Vienādojums - kas tas ir? Termina definīcija, piemēri

Skolas matemātikas gaitā bērns pirmo reizi dzird terminu "vienādojums". Kas tas ir, mēģināsim to saprast kopā. Šajā rakstā aplūkosim risinājumu veidus un metodes

Matemātika. Vienādojumi

Для начала предлагаем разобраться с самим jēdziens par to, kas tas ir? Kā teikts daudzām matemātikas mācību grāmatām, vienādojums ir kāda izteiksme, kurai vienmēr ir vienāds zīme. Šajos izteicienos ir burti, tā saucamie mainīgie, kuru nozīme ir atrodama.

Kas ir mainīgais? Tā ir sistēmas atribūts, kas maina tā vērtību. Labs mainīgo lielums ir:

• gaisa temperatūra;
• bērnu izaugsme;
• svars un tā tālāk.

Matemātikā tos apzīmē ar burtiem, piemēram,x, a, b, c ... Parasti matemātikas uzdevums ir: atrast vienādojuma vērtību. Tas nozīmē, ka jums ir jāatrod šo mainīgo lielums.

Šķirnes

Vienādojums (ko mēs apspriedām iepriekšējā punktā) var būt šādā formā:

• lineāra;
• kvadrātveida;
• kubiskais;
• algebriskā;
• pārpasaulīgs.

Lai iegūtu detalizētāku iepazīšanos ar visu veidu, mēs katrs atsevišķi izskatīsim.

Lineārs vienādojums

Šis ir pirmais skats, ar kuru studenti mācās.Tie ir atrisināti diezgan ātri un vienkārši. Tātad lineārs vienādojums, kas tas ir? Šis izteiksme ir: ah = c. Tāpēc nav īpaši skaidrs, tāpēc mēs sniedzam dažus piemērus: 2x = 26; 5x = 40; 1.2x = 6.

Apskatīsim vienādojumu piemērus.Lai to izdarītu, mums ir jāapkopo visi zināmie dati no vienas puses, bet nezināmie - otrā pusē: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1,2. Šeit tika izmantoti matemātikas pamatnoteikumi: a * c = e, no šī c = e / a; a = e / s. Lai pabeigtu vienādojuma risinājumu, mēs veicam vienu darbību (mūsu gadījumā nodaļu) x = 13; x = 8; x = 5. Tie bija reizināšanas piemēri, tagad aplūkosim atņemšanu un pievienošanu: x + 3 = 9; 10x-5 = 15. Zināmie dati tiek pārsūtīti vienā virzienā: x = 9-3; x = 20/10. Veiciet pēdējo darbību: x = 6; x = 2.

Arī iespējamie lineāro vienādojumu varianti, kurizmanto vairāk nekā vienu mainīgo: 2x-2y = 4. Lai atrisinātu, katrai daļai ir jāpievieno 2y, mēs saņemam 2x-2y + 2y = 4-2y, kā mēs pamanām, ka vienādās zīmes -2u un + 2y kreisā puse ir samazināta, kamēr mums ir: 2x = 4 -2y. Pēdējais solis ir sadalīt katru daļu divās daļās, mēs saņemam atbildi: X ir vienāds ar diviem mīnus spēle.

Problēmas ar vienādojumiem atrodamas patpapyrus Ahmes. Šeit ir viens no uzdevumiem: skaitlis un tā ceturtā daļa ir doti 15. summa. Lai to atrisinātu, rakstām šādu vienādojumu: x plus viens ceturtais x ir piecpadsmit. Mēs redzam vēl vienu lineārā vienādojuma piemēru: risinājuma beigās mēs saņemam atbildi: x = 12. Taču šo problēmu var atrisināt citā veidā, proti, Ēģiptes vai, kā to sauc citādi, pieņēmuma metode. Papiruss izmanto šādu risinājumu: ņemt četrus un ceturto daļu no tā, tas ir, vienu. Kopumā tie dod piecus, tagad piecpadsmit ir jāsadala ar summu, mēs saņemam trīs, pēdējā darbība reizina trīs ar četriem. Mēs saņemam atbildi: 12. Kāpēc mēs piecpadsmit lēmumos sadalām piecus lēmumus? Tāpēc mēs uzzinām, cik reizes piecpadsmit, tas ir, rezultāts, kas mums ir nepieciešams, ir mazāks par pieciem. Tādā veidā problēmas tika atrisinātas viduslaikos, tā kļuva pazīstama kā viltus stāvokļa metode.

Kvadrātu vienādojumi

Papildus iepriekš minētajiem piemēriem ir arī citi. Kuri? Kvadrāta vienādojums, kas tas ir? Viņiem ir cirvis²+ bx + c = 0. Lai tos atrisinātu, jums ir jāiepazīstas ar dažiem jēdzieniem un noteikumiem.

Pirmkārt, jums ir jāatrod diskriminētājs pēc formulas: b²-4ac. Lēmuma iznākumam ir trīs iespējas:

• diskriminants ir lielāks par nulli;
• mazāks par nulli;
• ir nulle.

Pirmajā variantā atbildi varam iegūt no divām saknēm, kuras atrodamas pēc formulas: -b + -sakne no diskriminanta, dalīta ar dubultoto pirmo koeficientu, tas ir, 2a.

Otrajā gadījumā vienādojumam nav sakņu. Trešajā gadījumā sakni atrod pēc formulas: -b / 2a.

Apsveriet kvadrātiskā vienādojuma piemēru, lai iegūtu vairākdetalizēta iepazīšanās: trīs x kvadrātā mīnus četrpadsmit x mīnus pieci ir vienāds ar nulli. Vispirms, kā rakstīts iepriekš, mēs meklējam atšķirīgo, mūsu gadījumā tas ir vienāds ar 256. Ņemiet vērā, ka iegūtais skaitlis ir lielāks par nulli, tāpēc mums vajadzētu saņemt atbildi, kas sastāv no divām saknēm. Iegūto diskriminantu aizstāj ar sakņu atrašanas formulu. Rezultātā mums ir: x ir vienāds ar pieciem un mīnus viena trešdaļa.

Īpaši gadījumi kvadrātvienādojumos

Šie ir piemēri, kuros dažas vērtības ir nulle (a, b vai c) un, iespējams, vairākas.

Piemēram, ņem šādu vienādojumu, kuršir kvadrāts: divi x kvadrāti ir vienādi ar nulli, šeit mēs redzam, ka b un c ir nulle. Mēģināsim to atrisināt, tāpēc mēs sadalām abas vienādojuma puses ar divām, mums ir: x²= 0. Rezultātā mēs iegūstam x = 0.

Cits gadījums 16x²-9 = 0. Šeit tikai b = 0. Atrisināsim vienādojumu, pārnesim brīvo koeficientu uz labo pusi: 16x²= 9, tagad katru daļu dalām ar sešpadsmit: x²= deviņas sešpadsmitās daļas. Tā kā mums ir x kvadrātā, 9/16 sakne var būt vai nu negatīva, vai pozitīva. Mēs rakstām atbildi šādi: x ir vienāds ar plus / mīnus trīs ceturtdaļas.

Iespējams arī, ka nav tādas atbildes, jo vienādojumam vispār nav sakņu. Apskatīsim šo piemēru: 5x²+ 80 = 0, šeit b = 0. Lai atrisinātu brīvo terminu, iemetiet to labajā pusē, pēc šīm darbībām mēs saņemam: 5x²= -80, tagad katru daļu dalām ar piecām: x²= mīnus sešpadsmit. Ja mēs noapaļojam jebkuru skaitli, tad negūsim negatīvu vērtību. Tāpēc mūsu atbilde izklausās šādi: vienādojumam nav sakņu.

Trinomiāla sadalīšanās

Kvadrātiskais uzdevums var izklausīties citādi: izslēdziet kvadrātisko trinomu. To var izdarīt, izmantojot šādu formulu: a (x-x₁) (x-x₂). Šim nolūkam, tāpat kā citā uzdevuma variantā, jāatrod diskriminants.

Apsveriet šādu piemēru: 3x²-14x-5, faktors trinomiāls.Mēs atrodam diskriminantu, izmantojot mums jau zināmo formulu, tas izrādās vienāds ar 256. Mēs nekavējoties atzīmējam, ka 256 ir lielāks par nulli, tāpēc vienādojumam būs divas saknes. Mēs tos atrodam, tāpat kā iepriekšējā rindkopā, mums ir: x = pieci un mīnus viena trešdaļa. Izmantosim formulu, lai trinomu ieskaitītu faktoros: 3 (x-5) (x + 1/3). Otrajā iekavā mēs saņēmām vienādības zīmi, jo formula satur mīnus zīmi, un sakne ir arī negatīva, izmantojot elementāras zināšanas matemātikā, kopumā mums ir plus zīme. Vienkāršības labad mēs reizinām vienādojuma pirmo un trešo teikumu, lai atbrīvotos no frakcijas: (x-5) (x + 1).

Vienādojumi, kas reducējas uz kvadrātu

Šajā brīdī mēs uzzināsim, kā atrisināt sarežģītākus vienādojumus. Sāksim uzreiz ar piemēru:

(x² - 2x)² - 2 (x² - 2x) - 3 = 0. Mēs varam redzēt atkārtojošos elementus: (x² - 2x), risinājumam mums ir ērti to aizstāt arcitu mainīgo un pēc tam atrisiniet ierasto kvadrātvienādojumu, mēs uzreiz atzīmējam, ka šādā uzdevumā mēs iegūsim četras saknes, tas jums nevajadzētu nobiedēt. Mēs apzīmējam mainīgā a atkārtošanos. Mēs iegūstam: a²-2a-3 = 0.Mūsu nākamais solis ir atrast jaunā vienādojuma diskriminantu. Mēs iegūstam 16, mēs atrodam divas saknes: mīnus viena un trīs. Mēs atceramies, ka mēs veicām aizstāšanu, aizstājot šīs vērtības, kā rezultātā mums ir vienādojumi: x² - 2x = -1; x² - 2x = 3.Mēs tos atrisinām pirmajā atbildē: x ir vienāds ar vienu, otrajā: x ir vienāds ar mīnus viens un trīs. Mēs rakstām atbildi šādi: plus / mīnus viens un trīs. Parasti atbilde tiek rakstīta augošā secībā.

Kubiskie vienādojumi

Apsvērsim vēl vienu iespējamo variantu. Tas ir par kubiskajiem vienādojumiem. Viņi izskatās šādi: cirvis ³ + b x ² + cx + d = 0. Tālāk mēs apsvērsim vienādojumu piemērus un vispirms nelielu teoriju. Viņiem var būt trīs saknes, un ir arī formula kubiskā vienādojuma diskriminanta atrašanai.

Apsveriet piemēru: 3x³+ 4x²+ 2x = 0. Kā to atrisināt? Lai to izdarītu, mēs vienkārši ievietojam x ārpus iekavām: x (3x²+ 4x + 2) = 0. Viss, kas mums jādara, ir iekavās aprēķināt vienādojuma saknes. Iekavās esošā kvadrātvienādojuma vienādojums ir mazāks par nulli, pamatojoties uz to, izteiksmei ir sakne: x = 0.

Algebra. Vienādojumi

Pārejam uz nākamo skatu. Tagad mēs ātri apskatīsim algebriskos vienādojumus. Viens no uzdevumiem ir šāds: pēc grupēšanas metodes koeficientu 3x⁴+ 2x³+ 8x²+ 2x + 5. Ērtākais veids ir šāda grupēšana: (3x⁴+ 3x²) + (2x³+ 2x) + (5x²+5). Ņemiet vērā, ka 8x² no pirmās izteiksmes mēs parādījām kā 3x summu² un 5x²... Tagad mēs no katras kronšteina izņemam 3x kopīgo koeficientu²(x2 + 1) + 2x (x²+1) +5 (x²+1). Mēs redzam, ka mums ir kopīgs faktors: x kvadrātā plus viens, mēs to ievietojam ārpus iekavām: (x²+1) (3x²+ 2x + 5). Turpmāka paplašināšana nav iespējama, jo abiem vienādojumiem ir negatīvs diskriminants.

Transcendentālie vienādojumi

Mēs iesakām tikt galā ar šādu veidu. Tie ir vienādojumi, kas satur pārpasaulīgas funkcijas, proti, logaritmisko, trigonometrisko vai eksponenciālo. Piemēri: 6sin²x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 un tā tālāk. Kā tos atrisināt, uzzināsiet no trigonometrijas kursa.

Funkcija

Pēdējā posmā apsveriet vienādojuma jēdzienufunkcijas. Atšķirībā no iepriekšējām opcijām šis tips nav atrisināts, bet uz tā tiek veidots grafiks. Lai to izdarītu, vienādojums ir labi jāanalizē, jāatrod visi būvniecībai nepieciešamie punkti, jāaprēķina minimālais un maksimālais punktu skaits.