Al estudiar triángulos, surge involuntariamente la pregunta.sobre el cálculo de la relación entre sus lados y ángulos. En geometría, el teorema del coseno y del seno proporciona la respuesta más completa para resolver este problema. En una abundancia de diversas expresiones y fórmulas matemáticas, leyes, teoremas y reglas, existen aquellos que se distinguen por una extraordinaria armonía, concisión y simplicidad en la presentación del significado contenido en ellos. El teorema del seno es un excelente ejemplo de esta formulación matemática. Si en la interpretación verbal también hay un cierto obstáculo en la comprensión de esta regla matemática, entonces al mirar una fórmula matemática todo encaja inmediatamente.
La primera información sobre este teorema se encontró en forma de prueba del mismo en el marco del trabajo matemático de Nasir al-Din At-Tusi, fechado en el siglo XIII.
Acercándonos a considerar la relaciónlados y ángulos en cualquier triángulo, vale la pena señalar que el teorema de los senos le permite resolver muchos problemas matemáticos, mientras que esta ley de geometría encuentra aplicación en varios tipos de práctica humana.
El teorema del seno en sí dice que para cualquierun triángulo se caracteriza por la proporcionalidad de los lados a los senos de ángulos opuestos. También está la segunda parte de este teorema, según la cual la razón de cualquier lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de un círculo circunscrito al triángulo en cuestión.
En forma de fórmula, esta expresión se parece a
a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R
El teorema de los senos tiene una demostración, que en varias versiones de los libros de texto se ofrece en una rica variedad de versiones.
Como ejemplo, considere una de las demostraciones que explican la primera parte del teorema. Para ello, nos fijamos el objetivo de demostrar la exactitud de la expresión un sinC = con pecadoA.
En un triángulo arbitrario ABC, construye la alturaBH. En una de las opciones de construcción, H se ubicará en el segmento AC, y en el otro fuera de él, dependiendo de la magnitud de los ángulos en los vértices de los triángulos. En el primer caso, la altura se puede expresar en términos de los ángulos y lados del triángulo, como BH = a sinC y BH = c sinA, que es la prueba requerida.
En el caso de que el punto H esté fuera del segmento AC, podemos obtener las siguientes soluciones:
VN = a sinC y VN = c sin (180-A) = c sinA;
o VN = a sin (180-C) = a sinC y VN = c sinA.
Como puede ver, independientemente de las opciones de construcción, llegamos al resultado deseado.
La demostración de la segunda parte del teorema requierenosotros para describir un círculo alrededor del triángulo. A través de una de las alturas del triángulo, por ejemplo B, construya el diámetro del círculo. Conectamos el punto obtenido en el círculo D con uno de la altura del triángulo, sea el punto A del triángulo.
Si consideramos los triángulos resultantes ABD yABC, entonces puedes ver la igualdad de los ángulos C y D (descansan en el mismo arco). Y dado que el ángulo A es igual a noventa grados, entonces sen D = c / 2R, o sen C = c / 2R, que se requería para demostrar.
El teorema del seno es el punto de partida pararesolviendo una amplia gama de tareas diferentes. Su especial atractivo radica en su aplicación práctica, como consecuencia del teorema, tenemos la oportunidad de relacionar los valores de los lados del triángulo, los ángulos opuestos y el radio (diámetro) del círculo circunscrito alrededor del triángulo. La simplicidad y accesibilidad de la fórmula que describe esta expresión matemática hizo posible utilizar ampliamente este teorema para resolver problemas utilizando diversos dispositivos mecánicos de cálculo (regla de cálculo, tablas, etc.), pero incluso la llegada de potentes dispositivos informáticos al servicio de una persona no redujo la relevancia de este teorema.
Este teorema no solo está incluido en el curso obligatorio de geometría de la escuela secundaria, sino que también se aplica en algunas ramas de la práctica.
