Georg Cantor (bildet er gitt senere i artikkelen) -Tysk matematiker som skapte settteori og introduserte begrepet transfinite tall, uendelig store, men forskjellige fra hverandre. Han definerte også ordenstall og kardinaltall og laget deres aritmetikk.
Georg Cantor: en kort biografi
Født i St. Petersburg 03.03.1845.Faren hans var en dansk protestantisk religion Georg-Waldemar Kantor, som var involvert i handel, blant annet på børsen. Hans mor, Maria Boehm, var katolikk og kom fra en familie med utmerkede musikere. Da Georgs far ble syk i 1856, flyttet familien, på jakt etter et mildere klima, først til Wiesbaden og deretter til Frankfurt. Guttens matematiske talenter viste seg allerede før 15-årsdagen hans mens han studerte på private skoler og gymsaler i Darmstadt og Wiesbaden. Til slutt overbeviste Georg Cantor sin far om sin faste intensjon om å bli matematiker, ikke ingeniør.
Etter et kort studium ved universitetet i Zürich i 1863, overførte Kantor til universitetet i Berlin for å studere fysikk, filosofi og matematikk. Der ble han lært:
- Karl Theodor Weierstrass, hvis spesialisering i analyse sannsynligvis var den mest innflytelsesrike på Georg;
- Ernst Eduard Kummer, som underviste i høyere aritmetikk;
- Leopold Kronecker, en tallteoretiker som senere motarbeidet Cantor.
Etter å ha tilbrakt ett semester ved universitetet i Göttingen i1866, året etter, skrev Georg sin doktorgradsavhandling med tittelen "I matematikk er kunsten å stille spørsmål mer verdifull enn å løse problemer", om et problem som Karl Friedrich Gauss lot være uløst i sin Disquisitiones Arithmeticae (1801). Etter å ha undervist kort ved Berlin Girls' School, begynte Kantor å jobbe ved Universitetet i Halle, hvor han ble til slutten av livet, først som lærer, fra 1872 som adjunkt og fra 1879 som professor.
Forskning
I begynnelsen av en serie på 10 verk fra 1869 til 1873Georg Cantor vurderte tallteori. Arbeidet reflekterte hans lidenskap for emnet, hans studier av Gauss og innflytelsen fra Kronecker. Etter forslag fra Heinrich Eduard Heine, en kollega av Cantor i Halle, som anerkjente hans matematiske talent, vendte han seg til teorien om trigonometriske serier, der han utvidet begrepet reelle tall.
Med utgangspunkt i arbeidet med kompleksets funksjonvariabel av den tyske matematikeren Bernhard Riemann i 1854, i 1870 viste Cantor at en slik funksjon kan representeres på bare én måte - trigonometriske serier. Betraktning av et sett med tall (punkter) som ikke ville motsi et slikt syn førte ham for det første i 1872 til definisjonen av irrasjonelle tall i form av konvergerende sekvenser av rasjonelle tall (brøker av heltall) og deretter til begynnelsen av arbeidet med hele sitt livs verk, mengden teori og begrepet transfinite tall.
Settteori
Georg Cantor, hvis settteori ble fødti korrespondanse med matematikeren ved det tekniske instituttet i Braunschweig, Richard Dedekind, var han venn med ham siden barndommen. De kom til den konklusjonen at mengder, endelig eller uendelig, er en samling av elementer (for eksempel tall, {0, ± 1, ± 2...}) som har en viss egenskap, samtidig som de beholder sin individualitet. Men da Georg Cantor brukte en en-til-en-korrespondanse for å studere egenskapene deres (for eksempel {A, B, C} til {1, 2, 3}), skjønte han raskt at de er forskjellige i graden av tilhørighet, til og med hvis de var uendelige mengder , det vil si mengder, hvor en del eller delmengde inkluderer like mange objekter som den selv. Metoden hans ga snart overraskende resultater.
I 1873 viste Georg Cantor (matematiker) detrasjonelle tall, selv om de er uendelige, kan telles, fordi de kan settes i en-til-en-korrespondanse med naturlige tall (dvs. 1, 2, 3, etc.). Han viste at settet med reelle tall, bestående av irrasjonelle og rasjonelle, er uendelig og utellelig. Mer paradoksalt nok beviste Cantor at settet med alle algebraiske tall inneholder like mange elementer som settet med alle heltall, og at transcendentale tall som ikke er algebraiske, som er en delmengde av irrasjonelle tall, er utellelige og derfor er antallet større. enn heltall. , og bør betraktes som uendelig.
Motstandere og støttespillere
Men Cantors verk, hvor han først la fremdisse resultatene ble ikke publisert i tidsskriftet Krell, da en av anmelderne, Kronecker, var sterkt imot. Men etter Dedekinds inngripen ble den utgitt i 1874 under tittelen "Om de karakteristiske egenskapene til alle virkelige algebraiske tall."
Vitenskap og personlig liv
I samme år, under honningmåneder med sin kone Wally Gutmann i Interlaken, Sveits, møtte Kantor Dedekind, som snakket positivt om sin nye teori. Georges lønn var liten, men med pengene til faren, som døde i 1863, bygde han et hus til sin kone og fem barn. Mange av verkene hans har blitt publisert i Sverige i det nye tidsskriftet Acta Mathematica, redigert og grunnlagt av Gesta Mittag-Leffler, som var blant de første som anerkjente talentet til den tyske matematikeren.
Forbindelse med metafysikk
Cantors teori er blitt et helt nytt fagstudier om matematikken til uendelig (for eksempel serie 1, 2, 3, etc., og mer komplekse sett), som i stor grad var avhengig av en-til-en korrespondanse. Cantors utvikling av nye metoder for å stille spørsmål om kontinuitet og uendelighet ga hans forskning en tvetydig karakter.
Da han hevdet at uendelige tall er reelleeksisterer, vendte han seg til antikkens og middelalderens filosofi i forhold til faktisk og potensiell uendelighet, samt til den tidlige religiøse undervisningen som foreldrene hans ga ham. I 1883, i sin bok Fundamentals of General Set Theory, kombinerte Cantor konseptet sitt med Platons metafysikk.
Kronecker, som hevdet at "eksisterer"bare hele tall ("Gud skapte hele tall, resten er menneskets verk"), avviste i mange år på det sterkeste hans resonnement og hindret hans utnevnelse ved universitetet i Berlin.
Transfinite tall
I 1895-97.Georg Cantor formet fullt ut sitt konsept om kontinuitet og uendelighet, inkludert uendelige ordenstall og kardinaltall, i sitt mest kjente verk, utgitt under tittelen "Bidrag til skapelsen av teorien om transfinite tall" (1915). Dette essayet inneholder konseptet hans, som han ble ledet til av demonstrasjonen av at et uendelig sett kan settes i en en-til-en-korrespondanse med en av undergruppene.
Under det minste transfinitte kardinalnummerethan mente kardinaliteten til ethvert sett som kan settes i en en-til-en korrespondanse med naturlige tall. Cantor kalte det alef-null. Store transfinitte mengder betegnes alef-en, alef-to osv. Så utviklet han aritmetikken til transfinitte tall, som var analog med endelig aritmetikk. Dermed beriket han begrepet uendelighet.
Motstanden han møtte og tidenat det måtte til før ideene hans ble akseptert fullt ut, skyldes vanskeligheten med å revurdere det eldgamle spørsmålet om hva et tall er. Cantor viste at et sett med punkter på en linje har høyere potens enn alef-null. Dette førte til det velkjente problemet med kontinuumhypotesen - det er ingen kardinaler mellom alef null og kardinaliteten til punktene på linjen. Dette problemet vakte stor interesse i første og andre halvdel av 1900-tallet og ble studert av mange matematikere, inkludert Kurt Gödel og Paul Cohen.
Depresjon
Biografi om Georg Cantor siden 1884ble overskygget av begynnelsen av sin psykiske lidelse, men han fortsatte å jobbe aktivt. I 1897 var han med på å holde den første internasjonale matematiske kongressen i Zürich. Delvis fordi han ble motarbeidet av Kronecker, sympatiserte han ofte med unge aspirerende matematikere og søkte å finne en måte å redde dem fra undertrykkelsen fra lærere som følte seg truet av nye ideer.
anerkjennelse
Ved århundreskiftet var arbeidet hans heltanerkjent som grunnlag for funksjonsteori, analyse og topologi. I tillegg fungerte bøkene til kantor Georg som en drivkraft for videre utvikling av intuisjonistiske og formalistiske skoler for matematikkens logiske grunnlag. Dette har endret undervisningssystemet betydelig og forbindes ofte med «ny matematikk».
I 1911 g.Kantor var blant de inviterte til å feire 500-årsjubileet til University of St Andrews i Skottland. Han dro dit i håp om å møte Bertrand Russell, som i sitt nylig publiserte verk Principia Mathematica gjentatte ganger refererte til den tyske matematikeren, men dette skjedde ikke. Universitetet tildelte Kantor en æresgrad, men på grunn av sykdom kunne han ikke ta imot prisen personlig.
Kantor trakk seg i 1913., levde i fattigdom og sultet under første verdenskrig. Feiringen til ære for hans 70-årsdag i 1915 ble avlyst på grunn av krigen, men en liten seremoni fant sted hjemme hos ham. Han døde 06.01.1918 i Halle, på et psykiatrisk sykehus, hvor han tilbrakte de siste årene av sitt liv.
Georg Cantor: biografi. En familie
9. august 1874Tysk matematiker giftet seg med Wally Gutmann. Paret hadde 4 sønner og 2 døtre. Det siste barnet ble født i 1886 i et nytt hus anskaffet av Kantor. Farens arv hjalp ham til å forsørge familien. Kantors helsetilstand ble sterkt påvirket av hans yngste sønns død i 1899 - siden har han ikke forlatt depresjonen.
