Човек може бити сигуран сто постоodsto, da će na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze, svaka odrasla osoba smelo odgovoriti: „Zbir kvadrata kateta“. Ova teorema je čvrsto ukorenjena u glavama svakog obrazovanog čoveka, ali dovoljno je tražiti od nekoga da to dokaže i tada mogu nastati poteškoće. Zato, hajde da se setimo i razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme.
Преглед биографије
Питагорина теорема је позната готово свима, алииз неког разлога, биографија особе која га је произвела није толико популарна. Може се поправити. Стога, пре него што истражимо различите методе доказивања Питагорине теореме, морате се кратко упознати са његовом личношћу.
Пифагор – философ, математик, мыслитель родом из Анциент Грееце. Данас је веома тешко разликовати његову биографију од легенди које су се формирале у знак сећања на овог великог човека. Али, као што следи из његових следбеника, Питагора са Самоса је рођен на острву Самос. Његов отац је био обичан каменорезац, али његова мајка је дошла из племићке породице.
Prema legendi, rođenje Pitagorepredvidela je žena po imenu Pitija, u čiju čast je dečak dobio ime. Према њеном предвиђању, рођени дечак је требало да донесе много користи и доброте човечанству. Што је заправо и учинио.
Rođenje teoreme
U mladosti, Pitagora se preselio sa ostrva Samos uEgipat da se tamo sretne sa poznatim egipatskim mudracima. Nakon susreta sa njima, primljen je na studije, gde je naučio sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.
Вероватно је Питагора био инспирисан у Египтуveličanstvenosti i lepote piramida i stvorio svoju veliku teoriju. Ovo može šokirati čitaoce, ali savremeni istoričari veruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Svoje znanje je samo preneo svojim sledbenicima, koji su kasnije završili sve potrebne matematičke proračune.
Како год било, данас није позната ни једнаметод доказивања ове теореме, али неколико одједном. Danas možemo samo da nagađamo kako su tačno stari Grci pravili svoje proračune, pa ćemo ovde razmotriti različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme.
Питагорина теорема
Пре него што започнете било какве прорачуне, морате да схватите која теорија треба да се докаже. Питагорина теорема гласи: „У троуглу чији је један од углова једнак 90о, zbir kvadrata kateta je jednak kvadratu hipotenuze.“
Ukupno, postoji 15 različitih načina da se dokaže Pitagorina teorema. Ovo je prilično velika cifra, pa hajde da obratimo pažnju na najpopularnije od njih.
Метод један
Прво, означимо шта нам је дато. Ови подаци ће важити и за друге методе доказивања Питагорине теореме, тако да се одмах сетите свих доступних записа.
Pretpostavimo da je dat pravougli trougao, sa kracima a, b i hipotenuzom jednakom c. Prvi metod dokazivanja zasniva se na činjenici da se kvadrat mora izvući iz pravouglog trougla.
Da biste to uradili, potrebna vam je noga dužine aнацртати сегмент једнак краку ц, и обрнуто. Ово би требало да створи две једнаке стране квадрата. Ostaje samo da nacrtate dve paralelne linije i kvadrat je spreman.
Unutar rezultujućeg oblika, potrebno je da nacrtate višejedan kvadrat sa stranicom jednakom hipotenuzi prvobitnog trougla. Da biste to uradili, iz vrhova ac i sv, potrebno je da nacrtate dva paralelna segmenta jednaka c. Тако добијамо три странице квадрата, од којих је једна хипотенуза првобитног правоуглог троугла. Остаје само да се заврши четврти сегмент.
Na osnovu dobijene figure, možemo zaključiti da je površina spoljašnjeg kvadrata (a + b)2... Ako pogledate unutar figure, možete videti da pored unutrašnjeg kvadrata sadrži četiri pravougla trougla. Површина сваке је једнака 0,5 ав.
Dakle, površina je: 4 * 0,5av + s2= 2av + s2
Dakle (a + b)2= 2av + s2
I, prema tome, sa2= а2+ ин2
Teorema je dokazana.
Drugi metod: slični trouglovi
Ova formula za dokaz Pitagorine teoremeje izvedena na osnovu iskaza iz odeljka geometrije o sličnim trouglovima. Kaže da je krak pravouglog trougla proporcionalan prosek njegove hipotenuze i segmenta hipotenuze koji izlazi iz temena ugla 90о.
Почетни подаци остају исти, па да кренемо одмах са доказом. Нацртајмо сегмент СД окомит на страницу АБ. На основу горње изјаве, катете троуглова су:
AC = √AB * HELL, SV = √AB * DV.
Да би се одговорило на питање како доказати Питагорину теорему, доказ се мора завршити квадрирањем обе неједначине.
КАО2= АБ * ПАКАО и СВ2= AB * DV
Sada morate da saberete dobijene nejednakosti.
КАО2+ CB2= АБ * (ПАКЛО * ДВ), где је ХЕЛЛ + ДВ = АБ
Испада да:
КАО2+ CB2= AB * AB
И стога:
КАО2+ CB2= AB2
Dokaz Pitagorine teoreme i različiti načini njenog rešavanja zahtevaju svestran pristup ovom problemu. Međutim, ova opcija je jedna od najjednostavnijih.
Друга техника израчунавања
Опис различитих начина доказивања теоремеPitagora možda neće ništa reći dok ne počnete sami da vežbate. Mnoge tehnike pružaju ne samo matematičke proračune, već i konstrukciju novih figura iz prvobitnog trougla.
У овом случају, потребно је попунити још један правоугли троугао ВСД из крака БЦ. Dakle, sada postoje dva trougla sa zajedničkim krakom BC.
Znajući da površine takvih figura imaju odnos kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija, onda:
Саabc * са2- Sавд* у2 = Савд*a2- Sвсд*a2
Саabc*(са2-в2) = a2* (Савд-Свсд)
са2-в2= а2
са2= а2+ ин2
Пошто је ова опција тешко погодна за различите начине доказивања Питагорине теореме за 8. разред, можете користити следећу технику.
Najlakši način da se dokaže Pitagorina teorema. Коментара
Kako veruju istoričari, ovaj metod je bio prvi putkoristio za dokazivanje teoreme u staroj Grčkoj. To je najjednostavniji, jer ne zahteva apsolutno nikakve proračune. Ako je crtež pravilno nacrtan, onda je dokaz tvrdnje da je a2+ ин2= sa2 , биће јасно видљиво.
Uslovi za ovaj metod će se malo razlikovati od prethodnog. Da bismo dokazali teoremu, pretpostavimo da je pravougli trougao ABC jednakokraki.
Hipotenuza AC se uzima kao stranica kvadrata iделимо три његове стране. Pored toga, potrebno je nacrtati dve dijagonalne linije u rezultujućem kvadratu. Тако да се унутар њега налазе четири једнакокрака троугла.
Do krakova AB i CB takođe treba da nacrtate kvadrat i nacrtate po jednu dijagonalnu liniju u svakoj od njih. Prva linija je povučena iz temena A, druga iz C.
Sada morate pažljivo pogledati rezultujući crtež. Пошто на хипотенузи АЦ постоје четири троугла једнака оригиналном, а на катетама два, то говори о истинитости ове теореме.
Inače, zahvaljujući ovom metodu dokazivanja Pitagorine teoreme, rođena je poznata fraza: „Pitagorine pantalone su jednake u svim pravcima.
Dokaz J. Garfielda
Џејмс Гарфилд је 20. председник Сједињених Америчких Држава. Pored toga što je ostavio trag u istoriji kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i darovita samouka osoba.
На почетку каријере био је обичанnastavnik u narodnoj školi, ali ubrzo postaje direktor jedne od visokoškolskih ustanova. Želja za samorazvojom omogućila mu je da predloži novu teoriju za dokazivanje Pitagorine teoreme. Teorema i primer njenog rešenja su sledeći.
Prvo morate nacrtati dvapravouglih trouglova tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog. Vrhovi ovih trouglova moraju biti povezani da bi na kraju formirali trapez.
Као што знате, површина трапеза је једнака производу полузбира његових основа и висине.
С = а + б / 2 * (а + б)
Ако добијени трапез посматрамо као фигуру која се састоји од три троугла, онда се његова површина може наћи на следећи начин:
S = av / 2 * 2 + s2/ 2
Sada treba da izjednačite dva originalna izraza
2ав / 2 + с / 2 = (а + б)2/ 2
са2= а2+ ин2
О Питагориној теореми и методама њеног доказивања може се написати више од једног тома уџбеника. Ali da li ima smisla kada se ovo znanje ne može primeniti u praksi?
Практична примена Питагорине теореме
Nažalost, u savremenim školskim programimaupotreba ove teoreme je predviđena samo u geometrijskim zadacima. Матуранти ће ускоро напуштати зидове школе не знајући како своја знања и вештине могу применити у пракси.
У ствари, користите Питагорину теорему уsvako može da radi svoj svakodnevni život. И не само у професионалним активностима, већ иу обичним кућним пословима. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorina teorema i metode njenog dokaza mogu biti izuzetno neophodni.
Veza između teoreme i astronomije
Čini se kako se zvezde i trouglovi na papiru mogu povezati. U stvari, astronomija je naučna oblast u kojoj se Pitagorina teorema široko koristi.
На пример, размотрите кретање светлосног снопа у простору. Poznato je da se svetlost kreće u oba smera istom brzinom. Путања АБ, којом се светлосни сноп креће, назива се л. И пола времена потребног да светлост стигне од тачке А до тачке Б, назовимо т... И брзина зрака - ц. Испада да: c * t = l
Ако погледате баш овај зрак са другограван, на пример, из свемирског лајнера, који се креће брзином в, онда ће се таквим посматрањем тела њихова брзина променити. У овом случају, чак и стационарни елементи ће се кретати брзином в у супротном смеру.
Recimo da komični brod plovi udesno.Tada će se tačke A i B, između kojih je zrak bačen, pomeriti ulevo. Štaviše, kada se snop kreće od tačke A do tačke B, tačka A ima vremena da se pomeri i, shodno tome, svetlost će već stići u novu tačku C. Da biste pronašli polovinu udaljenosti za koju se tačka A pomerila, potrebno je da pomnožite brzina košuljice za polovinu vremena putovanja snopa (t ").
д = т "* в
A da biste pronašli koliko rastojanja može da pređe zrak svetlosti za to vreme, morate da označite polovinu puta novim slovom s i dobijete sledeći izraz:
s = c * t "
Ako zamislimo da su tačke svetlosti C i B, kao iпросторна линија је темена једнакокраког троугла, тада ће га сегмент од тачке А до линије поделити на два правоугла троугла. Zbog toga, zahvaljujući Pitagorinoj teoremi, možete pronaći udaljenost koju bi zrak svetlosti mogao da pređe.
с2 = л2 + д2
Ovaj primer, naravno, nije najbolji, jer samo nekolicina može imati sreće da ga isproba u praksi. Стога ћемо размотрити свакодневније примене ове теореме.
Радијус преноса мобилног сигнала
Već je nemoguće zamisliti savremeni život bez postojanja pametnih telefona. Али да ли би били од велике користи ако не би могли да повежу претплатнике путем мобилних комуникација?!
Kvalitet mobilne komunikacije direktno zavisi odвисина на којој се налази антена мобилног оператера. Da biste izračunali koliko daleko telefon može da primi signal od mobilnog tornja, možete primeniti Pitagorinu teoremu.
Recimo da treba da pronađete približnu visinu stacionarnog tornja tako da može da širi signal u radijusu od 200 kilometara.
AB (visina tornja) = x;
Avion (radijus prenosa signala) = 200 km;
OS (radijus globusa) = 6380 km;
Одавде
ОБ = ОА + АБОВ = р + к
Primenom Pitagorine teoreme saznajemo da minimalna visina tornja treba da bude 2,3 kilometra.
Pitagorina teorema u svakodnevnom životu
Začudo, pitagorina teorema se može ispostavitikorisno čak iu kućnim poslovima, kao što je određivanje visine garderobe, na primer. Na prvi pogled, nema potrebe da koristite tako složene proračune, jer možete jednostavno da izvršite merenja pomoću trake. Али многи су изненађени зашто се у процесу монтаже јављају одређени проблеми, ако су сва мерења узета више него тачно.
Činjenica je da će garderobahorizontalnom položaju i tek tada se podiže i postavlja uza zid. Prema tome, strana ormara u procesu podizanja konstrukcije treba slobodno da prolazi i po visini i po dijagonali prostorije.
Pretpostavimo da imate ormar sa dubinom od 800 mm.Udaljenost od poda do plafona je 2600 mm. Искусни произвођач намештаја ће вам рећи да висина ормарића треба да буде 126 мм мања од висине просторије. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primer.
Са идеалним димензијама кабинета проверавамо дејство Питагорине теореме:
АЦ = √АБ2+ √ВС2
AC = √24742+8002= 2600 mm - sve se konvergira.
Рецимо да висина ормана није 2474 мм, већ 2505 мм. Онда:
AC = √25052+ √8002= 2629 mm.
Zbog toga ovaj ormar nije pogodan za ugradnju u ovu prostoriju. Pošto podizanje u uspravan položaj može oštetiti njegovo telo.
Možda, razmatrajući različite načine dokazivanjaПитагорину теорему различитих научника, можемо закључити да је више него тачна. Sada možete koristiti primljene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi proračuni biti ne samo korisni, već i tačni.
