Een trapezium is een speciaal geval van een vierhoek, ywelk paar zijden parallel is. De term "trapezium" komt van het Griekse woord τράπεζα, wat "tafel", "tafel" betekent. In dit artikel zullen we kijken naar de soorten trapeziums en de eigenschappen ervan. Bovendien zullen we uitzoeken hoe we de afzonderlijke elementen van deze geometrische figuur kunnen berekenen. Bijvoorbeeld de diagonaal van een gelijkbenige trapezium, de middellijn, het gebied, enz. Het materiaal wordt gepresenteerd in de stijl van de elementaire populaire geometrie, dat wil zeggen in een gemakkelijk toegankelijke vorm.
Algemene informatie
Laten we eerst eens kijken wat het isvierhoek. Deze vorm is een speciaal geval van een veelhoek met vier zijden en vier hoekpunten. Twee hoekpunten van een vierhoek die niet aangrenzend zijn, worden tegengesteld genoemd. Hetzelfde kan gezegd worden voor twee niet-aangrenzende zijden. De belangrijkste soorten vierhoeken zijn parallellogram, rechthoek, ruit, vierkant, trapeziumvormig en deltaspier.
Dus terug naar de trapeziums.Zoals we al zeiden, heeft deze figuur twee evenwijdige zijden. Ze worden bases genoemd. De andere twee (niet-parallel) zijn de zijkanten. In het materiaal van examens en verschillende tests kun je heel vaak taken vinden die verband houden met trapeziums, waarvan de oplossing vaak vereist dat de student kennis heeft die niet door het programma wordt geboden. De schoolmeetkundecursus laat studenten kennis maken met de eigenschappen van hoeken en diagonalen, evenals de middellijn van een gelijkbenig trapezium. Maar daarnaast heeft de genoemde geometrische figuur nog andere kenmerken. Maar over hen een beetje later ...
Soorten trapezium
Er zijn veel soorten van deze figuur. Meestal is het echter gebruikelijk om er twee te beschouwen: gelijkbenig en rechthoekig.
1. Een rechthoekige trapezium is een figuur waarbij een van de zijkanten loodrecht op de basis staat. De twee hoeken zijn altijd gelijk aan negentig graden.
2. Een gelijkbenige trapezium is een geometrische figuur waarvan de zijden gelijk zijn aan elkaar. Dit betekent dat de hoeken aan de basis ook paarsgewijs gelijk zijn.
De belangrijkste principes van de methodologie voor het bestuderen van de eigenschappen van een trapezium
Het belangrijkste principe is het gebruik vande zogenaamde taakgerichte aanpak. In feite is het niet nodig om nieuwe eigenschappen van deze figuur in het theoretische verloop van de meetkunde te introduceren. Ze kunnen worden geopend en geformuleerd tijdens het oplossen van verschillende problemen (beter dan systeemproblemen). Tegelijkertijd is het erg belangrijk dat de docent weet welke taken op een bepaald moment in het onderwijsproces aan studenten moeten worden gegeven. Bovendien kan elke trapezoïde eigenschap worden weergegeven als een sleuteltaak in het taaksysteem.
Het tweede principe is het zogenaamdespiraalvormige organisatie van de studie van de "opmerkelijke" eigenschappen van de trapezoïde. Dit impliceert een terugkeer in het leerproces naar individuele kenmerken van een bepaalde geometrische figuur. Dit maakt het voor leerlingen gemakkelijker om ze uit het hoofd te leren. Bijvoorbeeld de eigenschap van vier punten. Het kan worden bewezen door de gelijkenis te bestuderen en vervolgens door vectoren te gebruiken. En de gelijke grootte van de driehoeken naast de zijkanten van de figuur kan worden bewezen door niet alleen de eigenschappen van driehoeken met gelijke hoogtes toe te passen op de zijden die op één rechte lijn liggen, maar ook door de formule S = 1/2 toe te passen. (ab * sinα). Bovendien kunt u de sinusstelling uitwerken op een ingeschreven trapezium of een rechthoekige driehoek op een beschreven trapezium, enz.
Toepassing van "out-of-program" -functieseen geometrische figuur in de inhoud van een schoolcursus is een taaktechnologie om ze te onderwijzen. Door constant een beroep te doen op de bestudeerde eigenschappen bij het passeren van andere onderwerpen, krijgen studenten een dieper begrip van de trapezoïde en wordt het succes van het oplossen van de toegewezen taken verzekerd. Dus laten we deze prachtige figuur gaan bestuderen.
Elementen en eigenschappen van een gelijkbenig trapezium
Zoals we al hebben opgemerkt, is dit geometrischde cijfers op de zijkanten zijn gelijk. Het is ook bekend als een gewone trapezium. En waarom is het zo opmerkelijk en waarom kreeg het zo'n naam? De eigenaardigheden van deze figuur zijn onder meer dat deze niet alleen gelijk is aan de zijkanten en hoeken aan de basis, maar ook aan de diagonalen. Bovendien is de som van de hoeken van een gelijkbenig trapezium 360 graden. Maar dat is niet alles! Van alle bekende trapezoïden kan alleen rond een gelijkbenige een cirkel worden beschreven. Dit komt door het feit dat de som van de tegenovergestelde hoeken van deze figuur 180 graden is, en alleen onder deze voorwaarde kan een cirkel rond een vierhoek worden beschreven. De volgende eigenschap van de beschouwde geometrische figuur is dat de afstand van de bovenkant van de basis tot de projectie van het tegenoverliggende hoekpunt op de rechte lijn die deze basis bevat, gelijk zal zijn aan de middellijn.
Laten we nu eens kijken hoe we de hoeken van een gelijkbenig trapezium kunnen vinden. Overweeg een oplossing voor dit probleem, mits de afmetingen van de zijkanten van de figuur bekend zijn.
De oplossing
Meestal wordt de vierhoek meestal aangeduidletters A, B, C, D, waarbij BS en HELL de bases zijn. Bij een gelijkbenig trapezium zijn de zijkanten gelijk. We gaan ervan uit dat hun grootte gelijk is aan X, en dat de afmetingen van de bases gelijk zijn aan Y en Z (respectievelijk kleiner en groter). Om de berekening uit te voeren, is het noodzakelijk om de hoogte N te tekenen vanuit hoek B. Het resultaat is een rechthoekige driehoek ABN, waarbij AB de hypotenusa is en BN en AH de benen. We berekenen de grootte van het been AH: trek de kleinere af van de grotere basis en deel het resultaat door 2. We schrijven het in de vorm van de formule: (ZY) / 2 = F. Om nu de scherpe hoek van de driehoek gebruiken we de cos-functie. We krijgen het volgende record: cos (β) = X / F. Nu berekenen we de hoek: β = arcos (X / F). Verder kunnen we, als we één hoek kennen, de tweede bepalen, hiervoor voeren we een elementaire rekenkundige bewerking uit: 180 - β. Alle hoeken zijn gedefinieerd.
Er is ook een tweede oplossing voor dit probleem.In het begin verlagen we vanuit de hoek de hoogte N. Bereken de waarde van het been BN. We weten dat het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de kwadraten van de benen. We krijgen: BN = √ (X2-F2). Vervolgens gebruiken we de trigonometrische functie tg. Als resultaat hebben we: β = arctan (BN / F). Er is een scherpe hoek gevonden. Vervolgens definiëren we een stompe hoek op dezelfde manier als in de eerste methode.
Eigenschap van de diagonalen van een gelijkbenige trapezium
Laten we eerst vier regels opschrijven. Als de diagonalen in een gelijkbenig trapezium loodrecht staan, dan:
- de hoogte van de figuur is gelijk aan de som van de bases, gedeeld door twee;
- de hoogte en de middelste lijn zijn gelijk;
- de oppervlakte van de trapezium is gelijk aan het kwadraat van de hoogte (middellijn, de helft van de som van de bases);
- het kwadraat van de diagonaal is gelijk aan de helft van het kwadraat van de som van de bases of tweemaal het kwadraat van de middellijn (hoogte).
Beschouw nu de formules die de diagonaal van een gelijkbenig trapezium bepalen. Dit informatieblok kan grofweg in vier delen worden verdeeld:
1. Formule van de lengte van een diagonaal in termen van de zijkanten.
We nemen aan dat A de onderste basis is, B de bovenkant, C gelijke zijden, D de diagonaal. In dit geval kan de lengte als volgt worden bepaald:
D = √ (C2 + A * B).
2. Formules voor de lengte van de diagonaal volgens de cosinusstelling.
We accepteren dat A de onderste basis is, B de bovenste,C - gelijke zijden, D - diagonaal, α (aan de onderkant) en β (aan de bovenkant) - trapeziumvormige hoeken. We krijgen de volgende formules die kunnen worden gebruikt om de lengte van de diagonaal te berekenen:
- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosα);
- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosβ);
- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosα).
3. Formules voor de lengte van de diagonalen van een gelijkbenig trapezium.
We nemen aan dat A de onderste basis is, B de bovenkant, D de diagonaal, M de middelste lijn, H de hoogte, P de oppervlakte van de trapezoïde, α en β de hoeken tussen de diagonalen. We bepalen de lengte met behulp van de volgende formules:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα).
In dit geval is de gelijkheid waar: sinα = sinβ.
4. Formules voor de lengte van de diagonaal in termen van zijden en hoogte.
We nemen aan dat A de onderste basis is, B de bovenkant, C de zijkanten, D de diagonaal, H de hoogte, α de hoek aan de onderkant.
We bepalen de lengte met behulp van de volgende formules:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + C2-2A * √ (C2-H2)).
Elementen en eigenschappen van een rechthoekige trapezium
Laten we eens kijken wat er interessant is aan deze geometrische figuur. Zoals we al zeiden, heeft een rechthoekige trapezium twee rechte hoeken.
Naast de klassieke definitie zijn er ookanderen. Een rechthoekige trapezium is bijvoorbeeld een trapezium met één zijde loodrecht op de basis. Of een figuur met rechte hoeken aan de zijkant. Voor dit type trapezium is de hoogte gelijk aan de laterale zijde, die loodrecht op de basis staat. De middellijn is het lijnsegment dat de middelpunten van de twee zijden met elkaar verbindt. De eigenschap van het genoemde element is dat het evenwijdig is aan de bases en gelijk is aan de helft van hun som.
Laten we nu eens kijken naar de basisformules,het definiëren van deze geometrische figuur. Hiervoor nemen we aan dat A en B fundamenten zijn; C (loodrecht op de bases) en D - zijden van een rechthoekige trapezium, M - middellijn, α - scherpe hoek, P - gebied.
een.De laterale zijde, loodrecht op de bases, is gelijk aan de hoogte van de figuur (C = H), en is gelijk aan het product van de lengte van de tweede zijde zijde D en de sinus van de hoek α met een grotere basis ( C = D * sinα). Bovendien is het gelijk aan het product van de tangens van de scherpe hoek α en het verschil van de basen: C = (A-B) * tgα.
2. De laterale zijde D (niet loodrecht op de bases) is gelijk aan het quotiënt van het verschil tussen A en B en de cosinus (α) van de scherpe hoek of het quotiënt van de hoogte van de figuur H en de sinus van de scherpe hoek: D = (AB) / cos α = C / sinα.
3. De laterale zijde, die loodrecht op de bases staat, is gelijk aan de vierkantswortel van het verschil tussen vierkant D - de tweede zijde - en het kwadraat van het verschil tussen de bases:
C = √ (D2- (A-B) 2).
4. Zijde D van een rechthoekige trapezium is gelijk aan de vierkantswortel van de som van het kwadraat van zijde C en het kwadraat van het verschil tussen de bases van de geometrische figuur: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. De zijde van C is gelijk aan het quotiënt van het delen van de dubbele oppervlakte door de som van de basen: C = P / M = 2P / (A + B).
6. De oppervlakte wordt bepaald door het product M (de middelste lijn van een rechthoekige trapezium) door de hoogte of zijde loodrecht op de basis: P = M * H = M * C.
7. Zijde C is gelijk aan het quotiënt van het verdubbelen van de oppervlakte van de figuur door het product van de sinus van een scherpe hoek en de som van de basen: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).
8. Formules voor de zijkant van een rechthoekige trapezium door de diagonalen en de hoek ertussen:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
waarbij D1 en D2 de diagonalen van de trapezium zijn; α en β zijn de hoeken ertussen.
9. Formules voor de laterale zijde door de hoek op de onderste basis en andere zijden: D = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.
Aangezien een trapezium met een rechte hoek een speciaal geval van een trapezium is, zullen de rest van de formules die deze figuren definiëren, overeenkomen met een rechthoekige.
Eigenschappen ingeschreven cirkel
Als de voorwaarde zegt dat een cirkel is ingeschreven in een rechthoekige trapezium, dan kunnen de volgende eigenschappen worden gebruikt:
- de som van de basen is gelijk aan de som van de zijden;
- de afstanden van de bovenkant van de rechthoekige vorm tot de raakpunten van de ingeschreven cirkel zijn altijd gelijk;
- de hoogte van de trapezium is gelijk aan de laterale zijde, loodrecht op de basis en gelijk aan de diameter van de cirkel;
- het middelpunt van de cirkel is het punt waar de middelloodlijnen van de hoeken elkaar snijden;
- als de laterale zijde door het contactpunt wordt gedeeld in segmenten H en M, dan is de straal van de cirkel gelijk aan de vierkantswortel van het product van deze segmenten;
- een vierhoek gevormd door de contactpunten, de top van de trapezium en het midden van de ingeschreven cirkel - dit is een vierkant waarvan de zijde gelijk is aan de straal;
- de oppervlakte van de figuur is gelijk aan het product van de basissen en het product van de halve som van de basen door zijn hoogte.
Vergelijkbare trapezium
Dit onderwerp is erg handig om eigenschappen te bestuderen.deze geometrische vorm. De diagonalen verdelen de trapezium bijvoorbeeld in vier driehoeken, en die naast de bases zijn vergelijkbaar en die aan de zijkanten zijn gelijk. Deze uitspraak kan een eigenschap van driehoeken worden genoemd waarin een trapezium door zijn diagonalen is verdeeld. Het eerste deel van deze verklaring wordt bewezen door het teken van gelijkenis in twee hoeken. Om het tweede deel te bewijzen, is het beter om de onderstaande methode te gebruiken.
Bewijs van de stelling
We accepteren dat de figuur van de ABSD (BP en BS de basis istrapezium) wordt gedeeld door de diagonalen VD en AC. Het punt van hun snijpunt is O. We krijgen vier driehoeken: AOS - aan de onderkant, BOS - aan de bovenkant, ABO en SOD aan de zijkanten. Driehoeken SOD en BFB hebben een gemeenschappelijke hoogte als de segmenten BO en OD hun basis zijn. We krijgen dat het verschil tussen hun gebieden (P) gelijk is aan het verschil tussen deze segmenten: PBOS / PSOD = BO / OD = K.Daarom PSOD = PBOS / K. Evenzo hebben driehoeken BFB en AOB een gemeenschappelijke hoogte. We nemen de segmenten SB en OA voor hun bases. We krijgen PBOS / PAOB = SO / OA = K en PAOB = PBOS / K. Hieruit volgt dat PSOD = PAOB.
Om het materiaal te consolideren, worden studenten aanbevolenzoek de relatie tussen de gebieden van de resulterende driehoeken, waarin de trapezium is gedeeld door zijn diagonalen, en los het volgende probleem op. Het is bekend dat de gebieden van de biofeedback- en AOD-driehoeken gelijk zijn; het is noodzakelijk om het gebied van de trapezium te vinden. Aangezien PSOD = PAOB, betekent dit dat PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Uit de gelijkenis van de driehoeken BFB en AOD volgt dat BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Daarom PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). We krijgen PSOD = √ (PBOS * PAOD). Dan PABSD = PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + √ PAOD) 2.
Overeenstemmingseigenschappen
Als je dit onderwerp blijft ontwikkelen, kan men bewijzen enandere interessante kenmerken van trapezoïden. Met behulp van gelijkenis kan men dus de eigenschap bewijzen van een segment dat door een punt loopt dat wordt gevormd door het snijpunt van de diagonalen van deze geometrische figuur, evenwijdig aan de basis. Om dit te doen, zullen we het volgende probleem oplossen: het is noodzakelijk om de lengte te vinden van het segment RK, dat door het punt O gaat.Uit de gelijkenis van de driehoeken AOD en BFB volgt dat AO / OS = AD / BS . Uit de gelijkenis van de driehoeken AOR en ASB volgt dat AO / AC = RO / BS = HELL / (BS + HELL). Vanaf hier krijgen we die RO = BS * HELL / (BS + HELL). Evenzo volgt uit de gelijkenis van de driehoeken DOK en DBS dat OK = BS * HELL / (BS + HELL). Vanaf hier krijgen we dat RO = OK en RK = 2 * BS * HELL / (BS + HELL). Het segment dat door het snijpunt van de diagonalen loopt, evenwijdig aan de basis en de twee zijden verbindt, wordt gehalveerd door het snijpunt. De lengte is het harmonische gemiddelde van de basis van de figuur.
Beschouw de volgende trapeziumkwaliteit, dieheet de vierpuntseigenschap. De snijpunten van de diagonalen (O), het snijpunt van de verlenging van de laterale zijden (E), evenals de middelpunten van de bases (T en G) liggen altijd op dezelfde lijn. Dit wordt gemakkelijk bewezen door de gelijkenismethode. De resulterende driehoeken BES en AED zijn vergelijkbaar, en in elk van hen verdelen de medianen ET en EZ de hoek bij het hoekpunt E in gelijke delen. Hierdoor liggen de punten E, T en Ж op één rechte lijn. Op dezelfde manier liggen de punten T, O en Zh op dezelfde rechte lijn, dit alles volgt uit de gelijkenis van de driehoeken BFB en AOD. Hieruit concluderen we dat alle vier de punten - E, T, O en F - op één rechte lijn zullen liggen.
Met behulp van dergelijke trapezoïden kunnen we u aanbiedenleerlingen om de lengte van het segment (LF) te vinden, die de figuur in twee vergelijkbare delen splitst. Dit segment moet parallel zijn aan de bases. Omdat de verkregen trapeziums ALPD en LBSF vergelijkbaar zijn, is BS / LF = LF / BP. Hieruit volgt dat LF = √ (BS * HELL). We zien dat het segment dat de trapezium in twee soortgelijke verdeelt, een lengte heeft die gelijk is aan het geometrische gemiddelde van de lengtes van de basis van de figuur.
Beschouw de volgende eigenschap van gelijkenis.Het is gebaseerd op een segment dat de trapezium verdeelt in twee figuren van gelijke grootte. We nemen aan dat de ABSD-trapezoïde wordt gedeeld door het segment ЕН in twee vergelijkbare. Vanaf hoekpunt B valt de hoogte, die wordt gedeeld door het segment EH in twee delen - B1 en B2. We krijgen: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (HELL + EH) * B2 / 2 en PABSD = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Vervolgens stellen we een systeem op, waarvan de eerste vergelijking (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 is en de tweede (BS + EH) * B1 = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Hieruit volgt dat B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) en BS + EH = ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1). We zien dat de lengte van het segment dat de trapezium in twee gelijke maten verdeelt, gelijk is aan het gemiddelde kwadraat van de lengtes van de bases: √ ((BS2 + AD2) / 2).
Overeenkomsten bevindingen
We hebben dus bewezen dat:
1. Het segment dat de middelpunten van de laterale zijden bij het trapezoïde verbindt, loopt parallel aan BP en BS en is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van BS en BP (de lengte van de basis van de trapezoïde).
2. De lijn die door het punt O van het snijpunt van de diagonalen evenwijdig aan HELL en BS loopt, is gelijk aan het harmonische gemiddelde van de aantallen HELL en BS (2 * BS * HELL / (BS + HELL)).
3. Het segment dat het trapezium in soortgelijke verdeelt, heeft de lengte van het geometrische gemiddelde van de bases van BS en BP.
4. Het element dat de figuur in twee gelijke maten verdeelt, heeft de lengte van de gemiddelde kwadraten van BP en BS.
Om het materiaal te consolideren en het verband tussen te begrijpende bestudeerde segmenten, moet de student ze bouwen voor een specifiek trapezium. Hij kan gemakkelijk de middelste lijn en het segment dat door het punt O loopt - het snijpunt van de diagonalen van de figuur - evenwijdig aan de basis weergeven. Maar waar zullen de derde en vierde zich bevinden? Dit antwoord zal de student ertoe brengen de gewenste relatie tussen gemiddelden te ontdekken.
Het segment dat de middelpunten van de trapeziumvormige diagonalen met elkaar verbindt
Beschouw de volgende eigenschap van deze figuur.We nemen aan dat het segment MH evenwijdig is aan de bases en de diagonalen in tweeën deelt. De snijpunten worden Ш en Ш genoemd. Dit segment is gelijk aan het halve verschil van de bases. Laten we dit eens nader bekijken. MSh - de middelste lijn van de ABS-driehoek, deze is gelijk aan BS / 2. MCh is de middelste lijn van de ABD-driehoek, deze is gelijk aan BP / 2. Dan krijgen we dat SHSH = MSH-MSH, dus SHSH = HELL / 2-BS / 2 = (HELL + VS) / 2.
Zwaartepunt
Laten we eens kijken hoe het wordt bepaalddit element voor de gegeven geometrische vorm. Om dit te doen, is het noodzakelijk om de bases in tegengestelde richtingen uit te breiden. Wat betekent het? Het is noodzakelijk om de onderste toe te voegen aan de bovenste basis - aan beide kanten, bijvoorbeeld aan de rechterkant. En verleng de onderste met de lengte van de bovenste naar links. Vervolgens verbinden we ze met een diagonaal. Het snijpunt van dit segment met de middelste lijn van de figuur is het zwaartepunt van de trapezoïde.
Ingeschreven en beschreven trapezoïden
Laten we de kenmerken van dergelijke vormen opsommen:
1. Een trapezium kan alleen in een cirkel worden ingeschreven als deze gelijkbenig is.
2. Een trapezium kan rond een cirkel worden beschreven, op voorwaarde dat de som van de lengtes van hun basis gelijk is aan de som van de lengtes van de zijkanten.
Ingeschreven cirkel gevolgen:
1. De hoogte van de beschreven trapezoïde is altijd gelijk aan twee stralen.
2. De laterale zijde van het beschreven trapezium wordt vanuit het middelpunt van de cirkel onder een rechte hoek bekeken.
Het eerste uitvloeisel is duidelijk, en voor het bewijsten tweede is het vereist om vast te stellen dat de hoek van de SOD juist is, wat in feite ook niet moeilijk zal zijn. Maar als u kennis heeft van deze eigenschap, kunt u een rechthoekige driehoek gebruiken bij het oplossen van problemen.
Laten we nu deze gevolgen concretiseren vooreen gelijkbenige trapezium die is ingeschreven in een cirkel. We zien dat de hoogte het geometrische gemiddelde is van de basis van de figuur: H = 2R = √ (BS * HELL). Tijdens het oefenen van de basistechniek van het oplossen van problemen voor trapeziums (het principe van het vasthouden van twee hoogtes), moet de student de volgende taak oplossen. We nemen aan dat BT de hoogte is van de gelijkbenige figuur van de ABSD. Het is noodzakelijk om de segmenten AT en TD te vinden. Met behulp van de hierboven beschreven formule zal het niet moeilijk zijn om dit te doen.
Laten we nu eens kijken hoe we de straal kunnen bepalencirkel met behulp van het gebied van de omgeschreven trapezium. We verlagen de hoogte van de bovenkant B naar de basis van de HEL. Omdat de cirkel is ingeschreven in de trapezium, dan is BS + HELL = 2AB of AB = (BS + HELL) / 2. Uit driehoek ABN vinden we sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + HELL). PABSD = (BS + HELL) * BN / 2, BN = 2R. We krijgen PABSD = (BS + HELL) * R, daaruit volgt dat R = PABSD / (BS + HELL).
.
Alle formules voor de middellijn van een trapezium
Nu is het tijd om verder te gaan naar het laatste element van deze geometrische vorm. Laten we uitzoeken wat de middelste lijn van de trapezium (M) is:
1. Via de bases: M = (A + B) / 2.
2. Door hoogte, basis en hoeken:
• M = A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;
• M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.
3. Door de hoogte, diagonalen en de hoek ertussen. D1 en D2 zijn bijvoorbeeld de diagonalen van een trapezium; α, β - hoeken tussen hen:
M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.
4. Door de oppervlakte en hoogte: M = P / N.
