Непрерывная функция представляет собой функцию "sıçramalar" olmadan, yani koşulun karşılandığı durumdur: bağımsız değişkende küçük değişikliklerin ardından işlevin karşılık gelen değerlerinde küçük değişiklikler yapılır. Böyle bir fonksiyonun grafiği düzgün veya sürekli bir eğridir.
Bazıları için bir noktada süreklilikset, bir sınır kavramı kullanılarak tanımlanabilir, yani: fonksiyonun bu noktada, sınır noktasındaki değerine eşit olan bir sınırı olmalıdır.
Bu koşullar bir noktada ihlal edilirse,belirli bir noktada işlevin süreksizliğe maruz kaldığını, yani sürekliliğinin bozulduğunu söylüyorlar. Limitler dilinde bir kesme noktası, kırılma noktasındaki bir fonksiyonun değeri ile bir fonksiyonun limiti (eğer varsa) arasında bir uyumsuzluk olarak tanımlanabilir.
Kırılma noktası tek kullanımlık olabilir, bunun içinişlevin bir sınırının varlığı gereklidir, ancak belirli bir noktadaki değeriyle çakışmaz. Bu durumda, bu noktada "düzeltilebilir", yani süreklilik olarak yeniden tanımlanabilir.
Belirli bir noktada işlevin sınırı yoksa tamamen farklı bir resim oluşur. İki olası kırılma noktası vardır:
- birinci türden - tek taraflı sınırların her ikisi de mevcut ve sonludur ve bunlardan birinin veya her ikisinin değeri, belirli bir noktada işlevin değeriyle çakışmaz;
- ikinci tür, tek taraflı sınırlardan biri veya her ikisi mevcut olmadığında veya değerleri sonsuz olduğunda.
Sürekli fonksiyonların özellikleri
- Aritmetik işlemlerin bir sonucu olarak elde edilen işlev ve sürekli işlevlerin tanım alanlarına üst üste binmesi de süreklidir.
- Bir noktada olumlu olan sürekli bir işlev verilirse, her zaman işaretini koruduğu yeterince küçük bir mahalle bulabilirsiniz.
- Benzer şekilde, değerleri A ve B iki noktasında isesırasıyla a ve b eşittir ve a b'den farklıdır, o zaman ara noktalar için tüm değerleri (a; b) aralığından alacaktır. Bundan ilginç bir sonuç çıkarılabilir: gerilmiş bir elastik bandın sarkmaması (düz kalması) için büzülmesine izin verirseniz, noktalarından biri hareketsiz kalacaktır. Geometrik olarak, bu, A ve B arasındaki herhangi bir ara noktadan geçen ve fonksiyonun grafiğini kesen düz bir çizgi olduğu anlamına gelir.
Sürekli (tanım alanlarında) temel işlevlerden bazılarına dikkat edelim:
- sabiti;
- akılcı;
- trigonometrik.
İki temel kavram arasındamatematik - süreklilik ve farklılaşma - ayrılmaz bir bağlantı vardır. Sadece bir fonksiyonun farklılaştırılabilmesi için sürekli bir fonksiyon olması gerektiğini hatırlamak yeterlidir.
İşlev bir noktada farklılaşabilirse, o zaman orada süreklidir. Bununla birlikte, türevinin sürekli olması gerekli değildir.
Bazı setlerde fonksiyonsürekli türev, düz fonksiyonların ayrı bir sınıfına aittir. Başka bir deyişle, sürekli olarak farklılaşabilen bir fonksiyondur. Türev sınırlı sayıda süreksizlik noktasına sahipse (sadece ilk türden), bu tür bir fonksiyon parçalı pürüzsüz olarak adlandırılır.
Kalkülüsün bir diğer önemli kavramıbir fonksiyonun muntazam sürekliliğidir, yani tanım alanındaki herhangi bir noktada eşit derecede sürekli olma yeteneğidir. Bu nedenle, bu, herhangi bir yerde ayrı ayrı değil, bir dizi noktada kabul edilen bir özelliktir.
Eğer noktayı düzeltirseniz, hiçbir şey almazsınızsüreklilik tanımı dışında, yani tekdüze süreklilik varlığından, sürekli bir fonksiyona sahip olduğumuzu izler. Genel olarak, tersi doğru değildir. Bununla birlikte, Cantor teoremine göre, eğer bir fonksiyon kompakt bir sette sürekli ise, yani kapalı bir aralıkta, o zaman üzerinde eşit olarak süreklidir.
