Prostokąt z kątami prostymi to ... suma kątów czworoboku

Jeden z najciekawszych tematów dotyczących geometrii zkurs szkolny to „Czworokąty” (klasa 8). Jakie typy takich figur istnieją, jakie mają szczególne właściwości? Co jest wyjątkowego w czworokątach 90 stopni? Rzućmy okiem na to wszystko.

Jaki kształt geometryczny nazywa się czworokątem

Wielokąty składające się z czterech boków i odpowiednio z czterech wierzchołków (rogów) nazywane są czworokątami w geometrii euklidesowej.

Ciekawa jest historia nazw tego typu figur.W języku rosyjskim rzeczownik „czworokąt” jest utworzony z wyrażenia „cztery rogi” (podobnie jak „trójkąt” - trzy kąty, „pięciokąt” - pięć rogów itd.).

Jednak po łacinie (przez którąpojawiło się wiele terminów geometrycznych w większości języków świata) nazywa się to czworobokiem. To słowo składa się z liczebnika quadri (cztery) i rzeczownika latus (bok). Możemy więc wywnioskować, że starożytni określali ten wielokąt jako „czworoboczny”.

Nawiasem mówiąc, ta nazwa (z naciskiem na obecnośćfigury tego rodzaju czterech boków, a nie narożników) przetrwały w niektórych współczesnych językach. Na przykład w języku angielskim jest to czworokąt, a po francusku to quadrilatère.

Ponadto w większości języków słowiańskichrodzaj figur, o których mowa, jest nadal określany przez liczbę rogów, a nie boków. Na przykład słowacki (štvoruholník), bułgarski („chetyr'g'lnik”), białoruski („chatyrohkutnik”), ukraiński („chotirikutnik”), czeski (čtyřúhelník), ale po polsku czworokąt nazywa się według liczby stron - cz.

Jakie rodzaje czworokątów są badane w programie nauczania

We współczesnej geometrii istnieją 4 typy wielokątów z czterema bokami.

Jednak ze względu na zbyt złożone właściwości niektórych z nich na lekcjach geometrii dzieci w wieku szkolnym są wprowadzane tylko do dwóch typów.

• Równoległobok Przeciwległe boki takiego czworoboku są parami równoległe do siebie i odpowiednio są również równe parami.
• Trapez (trapez lub trapez). Ten czworokąt składa się z dwóch przeciwległych boków, równoległych do siebie. Jednak druga para boków nie ma tej funkcji.

Rodzaje czworokątów, których nie badano na szkolnym kursie geometrii

Oprócz powyższego istnieją jeszcze dwa typy czworokątów, do których uczniowie nie są wprowadzani na lekcjach geometrii ze względu na ich szczególną złożoność.

• Naramienny (latawiec) - figura, na której każda z dwóch par sąsiadujących ze sobąboki mają jednakową długość. Taki czworokąt zyskał swoją nazwę dzięki temu, że z wyglądu dość mocno przypomina literę alfabetu greckiego - „delta”.
• Antyrównoległobok - ta figura jest tak złożona, jak jej nazwa.W nim dwie przeciwne strony są równe, ale jednocześnie nie są do siebie równoległe. Ponadto długie przeciwległe boki tego czworoboku przecinają się, podobnie jak przedłużenia pozostałych dwóch, krótszych boków.

Rodzaje równoległoboku

Mając do czynienia z głównymi typami czworokątów, należy zwrócić uwagę na jego podgatunki. Z kolei wszystkie równoległoboki są również podzielone na cztery grupy.

• Klasyczny równoległobok.
• Romb (romb) - czworokątna figura o równych bokach. Jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, dzieląc romb na cztery równe trójkąty prostokątne.
• Prostokąt Nazwa mówi sama za siebie. Ponieważ jest to prostokąt z kątami prostymi (każdy z nich jest równy dziewięćdziesięciu stopniom). Jego przeciwległe boki są nie tylko równoległe do siebie, ale także równe.
• Kwadrat Podobnie jak prostokąt, jest czworobokiem zkąty proste, ale wszystkie boki są sobie równe. To sprawia, że ​​ta figura jest zbliżona do rombu. Można więc argumentować, że kwadrat jest skrzyżowaniem rombu i prostokąta.

Specjalne właściwości prostokąta

Biorąc pod uwagę kształty, w jakich każdy z rogówmiędzy bokami, równymi dziewięćdziesięciu stopniom, warto bliżej przyjrzeć się prostokącie. Jakie są więc szczególne cechy, które odróżniają go od innych równoległoboków?

Twierdzić, że rozważałemrównoległobok jest prostokątem, jego przekątne muszą być sobie równe, a każdy z rogów musi być prosty. Ponadto kwadrat jego przekątnych musi odpowiadać sumie kwadratów dwóch sąsiednich boków tej figury. Innymi słowy, klasyczny prostokąt składa się z dwóch prostokątnych trójkątów, w których, jak wiadomo, suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Przekątna rozpatrywanego czworokąta działa jako przeciwprostokątna.

Ostatni z wymienionych znaków tej figuryto także jego szczególna właściwość. Poza tym są inne. Na przykład fakt, że wszystkie boki badanego czworoboku o kątach prostych są jednocześnie jego wysokościami.

Ponadto, jeśli narysujesz okrąg wokół dowolnego prostokąta, jego średnica będzie równa przekątnej wpisanej figury.

Wśród innych właściwości tego czworobokuże jest płaski i nie istnieje w geometrii nieeuklidesowej. Wynika to z faktu, że w takim systemie nie ma czworokątnych figur, których suma kątów jest równa trzystu sześćdziesięciu stopniom.

Kwadrat i jego cechy

Mając do czynienia ze znakami i właściwościami prostokąta, warto zwrócić uwagę na drugi czworobok z kątami prostymi znanymi nauce (jest to kwadrat).

Będąc w rzeczywistości tym samym prostokątem, ale o równych bokach, ta figura ma wszystkie swoje właściwości. Ale w przeciwieństwie do niego kwadrat jest obecny w geometrii nieeuklidesowej.

Ponadto ta liczba ma innewłasne charakterystyczne cechy. Na przykład fakt, że przekątne kwadratu są nie tylko równe sobie, ale także przecinają się pod kątem prostym. Tak więc, podobnie jak romb, kwadrat składa się z czterech prostokątnych trójkątów, na które jest podzielony przekątnymi.

Ponadto ta figura jest najbardziej symetryczna ze wszystkich czworokątów.

Jaka jest suma kątów czworoboku

Biorąc pod uwagę cechy czworokątów geometrii euklidesowej, warto zwrócić uwagę na ich kąty.

Tak więc na każdym z powyższych rysunkówniezależnie od tego, czy ma kąty proste, czy nie, ich suma jest zawsze taka sama - trzysta sześćdziesiąt stopni. To wyjątkowa cecha tego typu sylwetki.

Obwód czworokątów

Zajmując się tym, jaka jest suma kątówczworokątów i innych specjalnych właściwości figur tego typu, warto dowiedzieć się, jakie wzory najlepiej wykorzystać do obliczenia ich obwodu i pola.

Aby określić obwód dowolnego czworoboku, wystarczy dodać razem długość wszystkich jego boków.

Na przykład w kształcie KLMN jego obwód można obliczyć ze wzoru: P = KL + LM + MN + KN. Jeśli podstawisz tutaj liczby, otrzymasz: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

W przypadku, gdy dana figura jest rombemlub kwadrat, aby znaleźć obwód, możesz uprościć wzór, mnożąc długość jednego z jego boków przez cztery: P = KL x 4. Na przykład: 6 x 4 = 24 (cm).

Formuły czworoboku powierzchni

Po ustaleniu, jak znaleźć obwód dowolnego kształtu z czterema narożnikami i bokami, warto rozważyć najpopularniejsze i najprostsze sposoby znalezienia jego obszaru.

• Klasyczny sposób obliczenia toużyj wzoru S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Okazuje się, że pole dowolnego czworoboku jest równe połowie iloczynu jego przekątnych przez sinus kąta między nimi.
• Jeśli liczba, której obszar ma zostać znaleziony, toprostokąt lub kwadrat (których przekątne są zawsze sobie równe), możesz uprościć wzór, podnosząc długość jednej przekątnej do kwadratu i mnożąc ją przez sinus kąta między nimi i dzieląc wszystko na pół. Na przykład: S = 1/2 KM ² x SIN LON.
• Ponadto podczas znajdowania obszaru prostokątapomoc informacje o obwodzie danej figury i długości jednego z jej boków. W takim przypadku najbardziej celowe byłoby użycie wzoru S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• W przypadku kwadratu jego właściwości pozwalają na użycie kilku dodatkowych formuł do znalezienia pola. Na przykład, znając obwód figury, możesz użyć tej opcji: S = P ²/ 16. A jeśli znany jest promień okręgu wpisanego w czworobok, to pole kwadratu wyznaczamy w bardzo podobny sposób: S = 4r²... Jeśli znany jest promień opisanego okręgu, wystarczy inna formuła: S = 2R²... Ponadto pole kwadratu jest 0,8 razy dłuższe od linii poprowadzonej od rogu figury do środka przeciwległej strony.
• Oprócz wszystkich powyższych istnieje równieżosobny wzór na obliczenie powierzchni, obliczony specjalnie dla równoległoboku. Można go zastosować, jeśli znasz długość dwóch wysokości kształtu i rozmiar kąta między nimi. Następnie wysokości należy pomnożyć między sobą i sinusem kąta między nimi. Warto zauważyć, że możesz użyć tego wzoru dla wszystkich kształtów, które należą do równoległoboków (czyli do prostokąta, rombu i kwadratu).

Inne własności czworokątów: okręgi wpisane i opisane

Biorąc pod uwagę cechy i właściwości czworoboku jako figury o geometrii euklidesowej, warto zwrócić uwagę na umiejętność opisywania dookoła lub wpisywania wewnątrz niego okręgów:

• Jeśli sumy przeciwnych kątów figury wynoszą po sto osiemdziesiąt stopni i są równe parami, to wokół takiego czworokąta można dowolnie opisać okrąg.
• Zgodnie z twierdzeniem Ptolemeusza, jeśli na zewnątrzwielokąta z czterema bokami jest opisany okrąg, to iloczyn jego przekątnych jest równy sumie iloczynów przeciwnych boków tej figury. Zatem wzór będzie wyglądał następująco: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Jeśli zbudujesz czworokąt, w którym sumy przeciwnych boków są sobie równe, można w nim wpisać okrąg.

Zrozumiawszy, czym jest czworokąt,jakie są jego rodzaje, które z nich mają tylko kąty proste między bokami i jakie mają właściwości, warto pamiętać o całym tym materiale. W szczególności wzór na znajdowanie obwodu i pola rozpatrywanych wielokątów. W końcu figury tego kształtu są jednymi z najbardziej powszechnych, a ta wiedza może być przydatna do obliczeń w prawdziwym życiu.