Fragen aus der Studietrigonometrische Funktionen werden variiert. Einige von ihnen handeln davon, in welchen Vierteln der Kosinus positiv und negativ ist, in welchen Vierteln der Sinus positiv und negativ ist. Alles stellt sich als einfach heraus, wenn Sie wissen, wie man den Wert dieser Funktionen unter verschiedenen Winkeln berechnet und mit dem Prinzip des Zeichnens von Funktionen in einem Diagramm vertraut ist.
Was sind die Werte des Kosinus
Wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck betrachten, haben wir das folgende Seitenverhältnis, das es bestimmt: den Kosinus des Winkels a ist das Verhältnis des benachbarten Beins BC zur Hypotenuse AB (Fig. 1): cos a = BC / AB.
Mit dem gleichen Dreieck können Sie den Sinus findenWinkel, Tangens und Kotangens. Der Sinus ist das Verhältnis des Gegenteils zum Winkel des Beines AC zur Hypotenuse AB. Die Tangente eines Winkels wird gefunden, wenn der Sinus des gewünschten Winkels durch den Cosinus des gleichen Winkels geteilt wird; Wenn wir die entsprechenden Formeln zum Ermitteln von Sinus und Cosinus einsetzen, erhalten wir tg a = AC / BC. Der Kotangens wird als Funktion umgekehrt zur Tangente wie folgt gefunden: ctg a = BC / AC.
Das heißt, für die gleichen Winkelwertefanden heraus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Seitenverhältnis immer das gleiche ist. Es scheint klar geworden zu sein, woher diese Werte stammen, aber warum werden negative Zahlen erhalten?
Dazu müssen Sie das Dreieck im kartesischen Koordinatensystem berücksichtigen, in dem sowohl positive als auch negative Werte vorhanden sind.
Klar über die Viertel, wo ist was
Erstes Viertel
Wenn Sie im ersten Quartal ein rechtwinkliges Dreieck platzieren (von 0o bis zu 90o), wobei die x-Achse und die y-Achse positive Werte haben(Die Segmente AO und BO liegen auf den Achsen, auf denen die Werte ein "+" - Vorzeichen haben.) Dann haben sowohl der Sinus als auch der Cosinus ebenfalls positive Werte, und ihnen wird ein Wert mit einem Pluszeichen zugewiesen. Aber was passiert, wenn Sie das Dreieck in das zweite Quartal verschieben (von 90)?o bis zu 180o)?
Zweites Viertel
Wir sehen, dass die AO-Beine entlang der y-Achse einen negativen Wert haben. Kosinus eines Winkels a hat jetzt diese Seite in Bezug auf das Minus,daher wird sein Endwert negativ. Es stellt sich heraus, dass in welchem Viertel der Kosinus positiv ist, von der Position des Dreiecks im kartesischen Koordinatensystem abhängt. In diesem Fall wird der Kosinus des Winkels negativ. Für den Sinus hat sich jedoch nichts geändert, da zur Bestimmung seines Vorzeichens die OB-Seite benötigt wird, die in diesem Fall mit einem Pluszeichen belassen wurde. Fassen wir die ersten beiden Quartale zusammen.
Um herauszufinden, in welchen Vierteln der Kosinus istpositiv und bei welchen negativen (sowie Sinus- und anderen trigonometrischen Funktionen) muss geprüft werden, welches Vorzeichen dem einen oder anderen Bein zugeordnet ist. Für den Kosinus eines Winkels a Das AO-Bein ist wichtig für den Sinus-OB.
Das erste Quartal ist bislang das einzige, das die Frage beantwortet: "In welchen Quartalen sind Sinus und Cosinus gleichzeitig positiv?" Mal sehen, ob es noch Zufälle im Vorzeichen dieser beiden Funktionen gibt.
Im zweiten Quartal begann das AO-Bein einen negativen Wert zu haben, was bedeutet, dass der Kosinus ebenfalls negativ wurde. Für Sinus wird ein positiver Wert gespeichert.
Drittes Quartal
Jetzt sind beide Beine AO und OB negativ geworden. Erinnern wir uns an die Beziehungen für Cosinus und Sinus:
Cos a = AO / AB;
Sin a = VO / AB.
AB hat immer ein positives Vorzeichen in einer gegebenenKoordinatensystem, da es nicht auf eine der beiden durch die Achsen definierten Seiten gerichtet ist. Die Beine wurden jedoch negativ, was bedeutet, dass das Ergebnis für beide Funktionen ebenfalls negativ ist. Wenn Sie Multiplikations- oder Divisionsoperationen mit Zahlen ausführen, von denen eine und nur eine ein Minuszeichen hat, wird das Ergebnis auch mit diesem Vorzeichen angezeigt.
Das Ergebnis in dieser Phase:
1) In welchem Quartal ist der Kosinus positiv? Im ersten von drei.
2) In welchem Quartal ist der Sinus positiv? Im ersten und zweiten der drei.
Viertes Quartal (von 270o bis zu 360o)
Hier erhält das Bein AO wieder das Pluszeichen und damit auch den Kosinus.
Für den Sinus sind die Fälle immer noch "negativ", da das OB-Bein unter dem Startpunkt O blieb.
Schlussfolgerungen
Um zu verstehen, in welchen QuartalenKosinus ist positiv, negativ usw. Sie müssen sich das Verhältnis für die Berechnung des Kosinus merken: das Bein neben der Ecke, geteilt durch die Hypotenuse. Einige Lehrer schlagen vor, sich daran zu erinnern: k (Osinus) = (k) Winkel. Wenn Sie sich an diesen "Betrug" erinnern, verstehen Sie automatisch, dass der Sinus das Verhältnis des Gegenteils zum Beinwinkel zur Hypotenuse ist.
Denken Sie daran, in welchen Vierteln sich der Kosinus befindetpositiv und in welchem negativen ist es ziemlich schwierig. Es gibt viele trigonometrische Funktionen, und alle haben ihre eigene Bedeutung. Aber dennoch als Ergebnis: Positive Werte für den Sinus sind 1, 2 Viertel (von 0o bis zu 180o); für Kosinus 1 4 Viertel (von 0o bis zu 90o und von 270o bis zu 360o). In den verbleibenden Quartalen haben Funktionen Werte mit einem Minus.
Vielleicht fällt es jemandem leichter, sich zu erinnern, wo sich welches Zeichen befindet, je nach Funktionsbild.
Für Sinus ist ersichtlich, dass von Null bis 180o das Wappen befindet sich über der Linie sin (x),daher ist die Funktion auch hier positiv. Für den Cosinus ist es dasselbe: In welchem Viertel ist der Cosinus positiv (Foto 7) und in welchem Viertel wird er durch die Bewegung der Linie über und unter der cos (x) -Achse gesehen. Infolgedessen können wir uns zwei Möglichkeiten merken, um das Vorzeichen der Sinus- und Cosinusfunktionen zu bestimmen:
ein.Entlang eines imaginären Kreises mit einem Radius von eins (obwohl es in der Tat keine Rolle spielt, welchen Radius der Kreis hat, wird dieses Beispiel in Lehrbüchern am häufigsten angegeben; dies erleichtert das Verständnis, aber gleichzeitig, wenn Sie machen keine Reservierung, dass dies nicht das Wesentliche ist, Kinder können verwirrt werden).
2. Durch das Bild der Abhängigkeit der Funktion von (x) vom Argument x selbst, wie in der letzten Abbildung.
Mit der ersten Methode können Sie verstehen, worauses ist das Zeichen, das davon abhängt, und wir haben dies oben ausführlich erklärt. Abbildung 7, die anhand dieser Daten erstellt wurde, visualisiert die erhaltene Funktion und ihr Vorzeichen auf die bestmögliche Weise.
