ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับทุกสิ่งทุกอย่าง / การสร้าง / เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว. เส้นกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูคืออะไร ประเภทของสี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมคางหมูคือ ..

เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว เส้นกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูคืออะไร ประเภทของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมคางหมูคือ ..

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยม yซึ่งด้านหนึ่งคู่ขนานกัน คำว่า "trapezium" มาจากคำภาษากรีก τράπεζα แปลว่า "โต๊ะ", "โต๊ะ" ในบทความนี้เราจะมาดูประเภทของสี่เหลี่ยมคางหมูและคุณสมบัติของมัน นอกจากนี้ เราจะหาวิธีคำนวณองค์ประกอบแต่ละอย่างของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว เส้นกึ่งกลาง พื้นที่ ฯลฯ วัสดุถูกนำเสนอในรูปแบบของเรขาคณิตยอดนิยมเบื้องต้น นั่นคือ ในรูปแบบที่เข้าถึงได้ง่าย

ภาพรวม

ก่อนอื่น มาทำความเข้าใจกันก่อนว่าคืออะไรจัตุรัส. รูปร่างนี้เป็นกรณีพิเศษของรูปหลายเหลี่ยมที่มีสี่ด้านและจุดยอดสี่จุด จุดยอดสองจุดของรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่อยู่ติดกันเรียกว่าด้านตรงข้าม สามารถพูดได้เหมือนกันสำหรับสองด้านที่ไม่อยู่ติดกัน ประเภทหลักของรูปสี่เหลี่ยม ได้แก่ สี่เหลี่ยมด้านขนาน, สี่เหลี่ยม, รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมจัตุรัส, สี่เหลี่ยมคางหมูและเดลทอยด์

กลับไปที่สี่เหลี่ยมคางหมูอย่างที่เราบอก รูปนี้มีสองด้านขนานกัน พวกเขาเรียกว่าฐาน อีกสองข้าง (ไม่ขนานกัน) เป็นด้าน ในเอกสารประกอบการสอบและแบบทดสอบต่างๆ คุณมักจะพบงานที่เกี่ยวข้องกับรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งวิธีแก้ปัญหามักต้องการให้นักเรียนมีความรู้ที่โปรแกรมไม่ได้จัดเตรียมไว้ให้ หลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนจะแนะนำให้นักเรียนรู้จักคุณสมบัติของมุมและเส้นทแยงมุม ตลอดจนเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว แต่นอกจากนี้ รูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวยังมีคุณลักษณะอื่นๆ แต่เกี่ยวกับพวกเขาในภายหลัง ...

ประเภทของสี่เหลี่ยมคางหมู

ตัวเลขนี้มีหลายประเภท อย่างไรก็ตามบ่อยครั้งที่ควรพิจารณาสองสิ่งนี้ - หน้าจั่วและสี่เหลี่ยม

1. สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม คือ รูปที่ด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน มุมทั้งสองของมันมีค่าเท่ากับเก้าสิบองศาเสมอ

2. สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีด้านเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามุมที่ฐานยังเท่ากัน

หลักการสำคัญของวิธีการศึกษาคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู

หลักการสำคัญคือการใช้วิธีการที่เรียกว่างาน ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องแนะนำคุณสมบัติใหม่ของตัวเลขนี้ในแนวทางทางทฤษฎีของเรขาคณิต สามารถเปิดและกำหนดได้ในกระบวนการแก้ปัญหาต่างๆ (ดีกว่าปัญหาของระบบ) ในเวลาเดียวกัน มันสำคัญมากที่ครูจะต้องรู้ว่างานใดที่ต้องมอบให้กับเด็กนักเรียน ณ จุดใดจุดหนึ่งในกระบวนการศึกษา นอกจากนี้ แต่ละคุณสมบัติสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถแสดงเป็นงานหลักในระบบงานได้

หลักการที่สองคือสิ่งที่เรียกว่าองค์กรเกลียวของการศึกษาคุณสมบัติ "โดดเด่น" ของสี่เหลี่ยมคางหมู นี่หมายถึงการกลับมาในกระบวนการเรียนรู้ไปยังคุณลักษณะเฉพาะของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด ทำให้ผู้เรียนจดจำได้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่นคุณสมบัติของสี่จุด สามารถพิสูจน์ได้ทั้งโดยการศึกษาความคล้ายคลึงกันและต่อมาโดยใช้เวกเตอร์ และขนาดเท่ากันของสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับด้านข้างของรูปนั้นสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ไม่เพียงแต่คุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากันที่ลากไปยังด้านที่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว แต่ยังใช้สูตร S = 1/2 อีกด้วย (ab * sinα). นอกจากนี้ คุณสามารถคำนวณทฤษฎีบทของไซน์บนสี่เหลี่ยมคางหมูที่จารึกไว้หรือสามเหลี่ยมมุมฉากบนสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้ เป็นต้น

การประยุกต์ใช้คุณสมบัติ "นอกโปรแกรม""รูปทรงเรขาคณิตในเนื้อหาของหลักสูตรของโรงเรียนเป็นเทคโนโลยีงานสำหรับการสอนพวกเขา การดึงดูดคุณสมบัติที่ศึกษาอย่างต่อเนื่องเมื่อส่งหัวข้ออื่น ๆ ช่วยให้นักเรียนได้รับความเข้าใจอย่างลึกซึ้งเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมูและรับรองความสำเร็จในการแก้ไขงานที่ได้รับมอบหมาย ลองลงไปศึกษาตัวเลขที่ยอดเยี่ยมนี้กัน

องค์ประกอบและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว เรขาคณิตนี้ตัวเลขด้านข้างเท่ากัน เป็นที่รู้จักกันว่าสี่เหลี่ยมคางหมูปกติ และทำไมมันจึงน่าทึ่งและทำไมมันถึงได้ชื่อนี้มา? ลักษณะเฉพาะของรูปนี้รวมถึงความจริงที่ว่ามันไม่เท่ากับด้านข้างและมุมที่ฐานเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นทแยงมุมด้วย นอกจากนี้ ผลรวมของมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 360 องศา แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ในบรรดาสี่เหลี่ยมคางหมูที่รู้จักทั้งหมด มีเพียงหน้าจั่วที่สามารถอธิบายวงกลมได้ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปนี้คือ 180 องศา และภายใต้เงื่อนไขนี้เท่านั้นที่สามารถอธิบายวงกลมรอบรูปสี่เหลี่ยมได้ คุณสมบัติต่อไปของรูปทรงเรขาคณิตที่พิจารณาคือระยะทางจากด้านบนของฐานถึงการฉายภาพด้านบนตรงข้ามบนเส้นตรงที่มีฐานนี้จะเท่ากับเส้นกึ่งกลาง

ทีนี้ มาดูวิธีหามุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วกัน พิจารณาวิธีแก้ปัญหานี้โดยต้องทราบขนาดของด้านข้างของรูป

การตัดสิน

โดยปกติรูปสี่เหลี่ยมมักจะเขียนแทนตัวอักษร A, B, C, D โดยที่ BS และ HELL เป็นพื้น ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ด้านเท่ากัน เราจะถือว่าขนาดของฐานเท่ากับ X และขนาดของฐานเท่ากับ Y และ Z (เล็กลงและใหญ่ขึ้นตามลำดับ) ในการคำนวณ จำเป็นต้องวาดความสูง N จากมุม B ผลลัพธ์ที่ได้คือ ABN สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ AB คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และ BN และ AH คือขา เราคำนวณขนาดของขา AH: ลบอันที่เล็กกว่าออกจากฐานที่ใหญ่กว่าแล้วหารผลลัพธ์ด้วย 2 เราเขียนในรูปของสูตร: (ZY) / 2 = F. ตอนนี้เพื่อคำนวณมุมแหลม ของสามเหลี่ยม เราใช้ฟังก์ชัน cos เราได้รับบันทึกต่อไปนี้: cos (β) = X / F. ตอนนี้เราคำนวณมุม: β = arcos (X / F) นอกจากนี้ เมื่อรู้มุมหนึ่ง เราสามารถกำหนดมุมที่สองได้ สำหรับสิ่งนี้ เราดำเนินการคำนวณเบื้องต้น: 180 - β มีการกำหนดมุมทั้งหมด

นอกจากนี้ยังมีวิธีที่สองสำหรับปัญหานี้ตอนแรกเราลดความสูง N. จากมุม คำนวณค่าของขา BN เรารู้ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา เราได้รับ: BN = √ (X2-F2) ต่อไป เราใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ tg เป็นผลให้เรามี: β = arctan (BN / F) พบมุมแหลมคมแล้ว ต่อไป เรากำหนดมุมป้านในลักษณะเดียวกับวิธีแรก

คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ขั้นแรก ให้เขียนกฎสี่ข้อ หากเส้นทแยงมุมในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตั้งฉากแล้ว:

- ความสูงของรูปจะเท่ากับผลรวมของฐาน หารด้วยสอง

- ความสูงและเส้นกลางเท่ากัน

- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับกำลังสองของความสูง (เส้นกึ่งกลาง, ครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน);

- สี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นทแยงมุมเท่ากับครึ่งหนึ่งของกำลังสองของผลรวมของฐานหรือสองเท่าของกำลังสองของเส้นกึ่งกลาง (ความสูง)

ตอนนี้ให้พิจารณาสูตรที่กำหนดเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว กลุ่มข้อมูลนี้สามารถแบ่งออกเป็นสี่ส่วนคร่าวๆ:

1. สูตรความยาวของเส้นทแยงมุมเป็นด้าน

เราคิดว่า A คือฐานด้านล่าง B คือด้านบน C คือด้านเท่ากัน D คือเส้นทแยงมุม ในกรณีนี้สามารถกำหนดความยาวได้ดังนี้:

D = √ (C2 + A * B)

2. สูตรความยาวของเส้นทแยงมุมโดยทฤษฎีบทโคไซน์

เรายอมรับว่า A คือฐานล่าง B คือฐานบนC - ด้านเท่ากัน, D - เส้นทแยงมุม, α (ที่ฐานล่าง) และ β (ที่ฐานบน) - มุมสี่เหลี่ยมคางหมู เราได้รับสูตรต่อไปนี้ซึ่งคุณสามารถคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมได้:

- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosβ);

- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosα)

3. สูตรความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

เราคิดว่า A คือฐานด้านล่าง B คือด้านบน D คือเส้นทแยงมุม M คือเส้นกลาง H คือความสูง P คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู α และ β คือมุมระหว่างเส้นทแยงมุม เรากำหนดความยาวโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

- D = √ (M2 + H2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα)

สำหรับกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: sinα = sinβ

4. สูตรความยาวของเส้นทแยงมุมในด้านด้านและความสูง

เราคิดว่า A คือฐานด้านล่าง B คือด้านบน C คือด้านข้าง D คือเส้นทแยงมุม H คือความสูง α คือมุมที่ฐานด้านล่าง

เรากำหนดความยาวโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

- D = √ (H2 + (AP * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + C2-2A * √ (C2-H2)).

องค์ประกอบและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

ลองดูสิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตนี้ อย่างที่เราบอก สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมมีมุมฉากสองมุม

นอกจากคำนิยามแบบคลาสสิกแล้ว ยังมีคนอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมคือสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน หรือรูปที่มีมุมฉากอยู่ด้านข้าง ในสี่เหลี่ยมคางหมูประเภทนี้ ความสูงเท่ากับด้านข้างซึ่งตั้งฉากกับฐาน เส้นกึ่งกลางคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของทั้งสองข้าง คุณสมบัติของธาตุดังกล่าวคือขนานกับฐานและมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวม

ทีนี้มาดูสูตรพื้นฐานกันการกำหนดรูปทรงเรขาคณิตนี้ สำหรับสิ่งนี้ เราคิดว่า A และ B เป็นเหตุ; C (ตั้งฉากกับฐาน) และ D - ด้านของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม, M - เส้นกลาง, α - มุมแหลม, P - พื้นที่

หนึ่ง.ด้านข้างตั้งฉากกับฐาน เท่ากับความสูงของรูป (C = H) และเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านที่สอง D และไซน์ของมุม α ที่มีฐานใหญ่กว่า ( C = D * sinα). นอกจากนี้ยังเท่ากับผลคูณของแทนเจนต์ของมุมแหลม α และผลต่างของฐาน: C = (A-B) * tgα

2. ด้านข้าง D (ไม่ตั้งฉากกับฐาน) เท่ากับผลต่างระหว่าง A และ B และโคไซน์ (α) ของมุมแหลมหรือผลหารความสูงของรูป H และไซน์ของ มุมแหลม: D = (AB) / cos α = C / sinα

3. ด้านซึ่งตั้งฉากกับฐาน เท่ากับรากที่สองของผลต่างระหว่างกำลังสอง D - ด้านที่สอง - และกำลังสองของผลต่างระหว่างฐาน:

C = √ (D2- (A-B) 2).

4. ด้าน D ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของด้าน C และกำลังสองของผลต่างระหว่างฐานของรูปทรงเรขาคณิต: D = √ (C2 + (A-B) 2)

5. ด้านของ C เท่ากับผลหารของการหารพื้นที่สองเท่าด้วยผลรวมของฐาน: C = P / M = 2P / (A + B)

6. พื้นที่ถูกกำหนดโดยผลิตภัณฑ์ M (เส้นกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม) โดยความสูงหรือด้านตั้งฉากกับฐาน: P = M * H = M * C.

7. ด้าน C เท่ากับผลหารของการหารพื้นที่สองเท่าของรูปด้วยผลคูณของไซน์ของมุมแหลมและผลรวมของฐาน: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. สูตรด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมผ่านเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างพวกเขา:

- sinα = บาปβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

โดยที่ D1 และ D2 เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู α และ β คือมุมระหว่างพวกมัน

9. สูตรด้านข้างทะลุมุมฐานล่างและด้านอื่นๆ: D = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα

เนื่องจากสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมฉากเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมคางหมู สูตรที่เหลือซึ่งกำหนดตัวเลขเหล่านี้จะสอดคล้องกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คุณสมบัติวงกลมจารึก

หากเงื่อนไขระบุว่าวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม ก็สามารถใช้คุณสมบัติต่อไปนี้:

- ผลรวมของฐานเท่ากับผลรวมของด้าน

- ระยะทางจากด้านบนของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าถึงจุดสัมผัสของวงกลมที่จารึกไว้จะเท่ากันเสมอ

- ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับด้านข้าง ตั้งฉากกับฐาน และเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

- จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมตัดกัน

- หากด้านข้างถูกแบ่งโดยจุดสัมผัสออกเป็นส่วน H และ M รัศมีของวงกลมจะเท่ากับรากที่สองของผลิตภัณฑ์ของกลุ่มเหล่านี้

- รูปสี่เหลี่ยมที่เกิดจากจุดสัมผัส จุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมูและจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ - นี่คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับรัศมี

- พื้นที่ของรูปเท่ากับผลคูณของฐานและผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของฐานตามความสูง

สี่เหลี่ยมคางหมูที่คล้ายกัน

หัวข้อนี้สะดวกมากสำหรับการศึกษาคุณสมบัติรูปทรงเรขาคณิตนี้ ตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยมสี่รูป และสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับฐานจะคล้ายกัน และด้านข้างเท่ากัน คำสั่งนี้สามารถเรียกได้ว่าคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมซึ่งสี่เหลี่ยมคางหมูถูกหารด้วยเส้นทแยงมุม ส่วนแรกของข้อความนี้ได้รับการพิสูจน์ผ่านสัญลักษณ์ของความคล้ายคลึงกันในสองมุม เพื่อพิสูจน์ส่วนที่สอง ควรใช้วิธีการด้านล่าง

บทพิสูจน์ทฤษฎีบท

เรายอมรับว่าตัวเลขของ ABSD (BP และ BS เป็นพื้นฐานรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) หารด้วยเส้นทแยงมุม VD และ AC จุดตัดของพวกมันคือ O เราได้สามเหลี่ยมสี่รูป: AOS - ที่ฐานล่าง, BOS - ที่ฐานบน, ABO และ SOD ที่ด้านข้าง สามเหลี่ยม SOD และ BFB มีความสูงเท่ากันถ้าส่วน BO และ OD เป็นฐาน เราได้รับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของพวกเขา (P) เท่ากับความแตกต่างระหว่างกลุ่มเหล่านี้: PBOS / PSOD = BO / OD = K ดังนั้น PSOD = PBOS / K ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม BFB และ AOB มีความสูงเท่ากัน เรานำกลุ่ม SB และ OA มาเป็นฐาน เราได้รับ PBOS / PAOB = SO / OA = K และ PAOB = PBOS / K จากนี้ไป PSOD = PAOB

ในการรวมเนื้อหา ขอแนะนำให้นักเรียนค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ได้รับ ซึ่งสี่เหลี่ยมคางหมูถูกหารด้วยเส้นทแยงมุม เพื่อแก้ปัญหาต่อไปนี้ เป็นที่ทราบกันดีว่าพื้นที่ของ biofeedback และสามเหลี่ยม AOD นั้นเท่ากัน จำเป็นต้องหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เนื่องจาก PSOD = PAOB หมายความว่า PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม BFB และ AOD จะได้ว่า BO / OD = √ (PBOS / PAOD) ดังนั้น PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD) เราได้รับ PSOD = √ (PBOS * PAOD) จากนั้น PABSD = PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + √ PAOD) 2

คุณสมบัติความคล้ายคลึงกัน

ในการพัฒนาหัวข้อนี้ต่อไปสามารถพิสูจน์และคุณสมบัติที่น่าสนใจอื่น ๆ ของสี่เหลี่ยมคางหมู ด้วยความช่วยเหลือของความคล้ายคลึงกัน เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติของส่วนที่ผ่านจุดที่เกิดจากจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ซึ่งขนานกับฐาน ในการทำเช่นนี้ เราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้: จำเป็นต้องค้นหาความยาวของเซ็กเมนต์ RK ที่ผ่านจุด O จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม AOD และ BFB จะได้ว่า AO / OS = AD / BS จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม AOR และ ASB จะได้ว่า AO / AC = RO / BS = HELL / (BS + HELL) จากที่นี่เราจะได้ RO = BS * HELL / (BS + HELL) ในทำนองเดียวกัน จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม DOK และ DBS จะได้ว่า OK = BS * HELL / (BS + HELL) จากที่นี่เราจะได้ RO = OK และ RK = 2 * BS * HELL / (BS + HELL) ส่วนที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมขนานกับฐานและเชื่อมทั้งสองด้านเข้าด้วยกันจะถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัด ความยาวของมันคือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของฐานของรูป

พิจารณาคุณภาพสี่เหลี่ยมคางหมูต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าคุณสมบัติสี่จุด จุดตัดของเส้นทแยงมุม (O) จุดตัดของส่วนขยายด้านข้าง (E) และจุดกึ่งกลางของฐาน (T และ G) จะอยู่บนเส้นเดียวกันเสมอ สิ่งนี้พิสูจน์ได้ง่ายโดยวิธีการคล้ายคลึงกัน สามเหลี่ยมที่ได้คือ BES และ AED คล้ายกัน และในแต่ละรูปนั้นค่ามัธยฐาน ET และ EZ แบ่งมุมที่จุดยอด E ออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน ดังนั้น จุด E, T และ Ж จึงอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว ในทำนองเดียวกัน จุด T, O และ Zh จะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว ทั้งหมดนี้มาจากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม BFB และ AOD จากนี้เราสรุปได้ว่าจุดทั้งสี่ - E, T, O และ F - จะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

ใช้สี่เหลี่ยมคางหมูแบบนี้ได้,นักเรียนหาความยาวของส่วน (LF) ซึ่งแยกร่างออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกัน ส่วนนี้ต้องขนานกับฐาน เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ได้รับ ALPD และ LBSF มีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้น BS / LF = LF / BP เป็นไปตามนั้น LF = √ (BS * HELL) เราได้ส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกันมีความยาวเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของความยาวของฐานของรูป

พิจารณาคุณสมบัติความคล้ายคลึงกันต่อไปนี้มันขึ้นอยู่กับส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองร่างที่มีขนาดเท่ากัน เราคิดว่าสี่เหลี่ยมคางหมู ABSD ถูกหารด้วยส่วน ЕН ออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกัน จากด้านบนสุดของ B ความสูงจะลดลง ซึ่งแบ่งตามส่วน EH ออกเป็นสองส่วนคือ B1 และ B2 เราได้รับ: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (HELL + EH) * B2 / 2 และ PABSD = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2 ต่อไป เราจะเขียนระบบ โดยสมการแรกคือ (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 และสมการที่สอง (BS + EH) * B1 = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. ตามด้วย B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) และ BS + EH = ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1) เราได้ความยาวของส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองขนาดเท่ากัน เท่ากับค่าเฉลี่ยรูตของความยาวของฐาน: √ ((BS2 + AD2) / 2)

การค้นพบความคล้ายคลึงกัน

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า:

1. ส่วนเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างที่สี่เหลี่ยมคางหมูนั้นขนานกับ BP และ BS และเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ BS และ BP (ความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู)

2. เส้นที่ผ่านจุด O ของจุดตัดของเส้นทแยงมุมขนานกับ HELL และ BS จะเท่ากับค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของตัวเลขของ HELL และ BS (2 * BS * HELL / (BS + HELL))

3. ส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นส่วนที่คล้ายคลึงกันนั้นมีความยาวเฉลี่ยทางเรขาคณิตของฐานของ BS และ BP

4. องค์ประกอบที่แบ่งตัวเลขออกเป็นสองขนาดเท่ากันนั้นมีความยาวเท่ากับค่าเฉลี่ยกำลังสองของ BP และ BS

เพื่อรวบรวมวัสดุและทำความเข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างส่วนที่พิจารณา นักเรียนต้องสร้างมันขึ้นมาสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูที่เฉพาะเจาะจง เขาสามารถแสดงเส้นกลางและส่วนที่ผ่านจุด O - จุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปได้อย่างง่ายดาย - ขนานกับฐาน แต่ที่สามและสี่จะอยู่ที่ไหน? คำตอบนี้จะทำให้นักเรียนค้นพบความสัมพันธ์ที่ต้องการระหว่างค่าเฉลี่ย

ส่วนเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู

พิจารณาคุณสมบัติต่อไปนี้ของรูปนี้เราคิดว่าเซ็กเมนต์ MH ขนานกับฐานและแบ่งเส้นทแยงมุมออกเป็นครึ่งหนึ่ง จุดตัดจะเรียกว่า Ш และ Ш ส่วนนี้จะเท่ากับส่วนต่างครึ่งหนึ่งของฐาน ลองมาดูเรื่องนี้กันดีกว่า MSh - เส้นกลางของสามเหลี่ยม ABS เท่ากับ BS / 2 MCh คือเส้นกลางของสามเหลี่ยม ABD เท่ากับ BP / 2 จากนั้นเราจะได้ SHSH = MSH-MSH ดังนั้น SHSH = HELL / 2-BS / 2 = (HELL + VS) / 2

จุดศูนย์ถ่วง

มาดูกันว่าจะตัดสินกันอย่างไรองค์ประกอบนี้สำหรับรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องขยายฐานไปในทิศทางตรงกันข้าม มันหมายความว่าอะไร? จำเป็นต้องเพิ่มอันล่างเข้ากับฐานด้านบน - ด้านใดด้านหนึ่งเช่นทางด้านขวา และขยายส่วนล่างด้วยความยาวของส่วนบนไปทางซ้าย ต่อไปเราเชื่อมต่อพวกมันด้วยเส้นทแยงมุม จุดตัดของส่วนนี้กับเส้นตรงกลางของรูปคือจุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูที่จารึกและอธิบาย

มาดูคุณสมบัติของรูปทรงดังกล่าวกัน:

1. สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถจารึกเป็นวงกลมได้ก็ต่อเมื่อเป็นหน้าจั่ว

2. สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถอธิบายได้รอบๆ วงกลม หากผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้านข้าง

ผลที่ตามมาของวงกลมจารึก:

1. ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายจะเท่ากับรัศมีสองเส้นเสมอ

2. สังเกตด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นมุมฉาก

ผลสืบเนื่องแรกนั้นชัดเจน แต่สำหรับการพิสูจน์ประการที่สอง จำเป็นต้องกำหนดว่ามุมของ SOD นั้นถูกต้อง ซึ่งอันที่จริงแล้วจะไม่ยากเช่นกัน แต่ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัตินี้จะช่วยให้คุณใช้สามเหลี่ยมมุมฉากในการแก้ปัญหาได้

ตอนนี้ให้เราสรุปผลที่ตามมาเหล่านี้สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่จารึกไว้ในวงกลม เราได้ความสูงเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของฐานของรูป: H = 2R = √ (BS * HELL) ขณะฝึกเทคนิคพื้นฐานในการแก้ปัญหารูปสี่เหลี่ยมคางหมู (หลักการถือสองความสูง) นักเรียนต้องแก้ไขงานต่อไปนี้ เราคิดว่า BT คือความสูงของตัวเลขหน้าจั่วของ ABSD จำเป็นต้องค้นหากลุ่ม AT และ TD การใช้สูตรที่อธิบายข้างต้นจะทำได้ไม่ยาก

ทีนี้มาดูวิธีกำหนดรัศมีกันวงกลมโดยใช้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบ เราลดความสูงจากด้านบน B ไปที่ฐานของ HELL เนื่องจากวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้น BS + HELL = 2AB หรือ AB = (BS + HELL) / 2 จากสามเหลี่ยม ABN เราพบ sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + HELL) PABSD = (BS + HELL) * BN / 2, BN = 2R เราได้ PABSD = (BS + HELL) * R ตามด้วย R = PABSD / (BS + HELL)