Obdĺžnik s pravými uhlami je ... súčet uhlov štvoruholníka

Jedna z najzaujímavejších tém geometrie zškolský kurz je „štvoruholník“ (8. ročník). Aké typy takýchto postáv existujú, aké špeciálne vlastnosti majú? Čo je jedinečné na deväťdesiatstupňových štvoruholníkoch? Poďme sa na to všetko pozrieť.

Aký geometrický tvar sa nazýva štvoruholník

Polygóny, ktoré pozostávajú zo štyroch strán a podľa toho zo štyroch vrcholov (rohov), sa v euklidovskej geometrii nazývajú štvoruholníky.

História názvu tohto typu figúrok je zaujímavá.V ruštine je podstatné meno „štvoruholník“ tvorené zo slovného spojenia „štyri rohy“ (rovnako ako „trojuholník“ - tri uhly, „päťuholník“ - päť uhlov atď.).

Avšak v latinčine (prostredníctvom ktorejprišlo veľa geometrických výrazov vo väčšine jazykov sveta) nazýva sa to štvoruholník. Toto slovo je tvorené číslovkou quadri (štyri) a podstatným menom latus (strana). Môžeme teda dospieť k záveru, že starí ľudia tento polygón označovali ako „štvorstranný“.

Mimochodom, tento názov (s dôrazom na prítomnosťpostavy tohto druhu zo štyroch strán, nie rohov) sa zachovalo v niektorých moderných jazykoch. Napríklad v angličtine je to štvoruholník a vo francúzštine to je quadrilatère.

Navyše vo väčšine slovanských jazykovtyp predmetných figúrok je stále identifikovaný počtom rohov, nie strán. Napríklad v slovenčine (štvoruholník), v bulharčine („chetyr'g'lnik“), v bieloruštine („chatyrohkutnik“), v ukrajinčine („chotirikutnik“), v češtine (čtyřúhelník), ale v poľštine sa štvoruholník nazýva podľa počtu strán - cz.

Aké typy štvoruholníkov sa študujú v školských osnovách

V modernej geometrii existujú 4 typy mnohouholníkov so štyrmi stranami.

Kvôli príliš zložitým vlastnostiam niektorých z nich sa však na hodinách geometrie študenti zoznamujú iba s dvoma typmi.

• Rovnobežník Protichodné strany takéhoto štvoruholníka sú navzájom párové rovnobežné a podľa toho sú si tiež rovnaké v pároch.
• Lichobežník (lichobežník alebo lichobežník). Tento štvoruholník sa skladá z dvoch protiľahlých strán, ktoré sú navzájom rovnobežné. Druhá dvojica strán však túto vlastnosť nemá.

Typy štvoruholníkov, ktoré neboli študované v školskom kurze geometrie

Okrem vyššie uvedeného existujú ešte ďalšie dva typy štvoruholníkov, s ktorými sa školáci na hodinách geometrie zoznamujú nie kvôli ich osobitnej zložitosti.

• Deltoid (drak) - figúra, na ktorej je každý z dvoch susedných párovstrany majú rovnakú dĺžku. Takýto štvoruholník dostal svoje meno kvôli tomu, že vo vzhľade dosť silno pripomína písmeno gréckej abecedy - „delta“.
• Antiparalelogram - tento údaj je rovnako zložitý ako jeho názov.V ňom sú dve protiľahlé strany rovnaké, ale zároveň nie sú navzájom rovnobežné. Okrem toho sa pretínajú dlhé protiľahlé strany tohto štvoruholníka, rovnako ako predĺženia ďalších dvoch kratších strán.

Druhy rovnobežníka

Po zaoberaní sa hlavnými typmi štvoruholníkov by ste mali venovať pozornosť jeho poddruhu. Takže všetky paralelogramy sú zasa tiež rozdelené do štyroch skupín.

• Klasický rovnobežník.
• Kosoštvorec (kosoštvorec) - štvoruholníková postava s rovnakými stranami. Jeho uhlopriečky sa pretínajú v pravých uhloch a delia kosoštvorec na štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky.
• Obdĺžnik Názov hovorí za všetko. Pretože ide o obdĺžnik s pravými uhlami (každý z nich sa rovná deväťdesiatich stupňom). Jeho protiľahlé strany sú nielen navzájom rovnobežné, ale aj rovnaké.
• Námestie Rovnako ako obdĺžnik je štvoruholník spravé uhly, ale všetky strany sú si navzájom rovné. Vďaka tomu je tento údaj podobný kosoštvorcu. Možno teda tvrdiť, že štvorec je krížením kosoštvorca a obdĺžnika.

Špeciálne vlastnosti obdĺžnika

Vzhľadom na tvary, v ktorých každý z rohovmedzi stranami, rovnajúcimi sa deväťdesiatim stupňom, stojí za to sa bližšie zdržiavať na obdĺžniku. Aké sú teda špeciálne vlastnosti, ktoré ho odlišujú od ostatných rovnobežníkov?

Tvrdiť, že uvažovanérovnobežník je obdĺžnik, ktorého uhlopriečky sa musia navzájom rovnať a každý z rohov musí byť rovný. Okrem toho musí štvorec jeho uhlopriečok zodpovedať súčtu štvorcov dvoch susedných strán tohto obrázku. Inými slovami, klasický obdĺžnik sa skladá z dvoch pravouhlých trojuholníkov a v nich, ako viete, sa súčet štvorcov nôh rovná štvorcu prepony. Uhlopriečka uvažovaného štvoruholníka slúži ako prepona.

Posledný z uvedených znakov tohto obrázkuje tiež jeho zvláštnym majetkom. Okrem toho existujú aj ďalšie. Napríklad skutočnosť, že všetky strany študovaného štvoruholníka s pravými uhlami sú súčasne jeho výškami.

Ak navyše nakreslíte kruh okolo ľubovoľného obdĺžnika, jeho priemer sa bude rovnať uhlopriečke vpísanej figúry.

Z ďalších vlastností tohto štvoruholníka potomže je plochá a neexistuje v neeuklidovskej geometrii. Je to spôsobené tým, že v takomto systéme neexistujú štvoruholníkové obrazce, ktorých súčet uhlov sa rovná tristošesťdesiat stupňom.

Námestie a jeho vlastnosti

Po zaoberaní sa znakmi a vlastnosťami obdĺžnika stojí za to venovať pozornosť druhému štvoruholníku s pravými uhlami, ktorý je vedecky známy (jedná sa o štvorec).

Keďže ide v skutočnosti o rovnaký obdĺžnik, ale s rovnakými stranami, má tento údaj všetky svoje vlastnosti. Ale na rozdiel od neho je štvorec prítomný v neeuklidovskej geometrii.

Tento údaj má navyše aj ďalšievlastné charakteristické črty. Napríklad skutočnosť, že uhlopriečky štvorca sa navzájom nerovnajú, ale aj sa pretínajú v pravých uhloch. Rovnako ako kosoštvorec sa teda štvorec skladá zo štyroch pravouhlých trojuholníkov, na ktoré je rozdelený uhlopriečkami.

Tento údaj je navyše najsymetrickejší zo všetkých štvoruholníkov.

Aký je súčet uhlov štvoruholníka

Ak vezmeme do úvahy vlastnosti štvoruholníkov euklidovskej geometrie, stojí za to venovať pozornosť ich uhlom.

Takže na každom z vyššie uvedených číselbez ohľadu na to, či má pravé uhly alebo nie, ich celkový súčet je vždy rovnaký - tristošesťdesiat stupňov. Jedná sa o jedinečnú vlastnosť tohto typu postavy.

Obvod štvoruholníkov

Po zaoberaní sa tým, čo sa rovná súčtu uhlovštvoruholník a ďalšie špeciálne vlastnosti figúrok tohto typu, stojí za to zistiť, ktoré vzorce je najlepšie použiť na výpočet ich obvodu a plochy.

Ak chcete určiť obvod ľubovoľného štvoruholníka, stačí pridať dĺžku všetkých jeho strán k sebe.

Napríklad v tvare KLMN možno jeho obvod vypočítať pomocou vzorca: P = KL + LM + MN + KN. Ak tu nahradíte čísla, získate: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

V prípade, že ide o kosoštvorecalebo štvorec, aby ste našli obvod, môžete vzorec zjednodušiť jednoduchým vynásobením dĺžky jednej z jeho strán štyrmi: P = KL x 4. Napríklad: 6 x 4 = 24 (cm).

Plošné štvorstranné vzorce

Keď ste prišli na to, ako nájsť obvod ľubovoľného tvaru so štyrmi rohmi a bokmi, stojí za zváženie najpopulárnejších a najjednoduchších spôsobov, ako nájsť jeho oblasť.

• Klasický spôsob výpočtu jepoužite vzorec S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Ukazuje sa, že plocha ľubovoľného štvoruholníka sa rovná polovici súčinu jeho uhlopriečok o sínus uhla medzi nimi.
• Ak je číslo, ktorého oblasť sa má nájsť, jeobdĺžnik alebo štvorec (ktorých uhlopriečky sú vždy navzájom rovnaké), môžete vzorec zjednodušiť tak, že dĺžku jednej uhlopriečky vydelíte druhou mocninou a vynásobíte sínusom uhla medzi nimi a všetko rozdelíte na polovicu. Napríklad: S = 1/2 KM ² x SIN LON.
• Pri hľadaní oblasti obdĺžnika tiežpomocné informácie o obvode príslušnej postavy a dĺžke jednej z jej strán. V takom prípade by bolo najužitočnejšie použiť vzorec S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• V prípade štvorca vám jeho vlastnosti umožňujú použiť na nájdenie oblasti niekoľko ďalších vzorcov. Napríklad, ak poznáte obvod obrázku, môžete použiť túto možnosť: S = P ²/ 16. A ak je známy polomer kruhu vpísaného do štvoruholníka, zistí sa plocha štvorca veľmi podobným spôsobom: S = 4r²... Ak je známy polomer opísanej kružnice, urobí sa ďalší vzorec: S = 2R²... Plocha štvorca je tiež 0,8-násobok dĺžky čiary vedenej od rohu figúry k stredu opačnej strany.
• Okrem všetkého vyššie uvedeného existuje ajsamostatný vzorec na vyhľadanie oblasti, vypočítaný špeciálne pre rovnobežník. Môže sa použiť, ak poznáte dĺžku dvoch výšok tvaru a veľkosť uhla medzi nimi. Potom sa musia medzi sebou vynásobiť výšky a sínus uhla medzi nimi. Stojí za zmienku, že tento vzorec môžete použiť pre všetky tvary, ktoré patria do rovnobežníkov (to znamená na obdĺžnik, kosoštvorec a štvorec).

Ďalšie vlastnosti štvoruholníkov: vpísané a opísané kruhy

Po zvážení vlastností a vlastností štvoruholníka ako postavy euklidovskej geometrie stojí za to venovať pozornosť schopnosti opísať kruhy alebo do nich vpísať:

• Ak súčty opačných uhlov obrázku sú každý po osemdesiatich stupňoch a sú rovnaké v pároch, potom je možné okolo takého štvoruholníka voľne opísať kruh.
• Podľa Ptolemaiovej vety, ak je vonkumnohouholníka so štyrmi stranami je opísaná kružnica, potom sa súčin jej uhlopriečok rovná súčtu súčinov opačných strán tohto obrázku. Vzorec teda bude vyzerať takto: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Ak postavíte štvoruholník, v ktorom súčty protiľahlých strán sú navzájom rovnaké, potom do neho možno vpísať kruh.

Keď sme prišli na to, čo je to štvoruholník,aké druhy existujú, ktoré z nich majú len pravé uhly medzi stranami a aké vlastnosti majú, stojí za to pamätať na celý tento materiál. Najmä vzorec na zistenie obvodu a plochy uvažovaných mnohouholníkov. Koniec koncov, údaje tohto tvaru sú jedným z najbežnejších a tieto vedomosti môžu byť užitočné pre výpočty v reálnom živote.