Det finns flera definitioner av begreppet ”teorital. " En av dem säger att detta är ett speciellt avsnitt av matematik (eller högre aritmetik), som studerar i detalj heltal och objekt som liknar dem.
En annan definition klargör att denna gren av matematik studerar talens egenskaper och deras beteende i olika situationer.
Vissa forskare tror att teorin är så omfattande att det är omöjligt att ge en exakt definition, men det räcker för att dela upp det i flera mindre omfattande teorier.
Upprätta pålitligt när teorin föddessiffror är inte möjliga. Det är dock väl etablerat: idag är det äldsta, men inte det enda dokumentet som vittnar om de forntida intressen för talteorin, ett litet fragment av en lertavla från 1800 f.Kr. Den innehåller ett antal så kallade pythagoriska tripletter (naturliga tal), varav många består av fem tecken. Ett stort antal sådana tripletter utesluter deras mekaniska val. Detta tyder på att intresse för talteori uppenbarligen uppenbarat sig mycket tidigare än forskare ursprungligen antog.
De mest anmärkningsvärda personerna i utvecklingen av teorin är pythagoreerna Euclid och Diophantus, indianerna Ariabhata, Brahmagupta och Bhaskara, som bodde under medeltiden och ännu senare Fermat, Euler, Lagrange.
I början av 1900-talet uppmärksammades talteorin hos sådana matematiska genier som A.N. Korkin, E.I. Zolotarev, A.A. Markov, B.N.Delone, D.K.Faddeev, I.M. Vinogradov, G Weil, A. Selberg.
Utveckla och fördjupa beräkningar och forskningantika matematiker, de tog teorin till en ny, mycket högre nivå som täckte många områden. Djup forskning och sökandet efter nya bevis ledde till upptäckten av nya problem, av vilka några ännu inte har studerats. Förbli öppen: Artins gissningar om oändligheten av uppsättningen primtal, frågan om oändligheten av antalet primtal, många andra teorier.
Idag är de viktigaste komponenterna i vilka talteori är indelade teorier: elementära, stora siffror, slumptal, analytiska, algebraiska.
Elementär talteori handlar om studienheltal utan att använda metoder och begrepp från andra matematiska grenar. Fibonacci-tal, Fermats lilla sats, är de vanligaste begreppen från denna teori som är kända även för skolbarn.
Teorin om stort antal (eller lagen om stort antal) -ett underavsnitt av sannolikhetsteori som försöker bevisa att det aritmetiska medelvärdet (med andra ord det empiriska medelvärdet) för ett stort urval närmar sig den matematiska förväntningen (som också kallas det teoretiska medelvärdet) för detta urval under villkoret av en fast fördelning.
Slumpmässig talteori som delar upp alla händelser iosäker, deterministisk och slumpmässig, försöker bestämma sannolikheten för komplexa händelser genom sannolikheten för enkla händelser. Detta avsnitt innehåller egenskaperna för villkorliga sannolikheter och satsen för deras multiplikation, hypotesens teorem (som ofta kallas Bayes-formeln) etc.
Analytisk talteori, vilket framgår av dessnamn, för studier av matematiska värden och numeriska egenskaper använder metoder och tekniker för matematisk analys. En av de viktigaste riktningarna för denna teori är beviset på satsen (med komplex analys) på fördelningen av primtal.
Algebraisk talteori arbetar direkt med siffror, deras analoger (till exempel algebraiska tal), studerar teorin om delare, gruppers kohomologi, Dirichlet-funktioner etc.
Uppkomsten och utvecklingen av denna teori ledde till århundraden av försök att bevisa Fermats sats.
Fram till 1900-talet ansågs talteori vara abstraktvetenskap, "ren konst från matematik", som absolut inte har någon praktisk eller utilitaristisk tillämpning. Idag används dess beräkningar i kryptografiska protokoll, vid beräkning av banor för satelliter och rymdprober, vid programmering. Ekonomi, finans, datavetenskap, geologi - alla dessa vetenskaper idag är omöjliga utan talteori.
