Un quadrilatère à angles droits est ... La somme des angles d'un quadrilatère

L'un des sujets de géométrie les plus intéressants dele cours scolaire est «Quadrangles» (8e année). Quels types de ces figures existent, quelles propriétés spéciales ont-elles? Qu'est-ce qui est unique dans les quadrangles à quatre-vingt-dix degrés? Jetons un coup d'œil à tout cela.

Quelle forme géométrique s'appelle un quadrilatère

Les polygones, qui se composent de quatre côtés et, par conséquent, de quatre sommets (coins), sont appelés quadrangles en géométrie euclidienne.

L'histoire du nom de ce type de personnages est intéressante.En russe, le nom «quadrangle» est formé à partir de l'expression «quatre coins» (tout comme «triangle» - trois angles, «pentagone» - cinq angles, etc.).

Cependant, en latin (par lequelest venu de nombreux termes géométriques dans la plupart des langues du monde) il est appelé quadrilatère. Ce mot est formé du chiffre quadri (quatre) et du nom latus (côté). Nous pouvons donc en conclure que les anciens appelaient ce polygone simplement "à quatre côtés".

À propos, ce nom (avec un accent sur la présence dedes figures de ce genre à quatre côtés et non à des coins) a survécu dans certaines langues modernes. Par exemple, en anglais c'est quadrilatère et en français c'est quadrilatère.

De plus, dans la plupart des langues slavesle type de figures en question est toujours identifié par le nombre de coins et non de côtés. Par exemple, en slovaque (štvoruholník), en bulgare («chetyr'g'lnik»), en biélorusse («chatyrohkutnik»), en ukrainien («chotirikutnik»), en tchèque (čtyřúhelník), mais en polonais, le quadrilatère est appelé par le nombre de côtés - cz.

Quels types de quadrangles sont étudiés dans le programme scolaire

Dans la géométrie moderne, il existe 4 types de polygones à quatre côtés.

Cependant, en raison des propriétés trop complexes de certains d'entre eux, dans les cours de géométrie, les écoliers ne sont présentés qu'à deux types.

• Parallélogramme Les côtés opposés d'un tel quadrilatère sont parallèles par paires les uns aux autres et, par conséquent, sont également égaux par paires.
• Trapèze (trapèze ou trapèze). Ce quadrilatère se compose de deux côtés opposés, parallèles l'un à l'autre. Cependant, l'autre paire de côtés n'a pas cette fonctionnalité.

Types de quadrangles non étudiés dans le cours de géométrie scolaire

En plus de ce qui précède, il existe deux autres types de quadrangles auxquels les écoliers ne sont pas introduits dans les cours de géométrie, en raison de leur complexité particulière.

• Deltoïde (cerf-volant) - une figure dans laquelle chacune des deux paires deles côtés sont égaux en longueur. Un tel quadrilatère tire son nom du fait qu'en apparence, il ressemble assez fortement à la lettre de l'alphabet grec - "delta".
• Antiparallélogramme - ce chiffre est aussi complexe que son nom.Dans celui-ci, deux côtés opposés sont égaux, mais en même temps ils ne sont pas parallèles l'un à l'autre. De plus, les longs côtés opposés de ce quadrilatère se croisent, tout comme les prolongements des deux autres côtés plus courts.

Types de parallélogramme

Après avoir traité les principaux types de quadrangles, vous devez faire attention à sa sous-espèce. Ainsi, tous les parallélogrammes, à leur tour, sont également divisés en quatre groupes.

• Parallélogramme classique.
• Rhombus (losange) - une figure quadrangulaire à côtés égaux. Ses diagonales se croisent à angle droit, divisant le losange en quatre triangles rectangles égaux.
• Rectangle Le nom parle de lui-même. Puisqu'il s'agit d'un rectangle à angles droits (chacun d'eux est égal à quatre-vingt-dix degrés). Ses côtés opposés ne sont pas seulement parallèles les uns aux autres, mais également égaux.
• Carré Comme un rectangle, c'est un quadrilatère avecangles droits, mais tous les côtés sont égaux les uns aux autres. Cela rend cette figure proche d'un losange. On peut donc soutenir qu'un carré est un croisement entre un losange et un rectangle.

Propriétés spéciales d'un rectangle

Compte tenu des formes dans lesquelles chacun des coinsentre les côtés, égale à quatre-vingt-dix degrés, il vaut la peine de s'attarder de plus près sur le rectangle. Alors, quelles sont les particularités qui le distinguent des autres parallélogrammes?

Pour affirmer que le considéréun parallélogramme est un rectangle, ses diagonales doivent être égales l'une à l'autre et chacun des coins doit être droit. De plus, le carré de ses diagonales doit correspondre à la somme des carrés des deux côtés adjacents de cette figure. En d'autres termes, un rectangle classique se compose de deux triangles rectangles et, comme vous le savez, la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse. La diagonale du quadrilatère considéré fait office d'hypoténuse.

Le dernier des signes énumérés de cette figureest aussi sa propriété particulière. En plus de cela, il y en a d'autres. Par exemple, le fait que tous les côtés du quadrilatère étudié à angles droits soient en même temps ses hauteurs.

De plus, si vous dessinez un cercle autour d'un rectangle, son diamètre sera égal à la diagonale de la figure inscrite.

Entre autres propriétés de ce quadrilatère, alors,qu'il est plat et n'existe pas en géométrie non euclidienne. Cela est dû au fait que dans un tel système, il n'y a pas de figures quadrangulaires dont la somme des angles est égale à trois cent soixante degrés.

Square et ses caractéristiques

Après avoir traité des signes et des propriétés d'un rectangle, il convient de prêter attention au deuxième quadrilatère à angles droits connu de la science (il s'agit d'un carré).

Étant en fait le même rectangle, mais avec des côtés égaux, cette figure a toutes ses propriétés. Mais contrairement à lui, le carré est présent en géométrie non euclidienne.

De plus, ce chiffre a d'autrespropres traits distinctifs. Par exemple, le fait que les diagonales d'un carré ne sont pas seulement égales entre elles, mais se croisent également à angle droit. Ainsi, comme un losange, un carré se compose de quatre triangles rectangles, dans lesquels il est divisé par les diagonales.

De plus, ce chiffre est le plus symétrique de tous les quadrangles.

Quelle est la somme des angles d'un quadrilatère

Compte tenu des caractéristiques des quadrangles de la géométrie euclidienne, il convient de prêter attention à leurs angles.

Ainsi, dans chacun des chiffres ci-dessus,indépendamment du fait qu'il ait des angles droits ou non, leur somme totale est toujours la même - trois cent soixante degrés. C'est une caractéristique unique de ce type de figurine.

Périmètre des quadrangles

Après avoir traité de ce à quoi la somme des angles est égalequadrilatère et autres propriétés spéciales des figures de ce type, il convient de savoir quelles formules sont les meilleures à utiliser pour calculer leur périmètre et leur surface.

Pour déterminer le périmètre de n'importe quel quadrilatère, il vous suffit d'ajouter la longueur de tous ses côtés ensemble.

Par exemple, dans une forme KLMN, son périmètre peut être calculé à l'aide de la formule: P = KL + LM + MN + KN. Si vous substituez des nombres ici, vous obtenez: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Dans le cas où la figure en question est un losangeou un carré, pour trouver le périmètre, vous pouvez simplifier la formule en multipliant simplement la longueur d'un de ses côtés par quatre: P = KL x 4. Par exemple: 6 x 4 = 24 (cm).

Formules de quadrangle d'aire

Après avoir compris comment trouver le périmètre de n'importe quelle forme à quatre coins et côtés, il convient de considérer les moyens les plus populaires et les plus simples de trouver sa zone.

• La façon classique de le calculer estutilisez la formule S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Il s'avère que l'aire d'un quadrilatère est égale à la moitié du produit de ses diagonales par le sinus de l'angle entre elles.
• Si la figure dont la zone doit être trouvée estrectangle ou carré (dont les diagonales sont toujours égales les unes aux autres), vous pouvez simplifier la formule en quadrillant la longueur d'une diagonale et en la multipliant par le sinus de l'angle entre elles et en divisant le tout en deux. Par exemple: S = 1/2 KM ² x SIN LON.
• De plus, lors de la recherche de l'aire d'un rectangle,aider des informations sur le périmètre de la figure en question et la longueur de l'un de ses côtés. Dans ce cas, il serait plus opportun d'utiliser la formule S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• Dans le cas d'un carré, ses propriétés vous permettent d'utiliser plusieurs formules supplémentaires pour trouver une surface. Par exemple, connaissant le périmètre de la figure, vous pouvez utiliser cette option: S = P ²/ 16. Et si le rayon du cercle inscrit dans le quadrilatère est connu, l'aire du carré se trouve de manière très similaire: S = 4r²... Si le rayon du cercle circonscrit est connu, alors une autre formule fera l'affaire: S = 2R²... En outre, l'aire du carré est 0,8 fois la longueur de la ligne tracée du coin de la figure au milieu du côté opposé.
• En plus de tout ce qui précède, il y a aussiune formule distincte pour trouver l'aire, calculée spécifiquement pour un parallélogramme. Il peut être appliqué si vous connaissez la longueur des deux hauteurs de la forme et la taille de l'angle entre elles. Ensuite, les hauteurs doivent être multipliées entre elles et le sinus de l'angle entre elles. Il est à noter que vous pouvez utiliser cette formule pour toutes les formes appartenant à des parallélogrammes (c'est-à-dire à un rectangle, un losange et un carré).

Autres propriétés des quadrangles: cercles inscrits et circonscrits

Après avoir considéré les caractéristiques et les propriétés d'un quadrilatère comme une figure de la géométrie euclidienne, il convient de prêter attention à la capacité de décrire autour ou d'inscrire des cercles à l'intérieur:

• Si les sommes des angles opposés de la figure sont de cent quatre-vingts degrés chacune et sont égales par paires, alors un cercle peut être librement décrit autour d'un tel quadrilatère.
• Selon le théorème de Ptolémée, si à l'extérieurd'un polygone à quatre côtés, un cercle est décrit, puis le produit de ses diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés de cette figure. Ainsi, la formule ressemblera à ceci: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Si vous construisez un quadrilatère dans lequel les sommes des côtés opposés sont égales les unes aux autres, un cercle peut y être inscrit.

Ayant compris ce qu'est un quadrilatère,quels types existent, lesquels d'entre eux n'ont que des angles droits entre les côtés et quelles propriétés ils ont, il convient de rappeler tout ce matériel. En particulier, la formule pour trouver le périmètre et l'aire des polygones considérés. Après tout, les figures de cette forme sont parmi les plus courantes, et cette connaissance peut être utile pour les calculs dans la vie réelle.