Junto com derivados suas funções diferenciais são um dos conceitos básicos de diferencialcálculo, a seção principal da análise matemática. Estando inextricavelmente ligados um ao outro, ambos têm sido usados ativamente por vários séculos na solução de quase todos os problemas que surgiram no processo da atividade científica e técnica humana.
A emergência do conceito de diferencial
Explicou primeiro o que é um diferencial, umdos fundadores (junto com Isaac Newton) do cálculo diferencial, o famoso matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. Antes disso, os matemáticos da 17ª Arte. usou uma ideia muito difusa e vaga de alguma parte "indivisível" infinitamente pequena de qualquer função conhecida, representando um valor constante muito pequeno, mas não igual a zero, menor do que os valores da função simplesmente não podem ser. A partir daqui, havia apenas um passo para a introdução do conceito de incrementos infinitamente pequenos dos argumentos das funções e dos incrementos correspondentes das próprias funções, expressos por meio das derivadas destas últimas. E este passo foi dado quase simultaneamente pelos dois grandes cientistas acima mencionados.
Com base na necessidade de abordar questões urgentesde problemas práticos da mecânica, que a indústria e a tecnologia em rápido desenvolvimento colocaram diante da ciência, Newton e Leibniz criaram métodos gerais para encontrar a taxa de mudança das funções (principalmente em relação à velocidade mecânica do movimento de um corpo ao longo de uma trajetória conhecida), o que levou à introdução de conceitos como a derivada e o diferencial de uma função , e também encontraram um algoritmo para resolver o problema inverso, como encontrar o caminho percorrido a partir de uma velocidade conhecida (variável), o que levou ao surgimento do conceito de integral.
Nos escritos de Leibniz e Newton, apareceu pela primeira veza ideia de que os diferenciais são proporcionais aos incrementos dos argumentos Δх, as principais partes dos incrementos das funções Δу, que podem ser usados com sucesso para calcular os valores destes últimos. Em outras palavras, eles descobriram que o incremento de uma função pode ser em qualquer ponto (dentro do domínio de sua definição) expresso em termos de sua derivada como Δу = y "(x) Δх + αΔх, onde α Δх é o resto, tendendo a zero quando Δх → 0 é muito mais rápido do que o próprio Δx.
De acordo com os fundadores da matanálise,diferenciais são exatamente os primeiros termos nas expressões para os incrementos de quaisquer funções. Ainda não possuindo um conceito claramente formulado de limite de sequências, intuitivamente entenderam que o valor do diferencial tende à derivada da função como Δх → 0 - Δу / Δх → y "(x).
Ao contrário de Newton, que foi principalmentefísico, e considerava o aparato matemático uma ferramenta auxiliar para o estudo de problemas físicos, Leibniz deu mais atenção a esse mesmo conjunto de ferramentas, incluindo o sistema de designações visuais e compreensíveis de grandezas matemáticas. Foi ele quem propôs a notação geralmente aceita para as diferenciais da função dy = y "(x) dx, o argumento dx e a derivada da função na forma de sua razão y" (x) = dy / dx.
Definição moderna
O que é um diferencial do ponto de vista da matemática moderna? Está intimamente relacionado ao conceito de incremento variável. Se a variável y assumir o valor y = y primeiro1e então y = y2, então a diferença y2 ─ y1 é chamado de incremento de y.
Se o valor Δу de uma função arbitrária y = f (x)é possível representar na forma Δу = A Δх + α, onde A não depende de Δх, ou seja, A = const para um determinado x, e o termo α em Δх → 0 tende a ele ainda mais rápido do que o próprio Δх, então o primeiro ("Principal") termo proporcional a Δх, e é para y = f (x) o diferencial, denotado dy ou df (x) (lê-se "de ygrek", "de eff de x"). Portanto, diferenciais são os componentes "principais" dos incrementos de funções, lineares em relação a Δх.
Interpretação mecânica
Seja s = f (t) uma distância em linha retamovendo o ponto do material da posição inicial (t é o tempo gasto no caminho). O incremento Δs é o caminho do ponto durante o intervalo de tempo Δt, e o diferencial ds = f "(t) Δt é o caminho que o ponto teria percorrido no mesmo tempo Δt se tivesse mantido a velocidade f" (t ) alcançado no momento t ... Para um Δt infinitamente pequeno, o caminho imaginário ds difere dos Δs verdadeiros por um valor infinitesimal, que tem uma ordem superior em relação a Δt. Se a velocidade no tempo t não for zero, então ds fornece um valor aproximado para o pequeno deslocamento do ponto.
Interpretação geométrica
Seja a linha L o gráfico de y = f (x).Então Δ х = MQ, Δу = QM "(veja a figura abaixo). A reta tangente MN divide o segmento Δу em duas partes, QN e NM". O primeiro é proporcional a Δх e é igual a QN = MQ ∙ tg (ângulo QMN) = Δх f "(x), ou seja, QN é o diferencial dy.
A segunda parte NM "dá a diferença Δу ─ dy, em Δх → 0o comprimento NM "diminui ainda mais rápido que o incremento do argumento, ou seja, sua ordem de pequenez é maior que a de Δx. No caso em consideração, para f" (x) ≠ 0 (a tangente não é paralela a OX ), os segmentos QM "e QN são equivalentes; em outras palavras, NM" diminui mais rápido (a ordem de sua pequenez é maior) do que o incremento total Δу = QM ". Isso pode ser visto na figura (conforme M" se aproxima de M , o segmento NM "constitui uma porcentagem menor do segmento QM").
Então, graficamente, o diferencial de uma função arbitrária é igual ao incremento da ordenada de sua tangente.
Derivado e diferencial
O coeficiente A no primeiro termo da expressão para o incremento da função é igual ao valor de sua derivada f "(x). Assim, a seguinte relação se mantém - dy = f" (x) Δх, ou df (x ) = f "(x) Δх.
Sabe-se que o incremento de um argumento independente é igual ao seu diferencial Δх = dx. Assim, você pode escrever: f "(x) dx = dy.
Encontrar (às vezes chamado de "solução") diferenciais é realizado de acordo com as mesmas regras das derivadas. Uma lista deles é fornecida abaixo.
O que é mais universal: o incremento do argumento ou seu diferencial
Alguns esclarecimentos são necessários aqui.A representação pela quantidade f "(x) Δх do diferencial é possível quando se considera x como um argumento. Mas a função pode ser complexa, em que x pode ser uma função de algum argumento t. Então, a representação do diferencial pela expressão f "(x) Δх é, via de regra, impossível; exceto para o caso de dependência linear х = at + b.
Quanto à fórmula f "(x) dx = dy, então no caso de um argumento independente x (então dx = Δx), e no caso de uma dependência paramétrica de x em t, representa um diferencial.
Por exemplo, a expressão 2 x Δx representa para y = x2 seu diferencial quando x é um argumento. Agora colocamos x = t2 e vamos considerar t como um argumento. Então y = x2 = t4.
Isso é seguido por (t + Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2... Portanto, Δх = 2tΔt + Δt2... Significa: 2xΔx = 2t2 (2tΔt + Δt2 )
Esta expressão não é proporcional a Δt e, portanto, agora 2xΔx não é um diferencial. Pode ser encontrado na equação y = x2 = t4... Acontece que é igual a dy = 4t3Δt.
Se tomarmos a expressão 2xdx, então ela representa o diferencial y = x2 para qualquer argumento t. Na verdade, para x = t2 obtemos dx = 2tΔt.
Então 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt, ou seja, as expressões para os diferenciais escritos em termos de duas variáveis diferentes coincidiram.
Substituindo incrementos por diferenciais
Se f "(x) ≠ 0, então Δу e dy são equivalentes (quando Δх → 0); quando f" (x) = 0 (o que significa dy = 0), eles não são equivalentes.
Por exemplo, se y = x2, então Δу = (x + Δх)2 ─ x2= 2xΔx + Δx2e dy = 2xΔx. Se x = 3, então temos Δy = 6Δx + Δx2 e dy = 6Δх, que são equivalentes devido a Δх2→ 0, em х = 0 os valores Δу = Δх2 e dy = 0 não são equivalentes.
Este fato, junto com uma estrutura simplesdiferencial (ou seja, linearidade em relação a Δx) é frequentemente usado em cálculos aproximados, sob a suposição de que Δу ≈ dy para Δх pequeno. Encontrar o diferencial de uma função geralmente é mais fácil do que calcular o valor exato do incremento.
Por exemplo, temos um cubo de metal com uma aresta x = 10,00 cm. Quando aquecido, a aresta alongou em Δх = 0,001 cm. Quanto aumentou o volume V do cubo? Temos V = x2de modo que dV = 3x2Δх = 3 ∙ 102∙ 0/01 = 3 (cm3) O aumento no volume ΔV é equivalente ao diferencial dV, de modo que ΔV = 3 cm3... Um cálculo completo daria ΔV = 10,013 ─ 103 = 3,003001. Mas, nesse resultado, todos os números, exceto o primeiro, não são confiáveis; então, de qualquer maneira, você precisa arredondar para 3 cm3.
Obviamente, esta abordagem só é útil se for possível estimar a magnitude do erro introduzido.
Diferencial de função: exemplos
Vamos tentar encontrar o diferencial da função y = x3sem encontrar uma derivada. Vamos dar ao argumento um incremento e definir Δу.
Δу = (Δх + x)3 ─ x3 = 3x2Δx + (3xΔx2 + Δx3)
Aqui, coeficiente A = 3x2 não depende de Δx, de modo que o primeiro termo é proporcional a Δx, enquanto o outro termo é 3xΔx2 + Δx3 em Δх → 0 diminui mais rápido do que o incremento do argumento. Então caralho 3x2Δх é o diferencial y = x3:
dy = 3x2Δх = 3x2dx ou d (x3) = 3x2dx.
Além disso, d (x3) / dx = 3x2.
Vamos agora encontrar dy da função y = 1 / x em termos de sua derivada. Então d (1 / x) / dx = ─1 / x2... Portanto dy = ─ Δх / х2.
As diferenciais das funções algébricas básicas são fornecidas abaixo.
Aproximação diferencial
Muitas vezes é fácil calcular a função f (x), bem como sua derivada f "(x) para x = a, mas não é fácil fazer o mesmo na vizinhança do ponto x = a. Então, um valor aproximado expressão vem ao resgate
f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).
Ele fornece um valor aproximado da função em pequenos incrementos Δх por meio de seu diferencial f "(a) Δх.
Portanto, esta fórmula dá uma estimativa aproximadaexpressão para a função no ponto final de uma determinada seção de comprimento Δx como a soma de seu valor no ponto inicial desta seção (x = a) e o diferencial no mesmo ponto inicial. O erro desse método de determinação do valor da função é ilustrado na figura abaixo.
No entanto, a expressão exata para o valor da função para x = a + Δх também é conhecida, dada pela fórmula para incrementos finitos (ou, caso contrário, pela fórmula de Lagrange)
f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),
onde o ponto x = a + ξ está localizado no segmento de x = aaté x = a + Δх, embora sua posição exata seja desconhecida. A fórmula exata permite estimar o erro da fórmula aproximada. Se colocarmos ξ = Δх / 2 na fórmula de Lagrange, embora pare de ser exata, geralmente dá uma aproximação muito melhor do que a expressão original por meio do diferencial.
Estimando o erro de fórmulas usando o diferencial
Os instrumentos de medição são, em princípio, imprecisos eintroduzir erros correspondentes nos dados de medição. São caracterizados pelo erro limitante absoluto, ou seja, pelo erro limitante - um número positivo, obviamente excedendo esse erro em valor absoluto (ou, em casos extremos, igual a ele). O erro relativo limitante é denominado quociente de sua divisão pelo valor absoluto do valor medido.
Deixe a fórmula exata y = f (x) ser usada paracálculo da função y, mas o valor de x é a medida e, portanto, introduz um erro em y. Então, para encontrar o erro absoluto máximo │Δу│ da função y, use a fórmula
│Δу│≈│dy│ = │ f "(x) ││Δх│,
onde │Δх│ é o erro limitante do argumento. O valor │Δу│ deve ser arredondado para cima, uma vez que é incorreto substituir o cálculo do incremento pelo cálculo do diferencial.
