Diferențiale - ce sunt? Cum găsesc diferențialul unei funcții?

Alături de derivate funcțiile lor diferenţialele sunt unul dintre conceptele de bază ale diferenţialuluicalculul, ramura principală a analizei matematice. Fiind indisolubil legate, ambele au fost utilizate în mod activ timp de câteva secole în rezolvarea aproape a tuturor problemelor apărute în procesul activității științifice și tehnice umane.

Apariția conceptului de diferențial

Mai întâi am explicat ce este un diferențial, unulPrintre creatorii (împreună cu Isaac Newton) ai calculului diferenţial se numără şi celebrul matematician german Gottfried Wilhelm Leibniz. Înainte de aceasta, matematicienii 17 Art. a folosit o idee foarte neclară și vagă a unei părți infinitezimale „indivizibile” a oricărei funcții cunoscute, reprezentând o valoare constantă foarte mică, dar nu egală cu zero, mai mică decât valorile funcției pur și simplu nu pot fi. De aici a mai fost un singur pas până la introducerea conceptului de incrementări infinitezimale ale argumentelor funcțiilor și a incrementelor corespunzătoare ale funcțiilor în sine, exprimate prin derivatele acestora din urmă. Și acest pas a fost făcut aproape simultan de cei doi mari oameni de știință menționați mai sus.

Pe baza nevoii de a rezolva urgentprobleme practice ale mecanicii, pe care industria și tehnologia în dezvoltare rapidă le-au pus științei, Newton și Leibniz au creat metode generale pentru găsirea ratei de schimbare a funcțiilor (în primul rând în raport cu viteza mecanică a unui corp de-a lungul unei traiectorii cunoscute), ceea ce a condus la introducerea unor concepte precum derivata și diferența unei funcții și, de asemenea, a găsit un algoritm pentru rezolvarea problemei inverse, cum să găsiți distanța parcursă de la o viteză (variabilă) cunoscută, ceea ce a condus la apariția conceptului de integrală. .

În lucrările lui Leibniz și Newton au apărut pentru prima datăideea că diferențialele sunt părțile principale ale creșterilor funcțiilor Δy proporționale cu incrementele argumentelor Δx, care pot fi aplicate cu succes pentru a calcula valorile acestora din urmă. Cu alte cuvinte, ei au descoperit că incrementul unei funcții poate fi exprimat în orice punct (în domeniul său de definiție) în termenii derivatei sale ca 0, mult mai rapid decât Δx însuși.

Potrivit fondatorilor analizei matematice,diferențiale sunt doar primii termeni în expresiile incrementelor oricăror funcții. Neavând încă un concept clar formulat al limitei secvențelor, ei au înțeles intuitiv că valoarea diferenţialului tinde spre derivata funcţiei ca Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

Spre deosebire de Newton, care a fost în primul rândfizician și a considerat aparatul matematic ca un instrument auxiliar pentru studiul problemelor fizice, Leibniz a acordat mai multă atenție acestui set de instrumente în sine, inclusiv un sistem de notație vizuală și de înțeles pentru mărimile matematice. El a propus notația general acceptată pentru diferențele funcției dy \u003d y "(x) dx, argumentul dx și derivata funcției sub forma raportului lor y" (x) \u003d dy / dx .

Definiție modernă

Ce este o diferență în ceea ce privește matematica modernă? Este strâns legat de conceptul de increment variabil. Dacă variabila y ia mai întâi valoarea y = y₁și apoi y = y₂, apoi diferența y₂ -y₁ se numește increment al lui y.

Creșterea poate fi pozitivă. negativ și egal cu zero. Cuvântul „increment” este notat cu Δ, notația Δy (a se citi „delta y”) denotă creșterea lui y. deci Δу = y₂ -y₁.

Dacă valoarea Δy a unei funcții arbitrare y = f (x)poate fi reprezentat ca Δу = A Δх + α, unde A nu are nicio dependență de Δх, adică A = const pentru un x dat, iar termenul α la Δх→0 tinde către el chiar mai repede decât Δх însuși, apoi primul The ( „principal”) termenul proporțional cu Δx este diferența pentru y = f (x), notat dy sau df (x) (se citește „de y”, „de ef din x”). Prin urmare, diferențialele sunt componentele „principale” ale incrementelor de funcții care sunt liniare în raport cu Δx.

Interpretare mecanică

Fie s = f (t) distanța în linie dreaptăpunctul material în mișcare din poziția inițială (t este timpul de călătorie). Incrementul Δs este traseul punctului în intervalul de timp Δt, iar diferența ds = f „(t) Δt este calea pe care punctul ar fi parcurs în același timp Δt dacă ar fi menținut viteza f” (t ) atins la momentul t . Pentru un Δt infinit mic, calea imaginară ds diferă de adevărata Δs printr-o valoare infinitezimală, care are un ordin mai mare în raport cu Δt. Dacă viteza la momentul t nu este egală cu zero, atunci ds oferă valoarea aproximativă a deplasării mici a punctului.

Interpretare geometrică

Fie linia L graficul y = f(x).Apoi Δ x \u003d MQ, Δy \u003d QM "(a se vedea figura de mai jos). Tangenta MN împarte segmentul Δy în două părți, QN și NM". Primul este proporțional cu Δх și este egal cu QN = MQ∙tg (unghiul QMN) = Δх f "(x), adică QN este diferența dy.

A doua parte NM" dă diferența Δу ─ dy, la Δх→0lungimea NM "descrește chiar mai repede decât incrementul argumentului, adică ordinea sa de micime este mai mare decât cea a lui Δx. În cazul în cauză, pentru f "(x) ≠ 0 (tangenta nu este paralelă cu OX), segmentele QM" și QN sunt echivalente; cu alte cuvinte, NM "descrește mai repede (ordinea sa de micime este mai mare) decât incrementul total Δу = QM". Acest lucru se poate observa în figură (pe măsură ce M "se apropie de M, segmentul NM" reprezintă un procent din ce în ce mai mic din segmentul QM").

Deci, grafic, diferența unei funcții arbitrare este egală cu mărimea incrementului ordonatei tangentei sale.

Derivată și diferențială

Coeficientul A din primul termen al expresiei pentru incrementul funcției este egal cu valoarea derivatei sale f "(x). Astfel, are loc următoarea relație - dy \u003d f" (x) Δx sau df (x) \u003d f "(x) Δx.

Se știe că incrementul argumentului independent este egal cu diferența sa Δх = dx. În consecință, puteți scrie: f "(x) dx \u003d dy.

Găsirea (uneori numită „rezolvare”) diferențiale se realizează după aceleași reguli ca și pentru derivate. Lista lor este prezentată mai jos.

Ce este mai universal: creșterea argumentului sau diferența acestuia

Aici este necesar să facem câteva explicații.Reprezentarea prin valoarea f "(x) Δx a diferenţialului este posibilă atunci când se consideră x ca argument. Dar funcţia poate fi complexă, în care x poate fi o funcţie a unui argument t. Apoi reprezentarea diferenţialului prin expresia f „(x) Δx, de regulă, este imposibil; cu excepția cazului unei dependențe liniare x = la + b.

În ceea ce privește formula f „(x) dx \u003d dy, atunci în cazul unui argument independent x (atunci dx \u003d Δx), și în cazul unei dependențe parametrice a lui x de t, acesta reprezintă o diferență.

De exemplu, expresia 2 x Δx reprezintă pentru y = x² diferența sa când x este argumentul. Să punem acum x=t² și vom lua t drept argument. Atunci y = x² = t⁴.

Urmat de (t +Δt)² = t² + 2t∆t + ∆t². Prin urmare Δх = 2tΔt + Δt². Deci: 2xΔх = 2t² (2t∆t + ∆t² ).

Această expresie nu este proporțională cu Δt și, prin urmare, acum 2xΔх nu este o diferență. Poate fi găsită din ecuația y = x² = t⁴. Se dovedește a fi egal cu dy=4t³Δt.

Dacă luăm expresia 2xdx, atunci aceasta reprezintă diferența y = x² pentru orice argument t. Într-adevăr, pentru x= t² obținem dx = 2tΔt.

Deci 2xdx = 2t²2tΔt = 4t³Δt, adică expresiile diferențialelor scrise în termeni a două variabile diferite au coincis.

Înlocuirea creșterilor cu diferențiale

Dacă f "(x) ≠ 0, atunci Δу și dy sunt echivalente (pentru Δх→0); dacă f "(x) = 0 (ceea ce înseamnă dy = 0), nu sunt echivalente.

De exemplu, dacă y = x², atunci Δу = (x + Δх)² ─ x²= 2xΔх + Δх², și dy=2xΔх. Dacă x=3, atunci avem Δу = 6Δх + Δх² și dy = 6Δх, care sunt echivalente datorită Δх²→0, la х=0 valori Δу = Δх² și dy=0 nu sunt echivalente.

Acest fapt, împreună cu structura simplădiferenţială (adică liniaritatea faţă de Δx), este adesea folosită în calcule aproximative, în ipoteza că Δу ≈ dy pentru Δx mic. Găsirea diferenţialului unei funcţii este de obicei mai uşor decât calcularea valorii exacte a incrementului.

De exemplu, avem un cub de metal cu muchia x = 10.00 cm.La încălzire, muchia s-a lungit cu Δx = 0.001 cm.Cât a crescut volumul V al cubului? Avem V = x², deci dV = 3x²Δx = 3∙10²∙0/01 = 3 (cm³). Creșterea volumului ΔV este echivalentă cu diferența dV, deci ΔV = 3 cm³. Calculul complet ar da ΔV = 10,01³ ─ 10³ = 3,003001. Dar în acest rezultat toate cifrele, cu excepția primei, sunt nesigure; asta înseamnă că nu contează, trebuie să-l rotunjiți la 3 cm³.

Evident, această abordare este utilă doar dacă este posibilă estimarea mărimii erorii introduse de ea.

Diferenţial de funcţie: exemple

Să încercăm să găsim diferența funcției y = x³, fără a găsi derivata. Să dăm argumentului un increment și să definim Δу.

Δу = (Δх + x)³ ─ x³ = 3x²Δх + (3xΔх² + Δх³).

Aici coeficientul A= 3x² nu depinde de Δx, deci primul termen este proporțional cu Δx, celălalt termen este 3xΔx² + Δх³ când Δх→0 scade mai repede decât incrementul argumentului. Prin urmare, membru 3x²Δx este diferența y = x^3:

dy=3x²Δх=3x²dx sau d(x³) = 3x²dx.

Mai mult, d(x³) / dx = 3x².

Să găsim acum dy a funcției y = 1/x prin derivata ei. Atunci d(1/x) / dx = ─1/x². Prin urmare dy = ─ Δх/х².

Diferențiale ale funcțiilor algebrice de bază sunt prezentate mai jos.

Calcule aproximative folosind diferenţial

Adesea nu este dificil să se calculeze funcția f (x), precum și derivata ei f "(x) la x=a, dar a face același lucru în vecinătatea punctului x=a nu este ușor. Atunci expresia aproximativă vine în ajutor

f(a + Δх) ≈ f „(a)Δх + f(a).

Oferă o valoare aproximativă a funcției pentru incremente mici Δх prin diferența sa f "(a)Δх.

Prin urmare, această formulă oferă o valoare aproximativăexpresie pentru o funcție la punctul final al unei anumite secțiuni de lungime Δx sub forma sumei valorii acesteia la punctul de început al acestei secțiuni (x=a) și a diferenţialului din același punct de plecare. Eroarea din această metodă de determinare a valorii unei funcții este ilustrată în figura de mai jos.

Cu toate acestea, este cunoscută și expresia exactă a valorii funcției pentru x=a+Δх, dată de formula de increment finit (sau, cu alte cuvinte, formula Lagrange)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

unde punctul x = a+ ξ este pe segmentul din x = ala x = a + Δх, deși poziția sa exactă este necunoscută. Formula exactă vă permite să estimați eroarea formulei aproximative. Dacă punem ξ = Δx /2 în formula Lagrange, atunci, deși nu mai este exactă, de obicei oferă o aproximare mult mai bună decât expresia originală prin diferenţial.

Estimarea erorii formulelor folosind o diferenţială

Instrumentele de măsurare sunt fundamental imprecise șiintroduce erorile corespunzătoare în datele de măsurare. Ele se caracterizează prin eroarea absolută maximă sau, pe scurt, eroarea maximă - un număr pozitiv care depășește în mod evident această eroare în valoare absolută (sau, în cazuri extreme, este egal cu aceasta). Eroarea relativă maximă este câtul împărțirii sale la valoarea absolută a valorii măsurate.

Fie folosită formula exactă y= f (x).funcția y, dar valoarea x este rezultatul unei măsurători și, prin urmare, introduce eroare în y. Apoi, pentru a găsi eroarea absolută maximă │‌‌Δу│funcția y, utilizați formula

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f „(x)││Δх│,

unde │Δх│este eroarea maximă a argumentului. Valoarea │‌‌Δу│ ar trebui să fie rotunjită în sus, deoarece Însuși înlocuirea calculului incrementului cu calculul diferenţialului este inexactă.