Непрекъснатата функция е функциябез „скокове“, тоест такова, за което е изпълнено условието: малки промени в аргумента са последвани от малки промени в съответните стойности на функцията. Графиката на такава функция е гладка или непрекъсната крива.
Непрекъснатост в точка, ограничаваща за някоимножества, могат да бъдат определени с помощта на понятието граница, а именно: функцията трябва да има граница в тази точка, която е равна на нейната стойност в граничната точка.
Ако тези условия са нарушени в даден момент,те казват, че функцията в този момент търпи прекъсване, тоест нейната приемственост е нарушена. На езика на лимитите, точката на прекъсване може да бъде описана като несъответствие на стойността на функцията в прекъснатата точка с границата на функцията (ако съществува).
Точката на счупване може да бъде подвижна за товасъществуването на функция ограничение е необходимо, но тя не съвпада с неговата стойност в дадена точка. В този случай той може да бъде "коригиран" в този момент, тоест предефиниран към приемственост.
Съвсем различна картина се развива, ако лимитът на функцията в дадена точка не съществува. Има две възможни точки на почивка:
- първи вид - и двете едностранни граници са и са ограничени, а стойността на едната или на двете не съвпада със стойността на функцията в дадена точка;
- от втория вид, когато една или и двете едностранни граници не съществуват или стойностите им са безкрайни.
Свойства на непрекъснатите функции
- Функцията, получена в резултат на аритметични операции, както и суперпозицията на непрекъснати функции в тяхната област на дефиниране, също е непрекъсната.
- Ако е дадена непрекъсната функция, която е положителна в определен момент, тогава човек винаги може да намери достатъчно малък квартал, в който да запази знака си.
- По същия начин, ако стойностите му в две точки А и Вса равни, съответно, a и b и a е различно от b, тогава за междинните точки ще бъдат взети всички стойности от интервала (a; b). От това може да се направи интересен извод: ако оставите опънатата дъвка да се свие, така че да не провисва (остава права), тогава една от нейните точки ще остане неподвижна. Но геометрично това означава, че има линия, преминаваща през всяка междинна точка между A и B, която пресича графиката на функцията.
Нека отбележим някои от непрекъснатите (в тяхната област на дефиниране) елементарни функции:
- постоянен;
- рационално;
- тригонометрични.
Между две основни понятия вматематиката - приемственост и диференцируемост - съществува неразривна връзка. Достатъчно е само да запомните, че за да може да бъде функция различна, е необходимо тя да е непрекъсната функция.
Ако функцията е различна в даден момент, тогава тя е непрекъсната там. Въпреки това изобщо не е необходимо производното му да бъде непрекъснато.
Функция, която има на определен наборнепрекъсната производна, принадлежи към отделен клас гладки функции. С други думи, това е непрекъснато диференцирана функция. Ако дериватът има ограничен брой точки на прекъсване (само от първия вид), такава функция се нарича частично гладка.
Друга важна концепция за смятанее равномерната непрекъснатост на дадена функция, тоест способността й да бъде еднакво непрекъсната във всяка точка от нейната област на дефиниция. По този начин това е свойство, което се разглежда в набор от точки, а не в нито един поотделно.
Ако оправите точката, тогава не получавате нищоразлично от определението за приемственост, тоест от наличието на еднаква приемственост следва, че имаме непрекъсната функция. Най-общо казано, обратното не е вярно. Въпреки това, според теоремата на Кантор, ако дадена функция е непрекъсната върху компактен набор, тоест на затворен интервал, тогава тя е равномерно непрекъсната върху него.
