Pravděpodobný problém s řešením. Teorie pravděpodobnosti pro figuríny

Matematický kurz hodně připravuje studentypřekvapení, jedním z nich je úkol teorie pravděpodobnosti. S řešením takových úkolů mají studenti problém téměř ve sto procentech případů. K pochopení a pochopení tohoto problému potřebujete znát základní pravidla, axiomy, definice. Abyste porozuměli textu v knize, musíte znát všechny zkratky. To vše se učíme.

Věda a její aplikace

Protože nabízíme zrychlený kurz "teorie"pravděpodobnosti pro figuríny, pak musíte nejprve představit základní pojmy a zkratky písmen. Nejprve určíme samotný koncept „teorie pravděpodobnosti“. Co je to za vědu a proč je to nutné? Teorie pravděpodobnosti je jednou z odvětví matematiky, která studuje náhodné jevy a veličiny. Zohledňuje také zákony, vlastnosti a operace prováděné s těmito náhodnými proměnnými. K čemu to je? Věda se rozšířila ve studiu přírodních jevů. Žádné přirozené a fyzické procesy se neobejdou bez přítomnosti náhody. I když během experimentu byly výsledky zaznamenány co nejpřesněji, při opakování stejného testu není s největší pravděpodobností výsledek stejný.

Příklady pravděpodobnostních problémůnezapomeňte zvážit, vy sami můžete vidět sami. Výsledek závisí na mnoha různých faktorech, které je téměř nemožné vzít v úvahu nebo zaregistrovat, ale přesto mají obrovský dopad na výsledek zkušenosti. Živé příklady jsou úkoly stanovení trajektorie planetárního pohybu nebo stanovení předpovědi počasí, pravděpodobnost setkání se známou osobou na cestě do práce a určení výšky skoku sportovce. Teorie pravděpodobnosti také velmi pomáhá makléřům na burzách. Úloha teorie pravděpodobnosti, s jejímž řešením se dříve objevilo mnoho problémů, se po třech nebo čtyřech níže uvedených příkladech stane pouhým maličkostem.

Události

Jak již bylo zmíněno dříve, vědecké studie událostí.Teorie pravděpodobnosti, příklady řešení problémů, budeme uvažovat o něco později, je studován pouze jeden typ - náhodné. Je však třeba vědět, že události mohou být tří typů:

• Nemožné.
• Spolehlivý.
• Náhodný.

Navrhujeme o každém z nich trochu diskutovat.Za žádných okolností se nikdy nestane nemožná událost. Mezi příklady patří: zmrazení vody při kladných teplotách, vytažení kostky z vaku s míčky.

Spolehlivá událost se vždy stanestoprocentní záruka, pokud jsou splněny všechny podmínky. Například: obdrželi jste plat za vykonanou práci, obdrželi jste diplom vyššího odborného vzdělání, pokud jste studovali v dobré víře, složili zkoušky a obhájili jste svůj diplom atd.

S náhodnými událostmi jsou věci trochu komplikovanější:v průběhu experimentu se to může nebo nemusí stát, například vytáhnout eso z balíčku karet, ne více než tři pokusy. Výsledek lze získat jak na první pokus, tak obecně jej nelze získat. Je to pravděpodobnost výskytu události, kterou věda studuje.

Pravděpodobnost

V obecném smyslu se jedná o posouzení možnosti úspěšnéhovýsledek zkušenosti, při které k události došlo. Pravděpodobnost se hodnotí na kvalitativní úrovni, zejména pokud je kvantifikace nemožná nebo obtížná. Problém v teorii pravděpodobnosti s řešením, přesněji s odhadem pravděpodobnosti události, znamená nalezení velmi možného podílu úspěšného výsledku. Pravděpodobnost v matematice je číselnou charakteristikou události. Bere hodnoty od nuly do jedné, označené písmenem P. Pokud se P rovná nule, pak událost nemůže nastat, pokud je jedna, pak událost nastane se stoprocentní pravděpodobností. Čím více P se přiblíží k jednomu, tím větší je pravděpodobnost úspěšného výsledku a naopak, pokud je blízký nule, dojde k události s nízkou pravděpodobností.

Zkratky

Problém v teorii pravděpodobnosti, s nímž se brzy setkáte, může obsahovat následující zkratky:

• !;
• {};
• N;
• P a P (X);
• A, B, C atd.
• n;
• m.

Možné jsou i některé další:podle potřeby budou přidána další vysvětlení. Pro začátek doporučujeme vyjasnit výše uvedené zkratky. První na našem seznamu je faktoriál. Aby bylo jasno, uveďme příklady: 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 nebo 3! = 1 * 2 * 3. Dané sady jsou dále psány složenými závorkami, například: {1; 2; 3; 4; ..; n} nebo {10; 140; 400; 562}. Další notací je sada přirozených čísel, která je v úlohách teorie pravděpodobnosti zcela běžná. Jak již bylo zmíněno dříve, P je pravděpodobnost a P (X) je pravděpodobnost výskytu události X. Události jsou označeny velkými písmeny latinské abecedy, například: A - byla chycena bílá koule, B - modrá, C - červená, resp. Malé písmeno n je počet všech možných výsledků am je počet úspěšných. Proto získáme pravidlo pro nalezení klasické pravděpodobnosti v elementárních úlohách: Р = m / n. Teorie pravděpodobnosti „pro figuríny“ je pravděpodobně omezena na tyto znalosti. Nyní se konsolidovat obracíme k řešení.

Úkol 1. Kombinatorika

Skupinu studentů tvoří třicet lidí,ze kterých je třeba vybrat vedoucího, jeho zástupce a vedoucí odborů. Musíte provést několik způsobů, jak tuto akci provést. Podobný úkol lze najít na zkoušce. Teorie pravděpodobnosti, jejíž řešení problémů nyní zvažujeme, může zahrnovat problémy z kurzu kombinatoriky, hledání klasické pravděpodobnosti, geometrie a úlohy pro základní vzorce. V tomto příkladu řešíme problém z kurzu kombinatoriky. Pojďme k řešení. Tento úkol je nejjednodušší:

1. n1 = 30 - možné vedoucí skupiny studentů;
2. n2 = 29 - ti, kteří mohou převzít funkci zástupce;
3. n3 = 28 lidí se uchází o pozici odborů.

Zbývá nám jen najít možný počet možností, to znamená znásobit všechny ukazatele. Ve výsledku získáme: 30 * 29 * 28 = 24360.

To bude odpověď na položenou otázku.

Problém 2. Permutace

Na konferenci vystoupí 6 účastníků, objednávkaurčeno losem. Musíme najít počet možných možností losování. V tomto příkladu uvažujeme o permutaci šesti prvků, to znamená, že musíme najít 6!

V odstavci o zkratce jsme již zmínili, že se jednátoto a jak se počítá. Celkově se ukázalo, že existuje 720 možností kreslení. Na první pohled má obtížný úkol zcela krátké a jednoduché řešení. To jsou úkoly, které teorie pravděpodobnosti zvažuje. V následujících příkladech se podíváme na to, jak vyřešit problémy vyšší úrovně.

Úkol 3

Skupina studentů dvaceti pěti lidíje třeba rozdělit do tří podskupin po šesti, devíti a deseti lidech. Máme: n = 25, k = 3, n1 = 6, n2 = 9, n3 = 10. Zbývá nahradit hodnoty do požadovaného vzorce, dostaneme: N25 (6,9,10). Po jednoduchých výpočtech dostaneme odpověď - 16 360 143 800. Pokud úkol neříká, že je nutné získat numerické řešení, můžete jej dát ve formě faktoriálů.

Problém 4

Tři lidé žádali čísla od jedné do deseti.Najděte pravděpodobnost, že se něčí čísla budou shodovat. Nejprve musíme zjistit počet všech výsledků - v našem případě je to tisíc, tj. Deset až třetí síla. Nyní najdeme počet možností, když se každý zeptal na různá čísla, proto vynásobíme deset, devět a osm. Odkud se tato čísla vzala? První myslí na číslo, má deset možností, druhý již devět a třetí si musí vybrat z osmi zbývajících, takže dostaneme 720 možných možností. Jak jsme vypočítali dříve, existuje celkem 1000 variant a 720 bez opakování, proto nás zajímá zbývajících 280. Nyní potřebujeme vzorec pro nalezení klasické pravděpodobnosti: P =. Dostali jsme odpověď: 0,28.