Методът на Крамер е един от точните методирешаване на системи от линейни алгебраични уравнения (SLAE). Точността му се дължи на използването на детерминанти на матрицата на системата, както и на някои ограничения, наложени по време на доказването на теоремата.
Система от линейни алгебрични уравнения с коефициенти, принадлежащи например към множеството R - реални числа, от неизвестни x1, x2, ..., xn е набор от изрази на формата
ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi за i = 1, 2, ..., m, (1)
където aij, bi са реални числа. Всеки от тези изрази се нарича линейно уравнение, aij - коефициенти за неизвестни, би-свободни коефициенти на уравнения.
Решението на система (1) е n-мерният вектор x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), когато се заменя в системата вместо неизвестното x1, x2, ..., xn, всеки от редовете в системата става правилното равенство ,
Системата се нарича съвместна, ако има поне едно решение, и несъвместима, ако нейният набор от решения съвпада с празен набор.
Трябва да се помни, че за да се намерирешавайки системи от линейни алгебраични уравнения по метода на Крамер, матрицата на системата трябва да е квадратна, което по същество означава същия брой неизвестни и уравнения в системата.
Така че, за да използвате метода на Cramer,трябва поне да знаете какво представлява матрица от системи от линейни алгебрични уравнения и как се изписва. И второ, разберете какво се нарича детерминанта на матрицата и имайте уменията да я изчислявате.
Да предположим, че имате това знание.Чудесно! Тогава просто трябва да запомните формулите, които определят метода на Cramer. За да опростим запаметяването, използваме следната нотация:
Det е основната детерминанта на системната матрица;
deti е определящият фактор на матрица, получена отосновната матрица на системата, ако заменим i-тата колона на матрицата с колонен вектор, чиито елементи са правилните части на системи с линейни алгебрични уравнения;
n е броят на неизвестните и уравнения в системата.
Тогава правилото на Cramer за изчисляване на i-тата компонента xi (i = 1, .. n) на n-мерния вектор x може да се запише като
xi = deti / Det, (2).
В този случай Det е абсолютно ненулев.
Уникалността на решението на системата, когато тясъвместимостта осигурява условието за неравенство до нула от основната детерминанта на системата. В противен случай, ако квадратната сума (xi) е строго положителна, тогава SLAE с квадратна матрица ще бъде несъвместима. Това може да се случи по-специално, когато поне едно от дети е ненулево.
Пример 1, Решете триизмерна система LAU, използвайки формулите на Cramer.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.
Решение. Изписваме матрицата на системния ред по ред, където Ai е първият ред на матрицата.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1).
Колоната на свободните коефициенти b = (31 29 10).
Основната детерминанта на системата Det е
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = –27.
За да изчислим det1, използваме заместване a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. след това
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = –81.
По същия начин, за да изчислим det2, използваме заместване a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 и, съответно, за изчисляване на det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Тогава можете да проверите, че det2 = –108, а det3 = - 135.
Според формулите на Креймър намираме x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.
Отговорът е: x ° = (3,4,5).
Въз основа на условията за прилагане на това правило,Методът на Крамер за решаване на системи от линейни уравнения може да се използва индиректно, например за изследване на системата за възможен брой решения в зависимост от стойността на някакъв параметър k.
Пример 2 Определете за какви стойности на параметъра k неравенството | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 има точно едно решение.
Решение.
Това неравенство по дефиницията на модулафункции могат да се изпълняват само ако и двата израза са едновременно нула. Следователно този проблем се свежда до намирането на решение на линейна система от алгебраични уравнения
kx - y = 4,
x + ky = –4.
Решението на тази система е единственото, ако е основният й определящ фактор
Det = k ^ {2} + 1 е нула. Очевидно това условие е изпълнено за всички реални стойности на параметъра k.
Отговорът е: за всички реални стойности на параметъра k.
Много практически проблеми от областта на математиката, физиката или химията също могат да бъдат сведени до проблеми от този вид.
