Прост метод на итерация, наричан още методпоследователното приближение е математически алгоритъм за намиране на стойността на неизвестно количество чрез постепенното му прецизиране. Същността на този метод е, че както подсказва името, постепенно изразявайки последващите от първоначалното приближение, те получават все по-точни резултати. Този метод се използва за намиране на стойността на променлива в дадена функция, както и при решаване на системи от уравнения, линейни и нелинейни.
Помислете как се прилага този метод при решаване на SLAE. Простият метод за итерация има следния алгоритъм:
1.Проверка на условието за конвергенция в оригиналната матрица. Теорема за конвергенция: ако първоначалната матрица на системата има диагонално разпространение (т.е. във всеки ред, елементите на основния диагонал трябва да са по-големи по абсолютна стойност, отколкото сумата от елементите на страничните диагонали в абсолютна стойност), тогава простият метод на итерация е конвергентен.
2.Матрицата на оригиналната система не винаги има диагонално разпространение. В такива случаи системата може да се трансформира. Уравненията, удовлетворяващи условието за конвергенция, се оставят недокоснати, а при незадоволителни - те са линейни комбинации, т.е. умножете, извадете, добавете уравнения помежду си, за да получите желания резултат.
Ако получената система съдържа неудобни коефициенти на основния диагонал, тогава условията на формата си* оти, чиито знаци трябва да съвпадат със знаците на диагонални елементи.
3. Преобразуване на получената система в нормален изглед:
с-= β-+ α * x-
Това може да се направи по много начини, например, както следва: от първото уравнение се изразява x1 чрез други неизвестни, от втората2, от третата3 и т.н. Използваме формулите:
αтя= - (атя / аii)
и= bи/ aи
Трябва отново да се провери дали получената нормална система отговаря на условието за конвергенция:
∑ (j = 1) | αтя| ≤ 1, с i = 1,2, ... n
4. Започваме да прилагаме всъщност самия метод на последователни приближения.
с(0)- първоначално приближение, изразяваме чрез него x(1), след това през х(1) изразявам х(2), Общата формула в матрична форма изглежда така:
с(н)= β-+ α * x(П-1)
Изчисляваме, докато достигнем необходимата точност:
max | xи(k) -xи(k + 1) ≤ ε
Така че нека приложим на практика простия метод на итерация. Пример:
Решаване на SLAE:
4,5х1-1,7х2 + 3,5х3 = 2
3,1х1 + 2,3х2-1,1х3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 с точност ε = 10-3
Да видим дали диагоналните елементи преобладават в модул.
Виждаме, че само третото уравнение удовлетворява условието за конвергенция. Преобразуваме първото и второто, добавяме второто към първото уравнение:
7,6х1 + 0,6х2 + 2,4х3 = 3
Извадете първата от третата:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Преобразувахме оригиналната система в еквивалентна:
7,6х1 + 0,6х2 + 2,4х3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8х1 + 2,5х2 + 4,7х3 = 4
Сега нека върнем системата към нормалното:
x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Проверка на конвергенцията на итеративния процес:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, т.е. условието е изпълнено.
0,3947
Първоначално приближение x(0) = 0,4762
0,8511
Замествайки тези стойности в уравнение с нормална форма, получаваме следните стойности:
0,08835
с(един)= 0,486793
0,446639
Замествайки нови стойности, получаваме:
0,215243
с(2)= 0,405396
0,558336
Продължаваме изчисленията, докато се доближим до стойностите, които отговарят на даденото условие.
0,18813
с(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
с(осем) = 0,44164
0,544428
Нека проверим верността на получените резултати:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2 0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Резултатите, получени чрез заместване на намерените стойности в първоначалните уравнения, напълно отговарят на условията на уравнението.
Както виждаме, простият итерационен метод дава доста точни резултати, но трябваше да отделим много време и тромави изчисления, за да решим това уравнение.
