Ehdotamme tänään tutkia kanssamme japiirtofunktio. Tutkittuaan tämän artikkelin huolellisesti, sinun ei tarvitse hikoilla pitkään tällaisen työn suorittamiseksi. Toiminnon tutkiminen ja piirtäminen ei ole helppoa, mittava työ, joka vaatii maksimaalista huomiota ja tarkkuutta. Aineiston havaitsemisen helpottamiseksi tutkimme vähitellen samaa toimintoa, selitämme kaikki toiminnot ja laskelmat. Tervetuloa matematiikan uskomattomaan ja kiehtovaan maailmaan! Mennä!
verkkotunnuksen
Tutkimiseksi ja piirtämiseksi, sinun on tiedettävä muutama määritelmä. Toiminto on yksi matematiikan peruskäsitteistä. Se heijastaa useiden muuttujien (kaksi, kolme tai enemmän) välistä suhdetta muutosten aikana. Toiminto näyttää myös sarjojen riippuvuuden.
Kuvittele, että meillä on kaksi muuttujaa,joilla on tietty vaihteluväli. Joten y on x: n funktio edellyttäen, että toisen muuttujan jokainen arvo vastaa toisen arvoa. Lisäksi muuttuja y on riippuvainen, ja sitä kutsutaan funktiona. On tapana sanoa, että muuttujat x ja y ovat toiminnallisessa suhteessa. Selvyyden lisäämiseksi tämä riippuvuus on piirretty funktiona. Mikä on funktion kuvaaja? Tämä on joukko pisteitä koordinaattitasolla, jossa jokainen x: n arvo vastaa yhtä y: n arvoa. Kaaviot voivat olla erilaisia - suora viiva, hyperbooli, parabooli, sinusoidi ja niin edelleen.
Funktion kuvaajaa ei voida rakentaa ilmanResearch. Tänään opimme suorittamaan tutkimusta ja piirtämään funktion. On erittäin tärkeää tehdä muistiinpanoja koordinaattitasolle tutkimuksen aikana. Joten selviytyä tehtävästä on paljon helpompaa. Kätevin tutkimussuunnitelma:
- Verkkotunnuksen.
- Jatkuvuus.
- Pariteetti tai omituisuus.
- Aikavälein.
- Asymptoottia.
- Nollia.
- Pysyvä merkki.
- Nouseva ja laskeva.
- Ääripäitä.
- Törmäys ja koveruus.
Aloitetaan ensimmäisestä kappaleesta.Löydämme määritelmäalueen, toisin sanoen millä aikaväleillä funktiomme esiintyy: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Tapauksessamme funktio on olemassa kaikille x: n arvoille, ts. Määritelmäalue on R. Se voidaan kirjoittaa seuraavasti x Î R.
Jatkuvuus
Nyt tutkimme toimintaakuilu. Matematiikassa termi "jatkuvuus" ilmestyi liikelakien tutkimuksen seurauksena. Mikä on ääretön? Tila, aika, jotkut riippuvuudet (esimerkki on muuttujien S ja t riippuvuus liikeongelmissa), lämmitetyn esineen (vesi, paistinpannu, lämpömittari ja niin edelleen) lämpötila, jatkuva viiva (ts. Sellainen, joka voidaan piirtää poistamatta sitä arkista) lyijykynä).
Jatkuva on kuvaaja, joka ei oletaukoja jossain vaiheessa. Yksi selkeimmistä esimerkeistä tällaisesta kuvaajasta on sinimuoto, jonka voit nähdä tämän osan kuvassa. Toiminto on jatkuva jossain vaiheessa x0, jos joukko ehtoja täyttyy:
- tässä vaiheessa funktio määritetään;
- oikean ja vasemman rajat pisteessä ovat yhtä suuret;
- raja on yhtä suuri kuin funktion arvo x0: lla.
Jos ainakin yksi ehdoista ei täyty, he sanovatettä toiminto rikkoutuu. Ja pisteitä, joissa funktio katkeaa, kutsutaan yleisesti taukopisteiksi. Esimerkki toiminnasta, joka “rikkoutuu” graafisessa näytössä, on: y = (x + 4) / (x-3). Lisäksi y: tä ei ole kohdassa x = 3 (koska on mahdotonta jakaa nollalla).
Tarkastelemassa funktiossa (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) kaikki osoittautui yksinkertaiseksi, koska kuvaaja on jatkuva.
Parillinen, pariton
Nyt tutkitaan pariteetin funktiota.Ensinnäkin pieni teoria. Jopa kutsutaan funktiota, joka täyttää ehdon f (-x) = f (x) muuttujan x mille tahansa arvolle (arvoalueelta). Esimerkkejä ovat:
- moduuli x (kuvaaja näyttää daw: lta, graafin ensimmäisen ja toisen neljänneksen puolittaja);
- x neliö (parabola);
- kosini x (kosini).
Huomaa, että kaikki nämä kuvaajat ovat symmetrisiä katsottuna suhteessa ordinaattiakseliin (ts. Y).
Mitä sitten kutsutaan parittomaksi funktioksi? Nämä ovat funktioita, jotka täyttävät ehdon: f (-x) = - f (x) muuttujan x mille tahansa arvolle. esimerkkejä:
- hyperbeli;
- kuutioparabooli;
- sinusoidi;
- tangentoidi ja niin edelleen.
Huomaa, että näillä toiminnoilla onsymmetria pisteen (0: 0) kohdalla, ts. alkuperä. Artikkelin tässä osassa sanotun perusteella parillisella ja parittomalla funktiolla on oltava ominaisuus: x kuuluu määritelmäjoukkoon ja –x myös.
Tarkastellaan pariteetin funktiota. Voimme nähdä, että se ei sovi mihinkään kuvaukseen. Siksi toimintamme ei ole parillinen eikä pariton.
asymptoottia
Aloitetaan määritelmällä. Asymptootti on käyrä, joka on mahdollisimman lähellä kuvaajaa, ts. Etäisyys pisteestä on yleensä nolla. Yhteensä asymptootteja on kolme tyyppiä:
- pystysuora, ts. yhdensuuntainen y-akselin kanssa;
- vaakasuora, ts. yhdensuuntainen x-akselin kanssa;
- kalteva.
Mitä tulee ensimmäiseen tyyppiin, datan suoria viivoja tulisi etsiä joissain kohdissa:
- kuilu;
- määritelmäalueen päät.
Meidän tapauksessamme funktio on jatkuva ja toimialue on yhtä suuri kuin R. Siksi. Pystyasympoteja ei ole.
Funktion kuvaajassa on vaakasuora asymptootti,joka täyttää seuraavan vaatimuksen: jos x on taipumus äärettömyyteen tai miinus äärettömyyteen ja raja on yhtä suuri kuin jokin luku (esimerkiksi a). Tässä tapauksessa y = a - tämä on vaakasuora oire. Tutkittavassa toiminnassa ei ole horisontaalisia asymptootteja.
Kalteva asymptootti esiintyy vain, jos kaksi ehtoa täyttyy:
- lim (f (x)) / x = k;
- lim f (x) -kx = b.
Sitten se voidaan löytää kaavalla: y = kx + b. Jälleen meidän tapauksessamme ei ole vinoja asymptootteja.
Toiminto nollia
Seuraava vaihe on tutkiafunktion kuvaaja nollaan. On myös erittäin tärkeää huomata, että funktion nolla löytämiseen liittyvä tehtävä tapahtuu paitsi funktion kuvaajan tutkimuksessa ja piirtämisessä, myös itsenäisenä tehtävänä ja keinona eriarvoisuuden ratkaisemiseksi. Sinua saatetaan joutua etsimään funktion nolla graafista tai käyttämään matemaattista merkintää.
Näiden arvojen löytäminen auttaa sinua enemmänkuvaa funktion oikein. Yksinkertaisesti sanottuna funktion nolla on muuttujan x arvo, jossa y = 0. Jos etsit funktion nollia kuvaajassa, sinun tulee kiinnittää huomiota pisteisiin, joissa kuvaaja ylittää abskissa-akselin.
Jotta funktio voi olla nolla, sinun on ratkaistava seuraava yhtälö: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Suoritettuaan tarvittavat laskelmat saamme seuraavan vastauksen:
- x = 1;
- 4;
- 9.
On suositeltavaa merkitä heti taulukosta löytyvät kohdat.
muuttumattomuus
Seuraava tutkimuksen ja toiminnon rakentamisen vaihe(grafiikka) etsii vakiovälejä. Tämä tarkoittaa, että meidän on määritettävä, millä aikaväleillä funktio saavuttaa positiivisen arvon ja millä välillä - negatiivisen. Edellisessä osassa olevat funktion nollat auttavat meitä tekemään tämän. Joten meidän on rakennettava suora viiva (erikseen kuvaajasta) ja jaettava funktion nollat pienimmästä suurimpaan sitä pitkin oikeassa järjestyksessä. Nyt sinun on määritettävä, millä tuloksena olevilla väleillä on "+" -merkki ja millä "-".
Meidän tapauksessamme funktio saa positiivisen arvon välein:
- välillä 1 - 4;
- yhdeksästä äärettömyyteen.
Negatiivinen merkitys:
- miinus äärettömyydestä yhteen;
- välillä 4 - 9.
Tämä on helppo määritellä. Kytke mikä tahansa numero aikavälistä funktioon ja katso mitä merkki vastaus on (miinus tai plus).
Toimintojen lisääminen ja vähentäminen
Jotta voimme tutkia ja rakentaa funktion, meidän on selvitettävä, missä kuvaaja nousee (nouse ylös koordinaattilinjaa Oy pitkin) ja missä se putoaa (indeksoi alas ordinaattia pitkin).
Toiminto kasvaa vain, josmuuttujan x suurempi arvo vastaa suurempaa arvoa y. Eli x2 on suurempi kuin x1 ja f (x2) on suurempi kuin f (x1). Ja havaitsemme aivan päinvastaista ilmiötä pienenevässä funktiossa (mitä enemmän x, sitä vähemmän y). Lisäys- ja pienennysvälien määrittämiseksi sinun on löydettävä seuraava:
- laajuus (meillä on jo se);
- johdannainen (meidän tapauksessamme: 1/3 (3x ^ 2 - 28x + 49);
- Ratkaise yhtälö 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.
Laskelmien jälkeen saamme tuloksen:
- 7/3;
- 7.
Saamme: toiminto kasvaa välein miinus äärettömyydestä 7/3: een ja 7: stä äärettömyyteen, ja laskee välillä 7: stä 7: ään.
Extremes
Tutkittu funktio y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)on jatkuva ja esiintyy muuttujan x kaikille arvoille. Äärimmäinen piste näyttää tämän toiminnon maksimin ja pienimmän. Meidän tapauksessamme niitä ei ole, mikä yksinkertaistaa huomattavasti rakennustehtävää. Muussa tapauksessa ääripisteet löytyvät myös käyttämällä funktion derivaattia. Kun olet löytänyt, älä unohda merkitä niitä kaavioon.
Koveruus ja koveruus
Jatkamme funktion y (x) tutkimista edelleen.Nyt meidän on tarkistettava sen kuperuus ja koveruus. Näiden käsitteiden määritelmiä on melko vaikea ymmärtää, on parempi analysoida kaikkea esimerkkien avulla. Testissä: funktio on kupera, jos se on ei-pienenevän funktion määrittelemätön integraali. Hyväksy, tämä on käsittämätöntä!
Meidän on löydettävä toisen funktion derivaattiTilaus. Saamme: y = 1/3 (6x-28). Nyt asetetaan oikea puoli nollaksi ja ratkaistaan yhtälö. Vastaus: x = 14/3. Löysimme taivutuspisteen eli paikan, jossa kaavio muuttuu kuperuudesta koveruuteen tai päinvastoin. Välillä miinus ääretön - 14/3, funktio on kupera, ja välillä 14/3 - plus ääretön, se on kovera. On myös erittäin tärkeää huomata, että kaavion taivutuspisteen tulee olla sileä ja pehmeä, eikä teräviä kulmia saa olla.
Lisäpisteiden määrittely
Tehtävämme on tutkia ja suunnitellatoimintoja. Tutkimus on saatu päätökseen, funktion piirtäminen ei ole vaikeaa. Käyrän tai suoran toistamiseksi tarkemmin ja yksityiskohtaisemmin koordinaattitasossa löydät useita apupisteitä. Niiden laskeminen on melko helppoa. Otetaan esimerkiksi x = 3, ratkaistaan saatu yhtälö ja löydetään y = 4. Tai x = 5 ja y = -5 ja niin edelleen. Voit ottaa niin monta lisäpistettä kuin tarvitset. Ainakin 3-5 löytyy.
salavehkeily
Meidän oli tutkittava toiminto(x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Kaikki tarvittavat muistiinpanot laskelmien aikana tehtiin koordinaattitasolle. Ainoa jäljellä on rakentaa kaavio, eli yhdistää kaikki pisteet toisiinsa. Pisteiden yhdistäminen on sujuvaa ja siistiä, se on taitoa - pieni harjoittelu ja aikataulusi on täydellinen.
