連続関数は関数です「ジャンプ」なし、つまり条件が満たされるもの：引数の小さな変更の後に、関数の対応する値の小さな変更が続きます。このような関数のグラフは、滑らかな曲線または連続した曲線です。
一部の制限点での連続性セットは、制限の概念を使用して定義できます。つまり、関数はこの時点で制限を持っている必要があります。これは、制限ポイントでの値と同じです。
ある時点でこれらの条件に違反した場合、彼らは、ある時点での関数は不連続性を被る、つまりその連続性が壊れていると言います。制限の言語では、ブレークポイントは、ブレークポイントでの関数の値と関数の制限（存在する場合）の間の不一致として説明できます。
このため、ブレークポイントは使い捨てにすることができます関数の極限の存在は必要ですが、特定の時点でのその値と一致しません。この場合、この時点で「修正」できます。つまり、連続性のポイントに再定義できます。
関数の極限が特定のポイントに存在しない場合、まったく異なる状況が発生します。考えられるブレークポイントは2つあります。
- 第1種-片側極限の両方が存在し、有限であり、一方または両方の値が特定の点での関数の値と一致しません。
- 片側極限の一方または両方が存在しないか、それらの値が無限である場合の第2の種類の。
連続関数の性質
- 算術演算の結果として得られる関数、および定義域での連続関数の重ね合わせも連続です。
- ある時点で正の連続関数が与えられた場合、その符号を保持している十分に小さい近傍を常に見つけることができます。
- 同様に、その値が2つのポイントAとBにある場合それぞれaとbが等しく、aがbとは異なる場合、中間点の場合、区間（a; b）からすべての値を取得します。これから興味深い結論を導き出すことができます。引き伸ばされたゴムバンドを収縮させてたるまないようにすると（まっすぐなまま）、そのポイントの1つは動かないままになります。幾何学的には、これは、関数のグラフと交差する、AとBの間の中間点を通る直線があることを意味します。
連続的な（定義域内の）初等関数のいくつかに注目しましょう。
- 絶え間ない;
- 合理的な;
- 三角法。
の2つの基本的な概念の間数学-連続性と微分可能性-密接な関係があります。関数が微分可能であるためには、それが連続関数である必要があることを覚えておくだけで十分です。
関数がある時点で微分可能である場合、それはそこで連続です。ただし、その導関数が連続である必要はまったくありません。
いくつかのセットを持つ関数連続導関数は、滑らかな関数の別のクラスに属します。言い換えれば、それは継続的に微分可能な関数です。導関数の不連続点の数が限られている場合（第1種のみ）、そのような関数は区分的に滑らかと呼ばれます。
微積分のもう一つの重要な概念関数の一様連続性、つまり、定義域内の任意の点で等しく連続する能力です。したがって、これは一連のポイントで考慮されるプロパティであり、個別に考慮されるプロパティではありません。
ポイントを修正すると、何も得られません連続性の定義以外に、つまり、一様連続性の存在から、連続関数があることになります。一般的に言って、その逆は真実ではありません。ただし、カントールの定理によれば、関数がコンパクトセットで連続である場合、つまり閉区間である場合、関数は一様に連続です。
