plan de coordonnées pendant l'étude. Cela rendra la tâche beaucoup plus facile. Le plan de recherche le plus pratique:
- Domaine.
- Continuité.
- Parité paire ou impaire.
- Périodicité.
- Asymptotes.
- Zéros.
- Constance des signes.
- Augmentation et diminution.
- Extrêmes.
- Convexité et concavité.
Commençons par le premier point. Trouvons le domaine de définition, c'est-à-dire sur quels intervalles notre fonction existe: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Dans notre cas, la fonction existe pour toutes les valeurs de x, c'est-à-dire que le domaine est égal à R. Il peut s'écrire comme suit xÎR.
Continuité
Nous allons maintenant explorer la fonction surPause. En mathématiques, le terme «continuité» est né de l'étude des lois du mouvement. Qu'est-ce que l'infini? L'espace, le temps, certaines dépendances (un exemple est la dépendance des variables S et t dans les problèmes de mouvement), la température de l'objet chauffé (eau, poêle, thermomètre, etc.), une ligne continue (c'est-à-dire que l'on peut tracer sans l'arracher de la feuille crayon).
Continuous est un graphique qui n'est passe brise à un moment donné. L'un des exemples les plus clairs d'un tel graphique est une sinusoïde, que vous pouvez voir dans l'image de cette section. La fonction est continue à un certain point x0 si un certain nombre de conditions sont remplies:
- une fonction est définie à ce stade;
- les limites droite et gauche au point sont égales;
- la limite est égale à la valeur de la fonction au point x0.
Si au moins une condition n'est pas remplie, ils disentque la fonction est interrompue. Et les points de rupture de la fonction sont généralement appelés points de rupture. Un exemple de fonction qui «cassera» lorsqu'elle sera affichée graphiquement est: y = (x + 4) / (x-3). De plus, y n'existe pas au point x = 3 (puisque vous ne pouvez pas diviser par zéro).
Dans la fonction que nous examinons (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)), tout s'est avéré simple, puisque le graphique sera continu.
Même bizarre
Examinez maintenant la fonction de parité. Tout d'abord, une petite théorie. Une fonction paire est cette fonction qui satisfait la condition f (-x) = f (x) pour toute valeur de la variable x (de la plage de valeurs). Les exemples comprennent:
- module x (le graphe ressemble à un daw, la bissectrice des premier et deuxième quarts du graphe);
- x au carré (parabole);
- cosinus x (cosinus).
Notez que tous ces graphiques sont symétriques lorsqu'ils sont vus par rapport à l'axe des ordonnées (c'est-à-dire y).
Qu'appelle-t-on alors une fonction impaire? Ce sont ces fonctions qui satisfont la condition: f (-x) = - f (x) pour toute valeur de la variable x. Exemples:
- hyperbole;
- parabole cubique;
- sinusoïde;
- tangentoid et ainsi de suite.
Veuillez noter que ces fonctions ontsymétrie autour du point (0: 0), c'est-à-dire l'origine. D'après ce qui a été dit dans cette section de l'article, une fonction paire et une fonction impaire doivent avoir la propriété: x appartient à l'ensemble des définitions et –x aussi.
Examinons la fonction de parité. Nous pouvons voir qu'il ne correspond à aucune des descriptions. Par conséquent, notre fonction n'est ni paire ni impaire.
Asymptotes
Commençons par la définition. Une asymptote est une courbe qui est aussi proche que possible du graphique, c'est-à-dire que la distance d'un point tend vers zéro. Au total, il existe trois types d'asymptotes:
- vertical, c'est-à-dire parallèle à l'axe y;
- horizontal, c'est-à-dire parallèle à l'axe x;
- incliné.
Comme pour le premier type, les lignes droites de données doivent être recherchées en certains points:
- écart;
- extrémités du domaine de définition.
Dans notre cas, la fonction est continue et le domaine est égal à R. Par conséquent, il n'y a pas d'asymptotes verticales.
Le graphe de fonction a une asymptote horizontale,qui répond à l'exigence suivante: si x tend vers l'infini ou moins l'infini, et la limite est égale à un certain nombre (par exemple, a). Dans ce cas, y = a - c'est l'asymptote horizontale. Il n'y a pas d'asymptotes horizontales dans la fonction que nous étudions.
L'asymptote oblique n'existe que si deux conditions sont remplies:
- lim (f (x)) / x = k;
- lim f (x) -kx = b.
Ensuite, il peut être trouvé par la formule: y = kx + b. Encore une fois, dans notre cas, il n'y a pas d'asymptotes obliques.
Zéros de fonction
La prochaine étape consiste à enquêtergraphe de fonction en zéros. Il est également très important de noter que la tâche associée à la recherche des zéros d'une fonction se produit non seulement dans l'étude et le tracé d'un graphe de fonction, mais également en tant que tâche indépendante et comme moyen de résoudre les inégalités. Vous devrez peut-être trouver les zéros d'une fonction sur un graphique ou utiliser la notation mathématique.
Trouver ces valeurs vous aidera davantagereprésenter graphiquement la fonction avec précision. En termes simples, le zéro d'une fonction est la valeur de la variable x, à laquelle y = 0. Si vous recherchez les zéros d'une fonction sur un graphique, vous devez faire attention aux points où le graphique coupe l'axe des abscisses.
Pour trouver les zéros d'une fonction, vous devez résoudre l'équation suivante: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Après avoir effectué les calculs nécessaires, nous obtenons la réponse suivante:
- x = 1;
- 4;
- 9.
Il est recommandé de marquer immédiatement les points trouvés sur la carte.
Constance
La prochaine étape de recherche et de construction d'une fonction(graphiques) trouve des intervalles de constance. Cela signifie que nous devons déterminer à quels intervalles la fonction prend une valeur positive et à laquelle - négative. Les zéros de fonction trouvés dans la section précédente nous aideront à le faire. Nous devons donc construire une ligne droite (séparément du graphique) et répartir les zéros de la fonction du plus petit au plus grand dessus dans le bon ordre. Vous devez maintenant déterminer lequel des intervalles résultants a un signe "+" et lequel "-".
Dans notre cas, la fonction prend une valeur positive dans les intervalles:
- de 1 à 4;
- de 9 à l'infini.
Sens négatif:
- de moins l'infini à 1;
- 4 à 9.
C'est facile à définir. Branchez n'importe quel nombre de l'intervalle dans la fonction et voyez quel signe la réponse est (moins ou plus).
Fonctions croissantes et décroissantes
Afin d'étudier et de construire une fonction, nous devons savoir où le graphique va augmenter (remonter le long de la ligne de coordonnées Oy) et où il tombera (ramper le long de l'ordonnée).
La fonction n'augmente que siune valeur plus grande de la variable x correspond à une valeur plus grande de y. Autrement dit, x2 est supérieur à x1 et f (x2) est supérieur à f (x1). Et nous observons un phénomène complètement opposé dans une fonction décroissante (plus x, moins y). Pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution, vous devez trouver les éléments suivants:
- portée (nous l'avons déjà);
- dérivée (dans notre cas: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
- Résolvez l'équation 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.
Après calculs, nous obtenons le résultat:
- 7/3;
- 7.
On obtient: la fonction augmente dans les intervalles de moins l'infini à 7/3 et de 7 à l'infini, et diminue dans l'intervalle de 7/3 à 7.
Extrêmes
La fonction étudiée y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)est continue et existe pour toutes les valeurs de la variable x. Le point extremum indique le maximum et le minimum de cette fonction. Dans notre cas, il n'y en a pas, ce qui simplifie grandement la tâche de construction. Sinon, les points extremum sont également trouvés en utilisant la dérivée de la fonction. Après avoir trouvé, n'oubliez pas de les marquer sur le graphique.
Convexité et concavité
Nous continuons à étudier la fonction y (x) plus en détail.Maintenant, nous devons le vérifier pour la convexité et la concavité. Les définitions de ces concepts sont assez difficiles à percevoir, il vaut mieux tout analyser avec des exemples. Pour le test: une fonction est convexe si c'est une intégrale indéfinie d'une fonction non décroissante. D'accord, c'est incompréhensible!
Nous devons trouver la dérivée de la fonction de la secondecommande. On obtient: y = 1/3 (6x-28). Maintenant, mettons le côté droit à zéro et résolvons l'équation. Réponse: x = 14/3. Nous avons trouvé le point d'inflexion, c'est-à-dire l'endroit où le graphe passe de la convexité à la concavité, ou vice versa. Dans l'intervalle de moins l'infini à 14/3, la fonction est convexe et de 14/3 à plus l'infini, elle est concave. Il est également très important de noter que le point d'inflexion sur le graphique doit être lisse et doux, aucun coin pointu ne doit être présent.
Définition de points supplémentaires
Notre tâche est de rechercher et de tracerles fonctions. Nous avons terminé la recherche, il ne sera pas difficile de tracer la fonction maintenant. Pour une reproduction plus précise et détaillée d'une courbe ou d'une ligne droite sur le plan de coordonnées, vous pouvez trouver plusieurs points auxiliaires. Il est assez facile de les calculer. Par exemple, nous prenons x = 3, résolvons l'équation résultante et trouvons y = 4. Ou x = 5 et y = -5 et ainsi de suite. Vous pouvez prendre autant de points supplémentaires que nécessaire pour construire. Au moins 3-5 sont trouvés.
Traçage
Nous devions étudier la fonction(x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Toutes les notes nécessaires lors des calculs ont été faites sur le plan de coordonnées. Il ne reste plus qu'à construire un graphe, c'est-à-dire relier tous les points les uns aux autres. Relier les points doit être fluide et soigné, c'est une question de compétence - un peu de pratique et votre emploi du temps sera parfait.
