Производната на някаква функция f (x) в определенаточка x0 се нарича границата на съотношението на инкремента на функцията към нарастването на аргумента, при условие че x следва към 0 и границата съществува. Производното обикновено се обозначава с прайм, понякога с точка или чрез диференциал. Дериватът през границата често е подвеждащ, тъй като такова представителство се използва рядко.
Функция, която има производно при определеноточка x0, обикновено се нарича диференцируема в такава точка. Да предположим, че D1 е множеството точки, в които функцията f е диференцирана. Присвоявайки на всяко число числото x, принадлежащо на D f '(x), получаваме функция с площта на нотация D1. Тази функция е производната y = f (x). Тя е обозначена така: f '(x).
Освен това производното се използва широко прифизика и технологии. Нека да разгледаме най-простия пример. Материалната точка се движи по координатата направо и се дава законът за движение, тоест x координатата на тази точка е известната функция x (t). По време на интервала от t0 до t0 + t, изместването на точката е x (t0 + t) -x (t0) = x, а средната му скорост v (t) е x / t.
Понякога естеството на движението се представя по такъв начин, че приза кратки периоди от време средната скорост не се променя, което означава, че движението с по-голяма степен на точност се счита за равномерно. Или стойността на средната скорост, ако t0 следва някаква абсолютно точна стойност, която се нарича мигновена скорост v (t0) на тази точка в определен момент от време t0. Смята се, че моментната скорост v (t) е известна за всяка диференцирана функция x (t), при което v (t) ще бъде равна на x '(t). Най-просто казано, скоростта е времевата производна на координата.
Моменталната скорост има както положителна, така иотрицателни стойности, както и стойността 0. Ако тя е положителна в определен интервал от време (t1; t2), точката се движи в същата посока, тоест координатата x (t) се увеличава с времето и ако v (t) е отрицателна, тогава координатата x (t) намалява.
В по-трудни случаи точката се движи в равнина или в пространството. Тогава скоростта е векторно количество и определя всяка от координатите на вектора v (t).
По същия начин може да се сравни с ускорениетодвижение на точка. Скоростта е функция на времето, тоест v = v (t). И производната на такава функция е ускорението на движение: a = v '(t). Тоест, оказва се, че времевата производна на скоростта е ускорение.
Да предположим, че y = f (x) е всяка диференциранафункция. След това можете да помислите за движението на материална точка по координатна линия, което се случва зад закона x = f (t). Механичното съдържание на производното дава възможност да се представи визуална интерпретация на теоремите за диференциалното смятане.
Как да намеря производно? Намирането на производната на някаква функция се нарича диференциация.
Нека дадем примери за това как да намерим производната функция:
Производната на постоянна функция е нула; производната на функцията y = x е равна на единица.
Как намирате производната на фракция? За да направите това, вземете предвид следния материал:
За всяко x0 <> 0 имаме
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Има няколко правила за намиране на производно. А именно:
Ако функциите A и B се диференцират в точката x0,тогава тяхната сума се диференцира в точката: (A + B) '= A' + B '. Най-просто казано, производната на сума е равна на сумата на производните. Ако функцията е диференцирана в някакъв момент, тогава нейното нарастване следва нула, когато нарастването на аргумента следва нула.
Ако функциите A и B се диференцират в точката x0,тогава техният продукт се диференцира в точката: (A * B) '= A'B + AB'. (Стойностите на функциите и техните производни се изчисляват в точката x0). Ако функцията A (x) се диференцира в точката x0 и C е постоянна, тогава функцията CA се диференцира в тази точка и (CA) '= CA'. Тоест такъв постоянен фактор се изважда от знака на производната.
Ако функциите A и B се диференцират в точката x0 и функцията B не е равна на нула, то тяхното съотношение също се диференцира в точката: (A / B) '= (A'B-AB') / B * Б.
