בעיה קומבינטורית. בעיות קומבינטוריות פשוטות ביותר. בעיות קומבינטוריות: דוגמאות

מורים למתמטיקה מציגים את תלמידיהםעם המושג "בעיה קומבינטורית" בכיתה ה'. זה הכרחי על מנת שיוכלו לעבוד עם משימות מורכבות יותר בעתיד. ניתן להבין את האופי הקומבינטורי של בעיה כיכולת לפתור אותה על ידי ספירת המרכיבים של קבוצה סופית.

המאפיין העיקרי של משימות בסדר זה הואשאלה להם שנשמעת כמו "כמה אפשרויות?" או "בכמה דרכים?" פתרון בעיות קומבינטוריות תלוי באופן ישיר בשאלה האם מי שפותר אותן הבין את המשמעות, האם הצליח לייצג נכון את הפעולה או התהליך שתוארו במשימה.

איך פותרים בעיה קומבינטורית?

חשוב לקבוע נכון את סוג כל הזמין בנחשב לבעיית ההצטרפות, אך יש לבדוק האם יש בו חזרות על אלמנטים, האם האלמנטים עצמם משתנים, האם הסדר שלהם משחק תפקיד חשוב וכן ביחס לגורמים נוספים.

בעיה קומבינטורית יכולה להיות מספרהגבלות שניתן להטיל על חיבורים. במקרה זה, יהיה צורך לחשב במלואו את הפתרון שלו ולבדוק האם להגבלות אלו יש השפעה כלשהי על החיבור של כל האלמנטים. אם באמת יש השפעה, יש לבדוק איזו.

היכן להתחיל?

ראשית עליך ללמוד כיצד לפתור את הפשוט ביותרבעיות קומבינטוריות. שליטה בחומר פשוט יאפשר לך ללמוד כיצד להבין משימות מורכבות יותר. מומלץ קודם כל להתחיל לפתור בעיות עם אילוצים שאינם נלקחים בחשבון כאשר בוחנים אפשרות פשוטה יותר.

מומלץ גם לנסות להתמודד עם אלה תחילה.משימות שבהן צריך לקחת בחשבון פחות אלמנטים משותפים. כך, אתה יכול להבין את העיקרון של יצירת דוגמאות וללמוד כיצד ליצור אותם בעצמך בעתיד. אם הבעיה שעבורה יש צורך להשתמש בקומבינטוריקה מורכבת משילוב של כמה פשוטות יותר, מומלץ לפתור אותה בחלקים.

פתרון בעיות קומבינטוריות

משימות כאלה עשויות להיראות קלות לפתרון,עם זאת, די קשה לשלוט בקומבינטוריקה, חלקן לא נפתרו במשך מאות השנים האחרונות. אחת הבעיות המפורסמות ביותר היא קביעת מספר ריבועי הקסם בסדר מיוחד כאשר המספר n גדול מ-4.

הבעיה הקומבינטורית קשורה קשר הדוק לתיאוריההסתברות שמקורה בימי הביניים. ניתן לחשב את ההסתברות להתרחשות של אירוע רק באמצעות קומבינטוריקה; במקרה זה, תצטרך להחליף את כל הגורמים במקומות כדי לקבל את הפתרון האופטימלי.

פתרון בעיות

בעיות קומבינטוריות עם פתרון רגיליםללמד תלמידים וסטודנטים לעבוד עם החומר הזה. באופן כללי, הם צריכים לעורר עניין ורצון של אדם למצוא פתרון משותף. בנוסף לחישובים מתמטיים, יש צורך להפעיל מתח נפשי ולהשתמש בניחושים.

בתהליך פתרון המשימות שהוטלו, הילדיוכל לפתח את הדמיון המתמטי והיכולות הקומבינטוריות שלו, זה יכול להועיל לו ברצינות בעתיד. בהדרגה יש להעלות את רמת המורכבות של המשימות לפתרון על מנת לא לשכוח את הידע הקיים ולהוסיף לו חדש.

שיטה 1. חיפוש

שיטות לפתרון בעיות קומבינטוריות חזקות מאודשונים זה מזה, אבל כולם יכולים לשמש את התלמיד כדי לקבל תשובה. אחת הדרכים הקלות ביותר, אך יחד עם זאת, הארוכה ביותר היא כוח גס. עם זה, אתה רק צריך לעבור על כל הפתרונות האפשריים, מבלי לערוך שום דיאגרמות וטבלאות.

ככלל, השאלה בבעיה כזו קשורהאפשרויות אפשריות למקור של אירוע זה או אחר, למשל: אילו מספרים ניתן ליצור באמצעות המספרים 2, 4, 8, 9? על ידי ספירת כל האפשרויות, מורכבת תשובה המורכבת משילובים אפשריים. שיטה זו מצוינת אם מספר האפשרויות האפשריות קטן יחסית.

שיטה 2. עץ האפשרויות

כמה בעיות קומבינטוריות ניתן לפתור על ידירק עריכת דיאגרמות שבהן יצוין מידע על כל אלמנט בפירוט. יצירת עץ של בחירות היא דרך נוספת למצוא את התשובה. הוא מתאים לפתרון בעיות לא מסובכות מדי שיש בהן תנאי נוסף.

דוגמה למשימה כזו:

• אילו מספרים בני חמש ספרות ניתן ליצור ממספרים0, 1, 7, 8? כדי לפתור את זה, אתה צריך לבנות עץ מכל השילובים האפשריים, בעוד שיש תנאי נוסף - המספר לא יכול להתחיל מאפס. לפיכך, התשובה תהיה מורכבת מכל המספרים שמתחילים ב-1, 7 או 8.

שיטה 3. יצירת טבלאות

ניתן לפתור בעיות קומבינטוריות עםבאמצעות טבלאות. הם דומים לעץ של אפשרויות בכך שהם מציעים פתרון ויזואלי למצב. כדי למצוא את התשובה הנכונה, אתה צריך ליצור טבלה, והיא תהיה שיקוף: התנאים האופקיים והאנכיים יהיו זהים.

אפשרויות תשובה אפשריות יתקבלו בחיתוך של עמודים וקווים. במקרה זה לא יתקבלו תשובות בהצטלבות עמודה ושורה עם אותם נתונים, יש לסמן את הצמתים הללו במיוחד כדי לא להתבלבל בהרכבת התשובה הסופית. שיטה זו אינה נבחרת לעתים קרובות על ידי תלמידים, רבים מעדיפים את העץ עם אפשרויות.

שיטה 4. כפל

יש דרך אחרת שאתה יכוללפתור בעיות קומבינטוריות, - כלל הכפל. זה מושלם במקרה שבו, על פי התנאי, אתה לא צריך לרשום את כל הפתרונות האפשריים, אתה רק צריך למצוא את המספר המרבי שלהם. שיטה זו היא יחידה במינה, היא משמשת לעתים קרובות מאוד כאשר הם רק מתחילים לפתור בעיות קומבינטוריות.

דוגמה למשימה כזו עשויה להיראות כך:

• 6 אנשים מחכים לבחינה במסדרון.בכמה דרכים תוכל להשתמש כדי לסדר אותם ברשימה הכללית? כדי לקבל תשובה צריך להבהיר כמה מהם יכולים להיות מלכתחילה, כמה בשני, שלישי וכו'. התשובה תהיה המספר 720.

קומבינטוריקה וסוגיה

הבעיה הקומבינטורית היא לא רקחומר בית ספרי, גם סטודנטים באוניברסיטה לומדים אותו. ישנם כמה סוגים של קומבינטוריקה במדע, ולכל אחד מהם יש משימה משלו. קומבינטוריקה סופרת צריכה לשקול בעיות של ספירה וספירה של תצורות אפשריות עם תנאים נוספים.

קומבינטוריקה מבנית היא מרכיבתוכנית אוניברסיטאית, היא לומדת את תורת המטרואידים והגרפים. קומבינטוריקה קיצונית קשורה גם לחומר אוניברסיטאי, ויש לה מגבלות אישיות משלה. חלק נוסף הוא התיאוריה של רמזי, העוסקת בחקר מבנים בווריאציות אקראיות של יסודות. ישנה גם קומבינטוריקה לשונית, העוסקת בשאלת התאימות של אלמנטים מסוימים זה לזה.

שיטות הוראת בעיות קומבינטוריות

על פי תכנית הלימודים, גיל התלמידיםאשר מיועד להיכרות ראשונית עם חומר זה ולפתרון בעיות קומבינטוריות - כיתה ה'. שם לראשונה נושא זה מוצע לתלמידים, הם מתוודעים לתופעת הקומבינטוריזם ומנסים לפתור את המשימות שהוטלו עליהם. במקרה זה, חשוב מאוד שבעת ניסוח בעיה קומבינטורית, נעשה שימוש בשיטה כאשר הילדים עצמם מחפשים תשובות לשאלות.

בין היתר, לאחר לימוד המפורטיהיה הרבה יותר קל להציג את המושג פקטוריאלי ולהשתמש בו בפתרון משוואות, בעיות וכו'. לפיכך, לקומבינטוריות יש תפקיד חשוב בקבלת השכלה נוספת.

בעיות קומבינטוריות: למה הן נחוצות?

אם אתה יודע מהן בעיות קומבינטוריות,אז לא תחוו קשיים עם הפתרון שלהם. המתודולוגיה לפתרון שלהם יכולה להיות שימושית כאשר יש צורך לערוך לוחות זמנים, לוחות זמנים לעבודה, כמו גם חישובים מתמטיים מורכבים, שמכשירים אלקטרוניים אינם מתאימים להם.

בבתי ספר עם מתמטיקה מתקדמת ובמדעי המחשב נלמדות בנוסף בעיות קומבינטוריות, לשם כך מורכבים עזרי הוראה ומשימות מיוחדות. ככלל, ניתן לכלול כמה בעיות מסוג זה בבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה, בדרך כלל הן "מוסתרות" בחלק ג'.

איך לפתור בעיה קומבינטורית במהירות?

חשוב מאוד להיות מסוגל להבחין בשילובאת המשימה במהירות, מכיוון שהיא יכולה להיות בעלת ניסוח מצועף, זה חשוב במיוחד כאשר עוברים את הבחינה, שבה כל דקה חשובה. כתוב בנפרד את המידע שאתה רואה בטקסט של הבעיה על פיסת נייר, ולאחר מכן נסה לנתח אותו במונחים של ארבע הדרכים שאתה מכיר.

אם אתה יכול להכניס מידע לטבלה אוחינוך אחר, נסה לפתור את זה. אם אתה לא יכול לסווג אותו, במקרה זה עדיף להשאיר אותו לזמן מה ולעבור לפתרון בעיה אחרת, כדי לא לבזבז זמן יקר. ניתן למנוע מצב זה על ידי פתרון מראש של מספר בעיות מסוג זה.

איפה אני יכול למצוא דוגמאות?

הדבר היחיד שיעזור לך ללמוד לפתורבעיות קומבינטוריות - דוגמאות. תוכלו למצוא אותם בספרי מתמטיקה מיוחדים הנמכרים בחנויות חינוכיות. עם זאת, שם אתה יכול למצוא מידע רק עבור סטודנטים באוניברסיטה, תלמידי בית ספר יצטרכו לחפש משימות נוספות, ככלל, משימות עבורם מומצאות על ידי מורים אחרים.

פרופסורים באוניברסיטה מאמינים שסטודנטיםיש צורך להכשיר ולהציע להם כל הזמן ספרות חינוכית נוספת. אחד האוספים הטובים ביותר נחשב ל"שיטות ניתוח דיסקרטי בפתרון בעיות קומבינטוריות", שנכתב ב-1977 ופורסם מספר פעמים בהוצאות לאור המובילות בארץ. שם תוכל למצוא משימות שהיו רלוונטיות באותה תקופה ונשארות רלוונטיות גם היום.

מה אם אתה צריך לחבר בעיה קומבינטורית?

לרוב, יש צורך בבעיות קומבינטוריותלהרכיב מורים שנדרשים ללמד את התלמידים לחשוב מחוץ לקופסה. הכל כאן יהיה תלוי בפוטנציאל היצירתי של המהדר. מומלץ לשים לב לאוספים שכבר קיימים ולנסות להרכיב את הבעיה בצורה כזו שתשלב מספר שיטות לפתרון שלה בבת אחת ותהיה לה נתונים שונים מנתוני הספר.

פרופסורים באוניברסיטה בהקשר זה הם רביםחופשיים יותר מבתי ספר, לעתים קרובות הם נותנים לתלמידיהם את המשימה להמציא בעצמם בעיות קומבינטוריות עם שיטות פתרון והסברים מפורטים. אם אינך שייך לא לאחד ולא לזה, תוכל לבקש עזרה ממי שבאמת מבין בנושא, וכן לשכור מורה פרטי. שעה אקדמית אחת מספיקה כדי להרכיב כמה בעיות דומות.

האם קומבינטוריקה היא מדע העתיד?

מומחים רבים למתמטיקה ופיזיקהמאמינים שהבעיה הקומבינטורית היא שיכולה להפוך לדחף לפיתוח כל המדעים הטכניים. מספיק רק לגשת לפתרון בעיות מסוימות מחוץ לקופסה, ואז ניתן יהיה לענות על השאלות שרדופות על ידי מדענים במשך כמה מאות שנים. חלקם טוענים ברצינות שהקומבינטוריקה מועילה לכל המדעים המודרניים, במיוחד האסטרונאוטיקה. זה יהיה הרבה יותר קל לחשב את נתיבי הטיסה של ספינות באמצעות בעיות קומבינטוריות, והם גם יאפשרו לך לקבוע את המיקום המדויק של גרמי שמים מסוימים.

יישום גישה לא סטנדרטית לאורך זמןהחל במדינות אסיה, שם התלמידים פותרים אפילו בעיות יסוד של כפל, חיסור, חיבור וחילוק בשיטות קומבינטוריות. להפתעתם של מדענים אירופאים רבים, הטכניקה אכן עובדת. בתי ספר אירופיים רק החלו ללמוד מניסיונם של עמיתיהם. קשה לנחש מתי בדיוק הקומבינטוריקה תהפוך לאחד הענפים העיקריים של המתמטיקה. כעת המדע נחקר על ידי המדענים המובילים בעולם השואפים להפיכתו לפופולריות.