Vienkārša iterācijas metode, saukta arī par metodisecīga aproksimācija ir matemātisks algoritms nezināma lieluma vērtības atrašanai, pakāpeniski pilnveidojot. Šīs metodes būtība ir tāda, ka, kā norāda nosaukums, pakāpeniski izsakot nākamos no sākotnējās aproksimācijas, tiek iegūti arvien precīzāki rezultāti. Šo metodi izmanto, lai atrastu mainīgā vērtību noteiktā funkcijā, kā arī, risinot vienādojumu sistēmas, gan lineāras, gan nelineāras.
Apsvērsim, kā šī metode tiek ieviesta, risinot SLAE. Vienkāršajai iterācijas metodei ir šāds algoritms:
viens.Konverģences nosacījuma izpildes pārbaude sākotnējā matricā. Konverģences teorēma: ja sistēmas sākotnējai matricai ir diagonāles dominance (ti, katrā rindā galvenās diagonāles elementiem jābūt lielākiem moduļos nekā sekundāro diagonāļu modulo elementu summai), tad vienkāršās metodes atkārtojumi ir konverģenti.
2.Sākotnējās sistēmas matricai ne vienmēr ir diagonāles dominance. Šādos gadījumos sistēmu var pārveidot. Vienādojumi, kas apmierina konverģences nosacījumu, tiek atstāti neskarti, un ar tiem, kas neapmierina, tie veido lineāras kombinācijas, t.i. reiziniet, atņemiet, saskaitiet vienādojumus kopā, līdz tiek iegūts vēlamais rezultāts.
Ja iegūtajā sistēmā uz galvenās diagonāles ir neērti koeficienti, tad formas noteikumi arun* xes, kuru zīmēm jāsakrīt ar diagonālo elementu zīmēm.
3. Iegūtās sistēmas pārveidošana parastajā formā:
ar-= β-+ α * x-
To var izdarīt daudzos veidos, piemēram, šādi: no pirmā vienādojuma izsakiet x1 caur citiem nezināmiem, no otrā - x2, no trešās - x3 utt. Šajā gadījumā mēs izmantojam formulas:
αij= - (aij / aii)
un= bun/ aii
Vēlreiz jāpārbauda, vai iegūtā normālas formas sistēma atbilst konverģences nosacījumiem:
∑ (j = 1) | αij| ≤ 1, savukārt i = 1,2, ... n
4. Faktiski mēs sākam piemērot pašu secīgo aproksimāciju metodi.
ar(0)ir sākotnējā aproksimācija, caur to izsakām x(1), tad caur x(1) izteikt x(2)... Vispārīgā formula matricas formā izskatās šādi:
arn)= β-+ α * x(n-1)
Mēs aprēķinām, līdz sasniedzam vajadzīgo precizitāti:
max | xun(k) -xun(k + 1) ≤ ε
Tāpēc praktiski izmantosim vienkāršo atkārtojuma metodi. Piemērs:
Atrisiniet SLAE:
4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 ar precizitāti ε = 10-3
Apskatīsim, vai moduļos dominē diagonālie elementi.
Mēs redzam, ka tikai trešais vienādojums atbilst konverģences nosacījumam. Mēs pārveidojam pirmo un otro, pievienojam otro vienādojumam:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
Atņemiet pirmo no trešā:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Mēs esam pārveidojuši sākotnējo sistēmu līdzvērtīgā:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4
Tagad atgriezīsim sistēmu normālā stāvoklī:
x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Iteratīvā procesa konverģences pārbaude:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,28857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, t.i. nosacījums ir izpildīts.
0,3947
Sākotnējā aproksimācija x(0) = 0,4762
0,8511
Aizstājot šīs vērtības normālās formas vienādojumā, mēs iegūstam šādas vērtības:
0,08835
ar(viens)= 0,486793
0,446639
Aizstājot jaunas vērtības, mēs iegūstam:
0,215243
ar(2)= 0,405396
0,558336
Mēs turpinām aprēķinus, līdz tuvojamies vērtībām, kas atbilst dotajam nosacījumam.
0,18813
ar(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
ar(astoņi) = 0,44164
0,544428
Pārbaudīsim iegūto rezultātu pareizību:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Rezultāti, kas iegūti, aizstājot atrastās vērtības sākotnējos vienādojumos, pilnībā atbilst vienādojuma nosacījumiem.
Kā redzam, vienkāršā iterācijas metode dod diezgan precīzus rezultātus, taču, lai atrisinātu šo vienādojumu, mums bija jāpavada daudz laika un apgrūtinoši aprēķini.
