すべての認知的事実 / 教育： /差分-それらは何ですか？関数の微分をどのように見つけますか？

ディファレンシャル-それは何ですか？微分関数を見つける方法は？

デリバティブとともに彼らの機能微分は微分の基本的な概念の1つ数学的分析の主要セクションである微積分。両者は密接に関連しているため、科学的および技術的な人間活動のプロセスで発生したほとんどすべての問題を解決するために数世紀にわたって積極的に使用されてきました。

微分の概念の出現

最初に、差分とは何かを説明しました有名なドイツの数学者ゴットフリートヴィルヘルムライプニッツの微分積分学の創始者（アイザックニュートンとともに）の。その前に、第17芸術の数学者。既知の関数の無限に小さな「分割できない」部分の非常にあいまいで曖昧なアイデアを使用しました。これは、非常に小さな定数値を表しますが、ゼロではなく、関数の値が単にあり得ない値より小さくはありません。ここから、関数の引数の無限に小さい増分の概念とそれに対応する関数自体の増分の概念を導入するためのステップが1つだけありました。そして、この一歩は、上記の2人の偉大な科学者によってほぼ同時に行われました。

緊急に対処する必要性に基づいてニュートンとライプニッツは、急速に発展する産業と技術が科学の前に設定した力学の実際的な問題の中で、（主に既知の軌道に沿った身体の運動の機械的速度に関連して）関数の変化率を見つける一般的な方法を作成し、関数の微分や微分などの概念を導入しました。、また、逆問題を解くためのアルゴリズム、既知の（可変）速度から移動する経路を見つける方法を発見しました。これは、積分の概念の出現につながりました。

ライプニッツとニュートンの著作では、それは最初に登場しました微分は、引数の増分Δхに比例するという考え、関数の増分の主要部分Δуは、後者の値の計算にうまく適用できます。言い換えると、関数のインクリメントは、任意の点（その定義の領域内）で、その導関数によってΔу= y "（x）Δх+αΔхとして表現できることを発見しました。ここで、αΔхは剰余であり、Δх→ 0はΔx自体よりもはるかに高速です。

マタナリシスの創設者によると、微分は、関数の増分を表す式の最初の項です。シーケンスの極限という明確に定式化された概念をまだ持っていないが、微分の値はΔх→0-Δу/Δх→y "（x）のような関数の導関数になる傾向があることを直感的に理解した。

ニュートンとは異なり、主に物理学者であり、数学的装置を物理的問題の研究のための補助的なツールとして考え、ライプニッツは数学的量の視覚的で理解可能な指定のシステムを含め、この非常にツールキットにもっと注意を払いました。関数dy = y "（x）dx、引数dx、および関数の導関数の比y"（x）= dy / dxの形の微分の一般に受け入れられている表記法を提案したのは彼でした。

現代の定義

現代数学の観点からの違いは何ですか？変数の増分の概念と密接に関連しています。変数yが値y = yを最初に取る場合₁そして、y = y₂、次に差y₂─y₁ yの増分と呼ばれます。

増分には正の値を指定できます。負でゼロに等しい。「増分」という語はΔで示され、レコードΔy（「デルタゲーム」と読みます）は値yの増分を示します。 Δу= y₂─y₁.

任意の関数の値Δуy = f（x）Δу= AΔх+αの形式で表すことができます。ここで、AはΔхに依存しません。つまり、特定のxに対してA = constであり、Δх→0の項αはΔх自体よりもさらに速くなる傾向があります。（「メイン」）項はΔхに比例し、y = f（x）の微分 dyまたはdf（x）（「de yrek」、「de eff from x」を読み取ります）。したがって、微分は関数の増分の「主要な」成分であり、Δхに対して線形です。

機械的解釈

s = f（t）を直線距離とする初期位置からのマテリアルポイントの移動（t-途中で費やされた時間）。増分Δsは、時間間隔Δtの間のポイントのパスであり、差分ds = f "（t）Δtは、ポイントが時間tまでに到達した速度f"（t）を維持した場合に、同じ時間Δtに移動したであろうパスです。 ... Δtが無限に小さい場合、虚数経路dsは、Δtに比べて次数が高い無限小の値によって真のΔsと異なります。時間tの速度がゼロでない場合、dsは点の小さな変位の近似値を与えます。

幾何学的解釈

ラインLをy = f（x）のグラフとします。次に、Δх= MQ、Δу= QM "（下図を参照）。接線MNは、セグメントΔуをQNとNMの2つの部分に分割します。 1つ目はΔхに比例し、QN = MQ∙tg（角度QMN）=Δхf "（x）に等しくなります。つまり、QNは微分dyです。

第2部NMは、Δх→0で差Δу─dyを与えます長さNMは、「引数の増分よりもさらに速く減少します。つまり、その小ささの順序はΔxのそれよりも高くなります。検討中の場合、f（x）≠0（タンジェントはOXに平行ではありません）の場合、セグメントQMとQNは同等です。言い換えると、NMは合計増分Δу= QMよりも速く減少します（その小さい方が高い順）。これは図で確認できます（MがMに近づくにつれて、NMセグメントはQMセグメントのパーセンテージを構成します "）。

したがって、グラフィカルに、任意の関数の微分は、その接線の縦座標の増分に等しいです。

微分と微分

関数の増分の式の最初の項の係数Aは、その導関数f "（x）の値に等しいです。したがって、次の関係が成り立ちます-dy = f"（x）Δх、またはdf（x）= f "（x）Δх。

独立した引数の増分はその微分Δх= dxに等しいことが知られています。したがって、次のように書くことができます。f "（x）dx = dy。

微分の検索（ "解決"と呼ばれることもあります）は、微分と同じ規則に従って実行されます。それらのリストを以下に示します。

どちらがより普遍的ですか：引数の増分またはその微分

ここではいくつかの説明が必要です。 xを引数として考えると、差分の量f "（x）Δхによる表現も可能です。ただし、関数は複雑になる可能性があります。この場合、xはいくつかの引数tの関数になります。その場合、式f"（x）Δхによる差分の表現は、原則として不可能です。線形依存の場合を除いてх= at + b。

式f "（x）dx = dyの場合、独立した引数xの場合（その後、dx =Δx）、およびtに対するxのパラメトリック依存の場合、これは微分を表します。

たとえば、式2 xΔxはy = xを表します²xが引数のときの微分。ここでx = t² そして、tを引数として考えます。次に、y = x²= t⁴.

この後に（t +Δt）が続きます²= t² +2tΔt+Δt²...したがって、Δх=2tΔt+Δt²...平均：2xΔx= 2t² （2tΔt+Δt²）

この式はΔtに比例しないため、2xΔxは微分ではありません。方程式y = xから求めることができます²= t⁴... dy = 4tに等しいことがわかります³Δt。

式2xdxを取る場合、それは微分y = xを表します²任意の引数tに対して。確かに、x = t² dx =2tΔtになります。

したがって、2xdx = 2t²2tΔt= 4t³Δt、つまり2つの異なる変数で記述された微分の式が一致した。

増分を差分に置き換える

f "（x）≠0の場合、Δуとdyは等価です（Δх→0の場合）、f"（x）= 0の場合（dy = 0を意味します）、それらは等価ではありません。

たとえば、y = xの場合²、次にΔу=（x +Δх）² ─x²=2xΔx+Δx²、およびdy =2xΔx。 x = 3の場合、Δy=6Δx+Δx² およびdy =6Δх、これはΔхにより同等です²→0、х= 0での値Δу=Δх² とdy = 0は同等ではありません。

この事実は、単純な構造とともに微分（すなわち、Δxに対する線形性）は、小さいΔхに対してΔу≈dyであるという仮定の下で、近似計算でしばしば使用されます。通常、関数の微分を見つけることは、増分の正確な値を計算するよりも簡単です。

たとえば、エッジx = 10.00 cmの金属立方体があります。加熱すると、エッジはΔх= 0.001 cm長くなります。立方体の体積Vはどのくらい増加しましたか？ V = x²したがって、dV = 3x²Δх= 3∙10²∙0/01 = 3（cm³）。体積の増加ΔVは微分dVに等しいため、ΔV= 3 cm³...完全な計算では、ΔV= 10.01になります。³─10³= 3.003001。しかし、この結果では、最初の数値を除くすべての数値は信頼できません。ですから、すべて同じように、3 cmに切り上げる必要があります。³.

明らかに、このアプローチは導入されたエラーの大きさを推定することが可能である場合にのみ有用です。

関数微分：例

関数y = xの微分を見つけよう³派生物を見つけることなく。引数に増分を与え、Δуを定義しましょう。

Δу=（Δх+ x）³ ─x³= 3x²Δx+（3xΔx²+Δx³）

ここで係数A = 3x²Δxに依存しないため、最初の項はΔxに比例し、他の項は3xΔxです。²+Δx³Δх→0では、引数の増分よりも速く減少します。だからディック3倍²Δхは微分y = x^3：

dy = 3x²Δх= 3x²dxまたはd（x³）= 3x²dx。

さらに、d（x³）/ dx =3倍².

ここで、導関数に関して関数y = 1 / xのdyを見つけます。次に、d（1 / x）/ dx =─1/ x²...したがって、dy =─Δх/х².

基本代数関数の微分を以下に示します。

微分近似

多くの場合、関数f（x）とx = aの微分f "（x）を計算することは難しくありませんが、点x = aの近くで同じことを行うのは簡単ではありません。

f（a +Δх）≈f "（a）Δх+ f（a）。

それは、その差分f "（a）Δхを通じて、小さな増分Δхで関数の近似値を与えます。

したがって、この式はおおよそのこのセクションの開始点（x = a）での値と同じ開始点での微分の合計としての長さΔxの特定のセクションの終了点での関数の式。関数の値を決定するこの方法のエラーは、以下の図に示されています。

ただし、x = a +Δхの関数の値の正確な式も既知であり、有限増分の式（つまり、ラグランジュの式）によって与えられます。

f（a +Δх）≈f "（ξ）Δх+ f（a）、

ここで、点x = a +ξはx = aからのセグメント上にあります正確な位置は不明ですが、x = a +Δхまで。正確な式を使用すると、近似式の誤差を推定できます。一方、ラグランジュの式にξ=Δx/ 2を入れると、正確ではなくなりますが、原則として、微分による元の式よりもはるかに優れた近似が得られます。