Istnieje kilka definicji pojęcia „teoria”liczby ". Jeden z nich mówi, że jest to specjalna gałąź matematyki (lub wyższej arytmetyki), która bada szczegółowo liczby całkowite i obiekty do nich podobne.
Inna definicja wyjaśnia, że ta gałąź matematyki bada właściwości liczb i ich zachowanie w różnych sytuacjach.
Niektórzy naukowcy uważają, że teoria jest tak obszerna, że nie można podać dokładnej definicji, ale wystarczy podzielić ją na kilka mniej obszernych teorii.
Niezawodnie ustal, kiedy narodziła się teorialiczby nie są możliwe. Jest to jednak ugruntowane: dziś najstarszym, ale nie jedynym dokumentem świadczącym o zainteresowaniu starożytnych teorią liczb jest niewielki fragment glinianej tabliczki z 1800 roku pne. Zawiera szereg tak zwanych trójek pitagorejskich (liczb naturalnych), z których wiele składa się z pięciu znaków. Ogromna liczba takich trojaczków wyklucza ich mechaniczną selekcję. Wskazuje to, że zainteresowanie teorią liczb pojawiło się najwyraźniej znacznie wcześniej, niż początkowo przypuszczali naukowcy.
Najbardziej znaczącymi osobami w rozwoju tej teorii są pitagorejczycy Euklides i Diofantos, Indianie Ariabhata, Brahmagupta i Bhaskara, którzy żyli w średniowieczu, a nawet później - Fermat, Euler, Lagrange.
Na początku XX wieku teoria liczb przyciągnęła uwagę takich matematycznych geniuszy, jak A.N. Korkin, E.I. Zolotarev, A.A. Markov, B.N.Delone, D.K. Faddeev, I.M. Vinogradov, G Weil, A. Selberg.
Opracowywanie i pogłębianie obliczeń i badaństarożytni matematycy przenieśli teorię na nowy, znacznie wyższy poziom, obejmujący wiele dziedzin. Dogłębne badania i poszukiwanie nowych dowodów doprowadziły do odkrycia nowych problemów, z których część nie została jeszcze zbadana. Pozostańcie otwarte: przypuszczenie Artina o nieskończoności zbioru liczb pierwszych, kwestia nieskończoności liczby liczb pierwszych, wiele innych teorii.
Dziś głównymi składnikami, na które podzielona jest teoria liczb, są teorie: elementarne, duże liczby, liczby losowe, analityczne, algebraiczne.
Podstawowe badania teorii liczbliczby całkowite bez odwoływania się do metod i pojęć z innych działów matematyki. Liczby Fibonacciego, małe twierdzenie Fermata, są najpowszechniejszymi pojęciami z tej teorii, znanymi nawet uczniom.
Teoria wielkich liczb (lub prawo wielkich liczb) -podrozdział teorii prawdopodobieństwa, który stara się udowodnić, że średnia arytmetyczna (innymi słowy średnia empiryczna) dużej próby zbliża się do matematycznego oczekiwania (nazywanego również średnią teoretyczną) tej próbki pod warunkiem stałego rozkładu.
Teoria liczb losowych, dzieląca wszystkie zdarzenia naniepewny, deterministyczny i losowy, próbuje określić prawdopodobieństwo zdarzeń złożonych na podstawie prawdopodobieństwa zdarzeń prostych. Ta sekcja zawiera właściwości prawdopodobieństw warunkowych i twierdzenie o ich mnożeniu, twierdzenie o hipotezach (często nazywane formułą Bayesa) itp.
Analityczna teoria liczb, jak wynika z niejnazwy, do badania wartości matematycznych i własności numerycznych wykorzystuje metody i techniki analizy matematycznej. Jednym z głównych kierunków tej teorii jest dowód twierdzenia (za pomocą analizy złożonej) o rozkładzie liczb pierwszych.
Algebraiczna teoria liczb działa bezpośrednio z liczbami, ich analogami (na przykład liczbami algebraicznymi), bada teorię dzielników, kohomologię grup, funkcje Dirichleta itp.
Wielowiekowe próby udowodnienia twierdzenia Fermata doprowadziły do powstania i rozwoju tej teorii.
Aż do XX wieku teorię liczb uważano za abstrakcyjnąnauka, „czysta sztuka z matematyki”, która nie ma absolutnie żadnego praktycznego ani użytkowego zastosowania. Dziś jego obliczenia są wykorzystywane w protokołach kryptograficznych, przy obliczaniu trajektorii satelitów i sond kosmicznych, w programowaniu. Ekonomia, finanse, informatyka, geologia - wszystkie te nauki są dziś niemożliwe bez teorii liczb.
