Propriedades e métodos para encontrar as raízes de uma equação quadrática

O mundo está organizado de forma que a solução de um grande númeroproblemas se reduz a encontrar as raízes de uma equação quadrática. As raízes das equações são importantes para descrever vários padrões. Isso era conhecido até mesmo pelos agrimensores da antiga Babilônia. Astrônomos e engenheiros também foram forçados a resolver esses problemas. No século 6 dC, o cientista indiano Aryabhata desenvolveu as bases para encontrar as raízes de uma equação quadrática. As fórmulas ganharam um aspecto acabado no século XIX.

Conceitos Gerais

Sugerimos que você se familiarize com as leis básicas das igualdades quadráticas. Em geral, a igualdade pode ser escrita da seguinte forma:

machado² + bx + c = 0,

O número de raízes de uma equação quadrática pode ser um ou dois. Uma análise rápida pode ser feita usando a noção de discriminantes:

D = b² - 4ac

Dependendo do valor calculado, obtemos:

• Para D> 0, existem duas raízes diferentes. A fórmula geral para determinar as raízes de uma equação quadrática é semelhante a (-b ± √D) / (2a).
• D = 0, neste caso a raiz é um e corresponde ao valor x = -b / (2a)
• D <0, não há solução para a equação para um valor negativo do discriminante.

Nota: se o discriminante for negativo, a equação não tem raízes apenas no reino. Se a álgebra for estendida ao conceito de raízes complexas, a equação terá uma solução.

Aqui está uma cadeia de ações que confirma a fórmula para encontrar as raízes.

Da forma geral da equação, segue-se:

machado² + bx = -c

Multiplique os lados direito e esquerdo por 4a e adicione b², Nós temos

4a²com² + 4abx + b² = -4ac + b²

Transforme o lado esquerdo como um polinômio quadrado (2ax + b)²... Tire a raiz quadrada de ambos os lados da equação 2ax + b = -b ± √ (-4ac + b²), transferimos o coeficiente b para o lado direito, obtemos:

2ax = -b ± √ (-4ac + b²)

Isso implica:

x = (-b ± √ (b² - 4ac))

O que era necessário ser mostrado.

Um caso especial

Em alguns casos, a solução do problema pode ser simplificada. Portanto, para um coeficiente par b, obtemos uma fórmula mais simples.

Denotamos k = 1 / 2b, então a fórmula geral para as raízes da equação quadrática assume a forma:

x = (-k ± √ (k² - ac)) / a

Para D = 0, obtemos x = -k / a

Outro caso especial será a solução da equação para a = 1.

Para a vista x² + bx + c = 0 as raízes serão x = -k ± √ (k² - c) quando o discriminante for maior que 0. Para o caso em que D = 0, a raiz será determinada por uma fórmula simples: x = -k.

Usando gráficos

Qualquer pessoa, mesmo sem saber, se depara constantemente com fenômenos físicos, químicos, biológicos e até sociais que são bem descritos por uma função quadrática.

Nota: Uma curva baseada em uma função quadrática é chamada de parábola.

Aqui estão alguns exemplos.

1. Ao calcular a trajetória de um projétil, a propriedade de movimento ao longo de uma parábola de um corpo disparado em um ângulo com o horizonte é usada.
2. A propriedade da parábola de distribuir uniformemente a carga é amplamente utilizada na arquitetura.

Compreendendo a importância de uma função parabólica, vamos descobrir como usar um gráfico para explorar suas propriedades usando os conceitos de "discriminante" e "raízes de uma equação quadrática".

Dependendo do valor dos coeficientes a e b, existem apenas seis opções para a posição da curva:

1. O discriminante é positivo, aeb têm sinais diferentes. Os ramos da parábola apontam para cima, a equação quadrática tem duas soluções.
2. O discriminante e o coeficiente b são iguais a zero, o coeficiente a é maior que zero. O gráfico está na zona positiva, a equação tem 1 raiz.
3. O discriminante e todos os coeficientes são positivos. A equação quadrática não tem solução.
4. O discriminante e o coeficiente a são negativos, b é maior que zero. Os ramos do gráfico são direcionados para baixo, a equação tem duas raízes.
5. O discriminante e o coeficiente b são iguais a zero, o coeficiente a é negativo. A parábola olha para baixo, a equação tem uma raiz.
6. O discriminante e todos os coeficientes são negativos. Não há soluções, os valores da função estão completamente na zona negativa.

Nota: a opção a = 0 não é considerada, pois neste caso a parábola degenera em linha reta.

Todos os itens acima são bem ilustrados pela figura abaixo.

Exemplos de resolução de problemas

Condição: usando propriedades gerais, faça uma equação quadrática, cujas raízes são iguais entre si.

Decisão:

pela declaração do problema x₁ = x₂, ou -b + √ (b² - 4ac) / (2a) = -b + √ (b² - 4ac) / (2a). Simplificando a entrada:

-b + √ (b² - 4ac) / (2a) - (-b - √ (b² - 4ac) / (2a)) = 0, abra os colchetes e forneça termos semelhantes. A equação assume a forma 2√ (b² - 4ac) = 0. Esta afirmação é verdadeira quando b² - 4ac = 0, portanto, b² = 4ac, então o valor b = 2√ (ac) é substituído na equação

machado² + 2√ (ac) x + c = 0, na forma reduzida obtemos x² + 2√ (c / a) x + c = 0.

Responda:

para a não igual a 0 e qualquer c, há apenas uma solução se b = 2√ (c / a).

Equações quadráticas por toda a sua simplicidadesão de grande importância nos cálculos de engenharia. Quase qualquer processo físico pode ser descrito com alguma aproximação usando funções de potência de ordem n. A equação quadrática será a primeira dessas aproximações.