Ce este o linie tangentă la un cerc? Cerculează proprietățile tangente. Tangentă comună la două cercuri

Secante, tangente - toate acestea puteau fi auzite de sute de ori în lecțiile de geometrie. Dar absolvirea școlii s-a încheiat, trec anii și toate aceste cunoștințe sunt uitate. Ce ar trebui să ne amintim?

esență

Termenul „tangent la un cerc” esteprobabil toată lumea. Dar aproape toată lumea nu va putea să-și formuleze rapid definiția. Între timp, o linie tangentă se numește o linie dreaptă situată în același plan cu un cerc, care o intersectează doar într-un punct. Pot exista o mare varietate de ele, dar toate au aceleași proprietăți, care vor fi discutate mai jos. După cum ați putea ghici, punctul de tangență este locul în care cercul și linia se intersectează. În fiecare caz specific, este unul, dar dacă există mai multe dintre ele, atunci va fi deja o secantă.

Istoria descoperirii și studiului

Conceptul unei linii tangente datează din antichitate.Construcția acestor linii drepte, mai întâi într-un cerc, apoi în elipse, parabole și hiperbolă folosind o riglă și busolă, a fost realizată în etapele inițiale ale dezvoltării geometriei. Desigur, istoria nu a păstrat numele descoperitorului, dar este evident că chiar și în acea perioadă oamenii erau destul de conștienți de proprietățile tangentei la un cerc.

În timpurile moderne, interesul pentru acest fenomen a luat nașteredin nou - a început o nouă rundă de studiu a acestui concept în combinație cu descoperirea de noi curbe. Deci, Galileo a introdus conceptul de cicloid, iar Fermat și Descartes i-au construit o tangentă. În ceea ce privește cercurile, se pare că nu au rămas secrete pentru antici în această zonă.

proprietăţi

Raza trasă spre intersecție va fi perpendiculară pe linie. aceasta

principala, dar nu singura proprietate careare o tangentă la cerc. O altă caracteristică importantă include deja două linii drepte. Deci, printr-un punct aflat în afara cercului, puteți desena două tangente, în timp ce segmentele lor vor fi egale. Există încă o teoremă pe această temă, dar este rar adoptată în cadrul unui curs școlar standard, deși este extrem de convenabilă pentru rezolvarea unor probleme. Sună așa. Dintr-un punct situat în afara cercului, o tangentă și o secantă sunt atrase de acesta. Se formează segmentele AB, AC și AD. A este intersecția liniilor, B este punctul de tangență, C și D sunt intersecții. În acest caz, următoarea egalitate va fi adevărată: lungimea tangentei la cerc, pătrată, va fi egală cu produsul segmentelor AC și AD.

Există o consecință importantă a celor de mai sus.Pentru fiecare punct al cercului, puteți trasa o linie tangentă, dar numai una. Dovada acestui lucru este destul de simplă: teoretic, aruncând perpendicularul din rază pe el, aflăm că triunghiul format nu poate exista. Și asta înseamnă că tangenta este singura.

Clădire

Printre alte probleme în geometrie, există o categorie specială, de obicei nu

iubit de elevi și studenți. Pentru a rezolva sarcini din această categorie, aveți nevoie doar de o busolă și o riglă. Acestea sunt sarcini de construire. Există, de asemenea, pentru construirea unei linii tangente.

Deci, dat un cerc și un punct care se află în afara acestuiahotarele. Și trebuie să trasezi o tangentă prin ele. Cum se poate face acest lucru? În primul rând, trebuie să desenați un segment între centrul cercului O și un punct dat. Apoi, folosind o busolă, ar trebui să o împărțiți în jumătate. Pentru a face acest lucru, trebuie să setați o rază - puțin peste jumătate din distanța dintre centrul cercului original și acest punct. După aceea, trebuie să construiți două arcuri care se intersectează. Mai mult, raza busolei nu trebuie modificată, iar centrul fiecărei părți a cercului va fi punctul inițial și, respectiv, O. Intersecțiile arcurilor trebuie conectate, ceea ce va împărți linia în jumătate. Setați raza pe busolă egală cu această distanță. Apoi, cu centrul la punctul de intersecție, construiți un alt cerc. Atât punctul inițial, cât și O. vor sta pe el. În acest caz, vor mai exista două intersecții cu cercul dat în problemă. Acestea vor fi punctele de tangență pentru punctul specificat inițial.

interesant

Construcția tangențelor la cerc a condus la naștere

calcul diferențial.Prima lucrare pe această temă a fost publicată de celebrul matematician german Leibniz. Acesta prevedea posibilitatea de a găsi maxime, minime și tangente indiferent de valorile fracționare și iraționale. Ei bine, acum este folosit și pentru multe alte calcule.

În plus, tangenta la cerc este asociată cusensul geometric al tangentei. De aici provine numele său. Tradus din latină tangens - „tangent”. Astfel, acest concept este asociat nu numai cu geometria și calculul diferențial, ci și cu trigonometria.

Două cercuri

Tangenta nu afectează întotdeauna doar o singură figură.Dacă un set imens de linii drepte poate fi trasat într-un cerc, atunci de ce nu invers? Poate sa. Dar problema în acest caz este foarte complicată, deoarece tangenta la două cercuri poate să nu treacă prin niciun punct, iar poziția relativă a tuturor acestor figuri poate fi foarte

diferit.

Tipuri și soiuri

Când vine vorba de două cercuri și unul saumai multe linii drepte, atunci chiar dacă se știe că acestea sunt tangente, nu devine imediat clar modul în care toate aceste cifre sunt situate unul în raport cu celălalt. Pe baza acestui fapt, se disting mai multe soiuri. Deci, cercurile pot avea unul sau două puncte comune sau nu le au deloc. În primul caz, se vor intersecta, iar în al doilea, vor atinge. Și aici se disting două soiuri. Dacă un cerc este, cum ar fi, cuibărit în al doilea, atunci atingerea se numește internă, dacă nu, atunci externă. Este posibil să se înțeleagă poziția relativă a figurilor nu numai pe baza desenului, ci și a informațiilor despre suma razelor lor și distanța dintre centrele lor. Dacă aceste două valori sunt egale, atunci cercurile sunt tangente. Dacă primul este mai mult, se intersectează și, dacă este mai puțin, atunci nu au puncte comune.

La fel se întâmplă și cu liniile drepte. Pentru orice două cercuri care nu au puncte comune, puteți

construiește patru tangente. Două dintre ele se vor intersecta între forme, sunt numite interne. Câțiva alții sunt externi.

Dacă vorbim despre cercuri care au unulpunct comun, atunci sarcina este mult simplificată. Faptul este că pentru orice poziție relativă, în acest caz, vor avea o singură tangentă. Și va trece prin punctul de intersecție a acestora. Deci construcția nu va cauza dificultăți.

Dacă figurile au două puncte de intersecție, atuncipentru ei, se poate construi o linie dreaptă tangentă la cercul unuia și al celui de-al doilea, dar numai la cel exterior. Soluția la această problemă este similară cu ceea ce va fi discutat mai jos.

Rezolvarea problemelor

Atât tangentă internă, cât și externă la douăcercurile, în construcție, nu sunt atât de simple, deși această problemă este rezolvabilă. Faptul este că pentru aceasta se folosește o figură auxiliară, deci gândiți-vă la această metodă

destul de problematic. Deci, date două cercuri cu raze și centre diferite O1 și O2. Pentru ei, trebuie să construiți două perechi de tangente.

În primul rând, aproape de centrul cercului mai maretrebuie să construiești unul auxiliar. În acest caz, diferența dintre razele celor două figuri originale trebuie stabilită pe busolă. Tangentele cercului auxiliar sunt construite din centrul cercului mai mic. După aceea, de la O1 și O2, se trasează perpendiculare pe aceste linii până se intersectează cu figurile originale. După cum rezultă din proprietatea principală a liniei tangente, se găsesc punctele necesare pe ambele cercuri. Problema este rezolvată, cel puțin prima sa parte.

Pentru a construi tangențe interne, va trebui să rezolvați practic

o sarcină similară.Veți avea nevoie din nou de o formă secundară, dar de data aceasta raza acesteia va fi egală cu suma celor originale. Tangentele sunt atrase de acesta din centrul unuia dintre aceste cercuri. Următorul curs al soluției poate fi înțeles din exemplul anterior.

Tangent la un cerc sau chiar două sau mai multe -nu o sarcină atât de dificilă. Desigur, matematicienii au încetat de mult să rezolve astfel de probleme manual și să încredințeze calculele unor programe speciale. Dar nu credeți că acum nu este necesar să o puteți face singur, deoarece pentru a formula corect o sarcină pentru un computer, trebuie să faceți și să înțelegeți multe. Din păcate, există temeri că după tranziția finală la forma de testare a controlului cunoștințelor, construirea sarcinilor va provoca din ce în ce mai multe dificultăți elevilor.

În ceea ce privește găsirea tangențelor comune pentru un număr mare de cercuri, acest lucru nu este întotdeauna posibil, chiar dacă acestea se află în același plan. Dar, în unele cazuri, puteți găsi o astfel de linie dreaptă.

Exemple din viața reală

O tangentă comună la două cercuri este adeseaapare în practică, deși acest lucru nu este întotdeauna vizibil. Transportoare, sisteme de blocuri, curele de transfer ale scripetelor, tensiunea firului într-o mașină de cusut și chiar doar un lanț de biciclete - toate acestea sunt exemple din viață. Așadar, nu credeți că problemele geometrice rămân doar în teorie: găsesc aplicații practice în inginerie, fizică, construcții și multe alte domenii.