Lumea este aranjată în așa fel încât soluția unui număr mareproblemele se reduc la găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Rădăcinile ecuațiilor sunt importante pentru descrierea diferitelor tipare. Acest lucru era cunoscut chiar și de topografii din Babilonul antic. Astronomii și inginerii au fost nevoiți să rezolve și astfel de probleme. În secolul al VI-lea d.Hr., omul de știință indian Aryabhata a dezvoltat bazele pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Formulele au luat un aspect terminat în secolul al XIX-lea.
Concepte generale
Vă sugerăm să vă familiarizați cu legile de bază ale egalităților pătratice. În termeni generali, egalitatea poate fi scrisă după cum urmează:
topor2 + bx + c = 0,
Numărul rădăcinilor unei ecuații pătratice poate fi una sau două. O analiză rapidă se poate face folosind noțiunea de discriminanți:
D = b2 - 4ac
În funcție de valoarea calculată, obținem:
- Pentru D> 0, există două rădăcini diferite. Formula generală pentru determinarea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată ca (-b ± √D) / (2a).
- D = 0, în acest caz rădăcina este una și corespunde valorii x = -b / (2a)
- D <0, nu există nicio soluție la ecuație pentru o valoare negativă a discriminantului.
Notă: dacă discriminantul este negativ, ecuația nu are rădăcini doar în intervalul numerelor reale. Dacă algebra este extinsă la conceptul de rădăcini complexe, atunci ecuația are o soluție.
Iată un lanț de acțiuni care confirmă formula pentru găsirea rădăcinilor.
Din forma generală a ecuației, rezultă:
topor2 + bx = -c
Înmulțiți laturile dreapta și stânga cu 4a și adăugați b2, primim
4a2cu2 + 4abx + b2 = -4ac + b2
Transformați partea stângă ca un polinom pătrat (2ax + b)2... Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației 2ax + b = -b ± √ (-4ac + b2), transferăm coeficientul b în partea dreaptă, obținem:
2ax = -b ± √ (-4ac + b2)
Asta implică:
x = (-b ± √ (b2 - 4ac))
Ceea ce trebuia arătat.
Un caz special
În unele cazuri, rezolvarea problemei poate fi simplificată. Deci, pentru un coeficient egal b, obținem o formulă mai simplă.
Notăm k = 1 / 2b, atunci formula formei generale a rădăcinilor ecuației pătratice ia forma:
x = (-k ± √ (k2 - ac)) / a
Pentru D = 0, obținem x = -k / a
Un alt caz special va fi soluția ecuației pentru a = 1.
Pentru vizualizarea x2 + bx + c = 0 rădăcinile vor fi x = -k ± √ (k2 - c) când discriminantul este mai mare de 0. Pentru cazul în care D = 0, rădăcina va fi determinată printr-o formulă simplă: x = -k.
Folosind diagrame
Orice persoană, fără să știe măcar, se confruntă în mod constant cu fenomene fizice, chimice, biologice și chiar sociale care sunt bine descrise de o funcție pătratică.
Notă: O curbă bazată pe o funcție pătratică se numește parabolă.
Aici sunt cateva exemple.
- La calcularea traiectoriei unui proiectil, se utilizează proprietatea mișcării de-a lungul unei parabole a unui corp tras la un unghi față de orizont.
- Proprietatea unei parabole de a distribui uniform încărcătura este larg utilizată în arhitectură.
Înțelegând importanța unei funcții parabolice, să ne dăm seama cum să folosim un grafic pentru a-i explora proprietățile folosind conceptele de „discriminant” și „rădăcini ale unei ecuații pătratice”.
În funcție de valoarea coeficienților a și b, există doar șase opțiuni pentru poziția curbei:
- Discriminantul este pozitiv, a și b au semne diferite. Ramurile parabolei se îndreaptă în sus, ecuația pătratică are două soluții.
- Discriminantul și coeficientul b sunt egale cu zero, coeficientul a este mai mare decât zero. Graficul se află în zona pozitivă, ecuația are 1 rădăcină.
- Discriminantul și toți coeficienții sunt pozitivi. Ecuația pătratică nu are nicio soluție.
- Discriminantul și coeficientul a sunt negative, b este mai mare decât zero. Ramurile graficului sunt direcționate în jos, ecuația are două rădăcini.
- Discriminantul și coeficientul b sunt egale cu zero, coeficientul a este negativ. Parabola privește în jos, ecuația are o rădăcină.
- Discriminantul și toți coeficienții sunt negativi. Nu există soluții, valorile funcției sunt complet în zona negativă.
Notă: opțiunea a = 0 nu este luată în considerare, deoarece în acest caz parabola degenerează într-o linie dreaptă.
Toate cele de mai sus sunt bine ilustrate de figura de mai jos.
Exemple de rezolvare a problemelor
Stare: folosind proprietăți generale, faceți o ecuație pătratică, ale cărei rădăcini sunt egale una cu cealaltă.
Decizie:
prin starea problemei x1 = x2sau -b + √ (b2 - 4ac) / (2a) = -b + √ (b2 - 4ac) / (2a). Simplificarea intrării:
-b + √ (b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √ (b2 - 4ac) / (2a)) = 0, deschideți parantezele și dați termeni similari. Ecuația ia forma 2√ (b2 - 4ac) = 0. Această afirmație este adevărată când b2 - 4ac = 0, deci b2 = 4ac, atunci valoarea b = 2√ (ac) este substituită în ecuație
topor2 + 2√ (ac) x + c = 0, în forma redusă obținem x2 + 2√ (c / a) x + c = 0.
Răspunsul este:
pentru a care nu este egal cu 0 și orice c, există o singură soluție dacă b = 2√ (c / a).
Ecuații pătratice pentru toată simplitatea lorsunt de mare importanță în calculele inginerești. Aproape orice proces fizic poate fi descris cu o oarecare aproximare folosind funcțiile puterii-legea de ordinul n. Ecuația pătratică va fi prima astfel de aproximare.
